高中数学正态分布测试题及答案精品教育docdocWord格式文档下载.docx
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⑤＋…直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．
2、离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X的分布列为
则[xi－E（X）]2描述了xi（i=1,2,…,n）相对于均值E（X）的偏离程度．而
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，其算术平均根为随机变量X的标准差。
记作．
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。
设X为离散型随机变量，则
（1）D（aX+b）＝a2D（X）
（2）若X服从二点分布，则D（X）=p（1－p）
（3）若X～B（n，p），则D（X）=np（1－p）
3、正态分布
我们称，xR（其中是参数，且）为正态变量X的概率密度函数，其图象叫做正态分布密度曲线，简称正态曲线。
期望为、标准差为的正态分布常记为。
若X～，则X的均值与方差分别为：
。
参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数。
是衡量随机变量总体波动大小的特征数．可以用样本标准差去估计．
正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值；
（4）当一定时，曲线随着的变化沿x轴平移；
（5）当一定时，曲线形状由确定，越小，曲线越瘦高。
当时的正态分布叫做标准正态分布。
一般来说，正态变量的取值在内的概率是68.3%，在内的概率是95.4%，在内的概率是99.7%。
【典型例题】
例1、某运动员投篮命中率p=0.6
（1）求投篮一次时命中次数X的均值和方差；
（2）求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差。
分析：
（1）为两点分布的均值和方差
（2）为二项分布的均值和方差。
可利用公式求解。
解析：
（1）投篮一次时命中次数X的分布列为：
X01
P0.40.6
则
（2）由题意，重复5次投篮时，命中次数Y服从二项分布，即Y~B（5，0.6）
于是，有
点评：
（1）投篮一次有两个结果：
命中与未命中，因此X服从两点分布，用两点分布的均值及方差公式；
（2）投篮、射击、抽样（大量）等问题，都是n次独立重复试验，其随机变量Y～B（n,p），利用二项分布的均值、方差公式即可。
例2、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X0123
P0.30.30.20.2
乙保护区：
Y012
P0.10.50.4
试评定两个保护区的管理水平。
甲保护区的违规次数X的数学期望和方差为
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为
因为，所以两个保护区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散．
解决实际问题，要充分理解随机变量在实际问题中表示的意义，然后利用均值和方差的实际意义解决．
例3、若随机事件A在1次试验中发生的概率为P（01），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数．
（l）求方差D（X）的最大值；
（2）求的最大值。
本题是最值问题，需要先将D（X），及表示出来，利用函数知识解决．
随机变量X的所有可能取值为0，1，并且有P（X=l）=p,P（X=0）=l－p．
从而
（i）
当时，D（X）取得最大值，最大值为。
（2）
当且仅当，即时，取“=”。
因此，当时，取得最大值。
本题将方差知识与函数联系起来，因此在求解过程中可以利用函数的性质及使用研究函数的方法．
例4、（2019年辽宁20，天津理20）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队、B队最后所得总分分别为、
（I）求的概率分布列。
（II）求。
此题中的、不服从特殊分布，用定义求均值。
（I）、的可能取值分别为3，2，1，0
P（=3）
P（=2），
P（=1）
P（=0）
根据题意知，所以
（II）
因为，所以
本题中第（I）问是第（Ⅱ）问的基础，在利用定义求均值时，必先求分布列。
例5、已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N（27.45，0.052），质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：
27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68
请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的。
利用正态变量在区间内的取值的概率为99.7%来判断。
根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的思想，我们对落在区间（27.45－30.05，27.45+30.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设，有两个尺寸为27.23和27.68的零件，不符合落在区间（27.45－30.05，27.45+30.05）内这一条件，判断它们就是非正常状态下生产的。
本题是正态分布应用中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体在区间外的取值的概率仅有0.3%来判断个别零件是在非正常状态下生产的。
【模拟试题】
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）
A、B、
C、D、
2、如图所示，1、2、3表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7，那么此系统的可靠性是（）
A、0.504B、0.994C、0.496D、0.06
3、甲、乙两人同时独立解答一道数学题，甲解出的概率为0.4，乙解出的概率为0.5，则该题能被解出的概率为（）
A、0.9B、0.2C、0.7D、0.1
4、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率P（A）=0.8，乙射中的概率P（B）=0.9，则目标被击中的概率为（）
A、1.7B、1C、0.72D、0.98
5、一整数等可能在1，2，…，10中取值，以X记除得尽这一整数的正整数的个数，那么E（X）等于（）
A、2.6B、2.5C、2.7D、2.8
6、从5个数1，2，3，4，5中任取3个数，X表示中最大的一个，则X的分布列为（）
A、
X12345
P
B、
X345
C、
P00
D、
7、设随机变量X～B（n，P），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则（）
A、n=8，P=0.2B、n=4，P=0.4
C、n=5，P=0.32D、n=7，P=0.45
8、口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出的球的最大号码，则E（X）的值是（）
A、4B、4.5C、4.75D、5
9、设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（）
A、B、C、D、
10、一次测验中共有4个选择题，每个选择题均有4个备选答案，其中只有一个答案是正确的，某生随机地就每小题各选一个答案，则其恰好选中3个正确答案的概率为（）
11、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）
12、设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）
A、10与8B、10与2C、8与10D、2与10
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________。
14、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是__________（用数字作答）
15、抛掷两枚骰子，当至少有一个1点或一个2点出现时，就说这次试验成功，否则称试验失败，则在20次试验中成功次数X的期望是__________。
16、四个人打桥牌，则你手中有5张黑桃，而另8张黑桃全在你的同伴手中的概率__________。
三、解答题（共74分）
17、（12分）一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从这一副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率。
18、（12分）从1，2，…，n这n个数中任取两个，求其中一个小于k，另一个大于k的概率（）。
19、（12分）对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率，现在10个患此病的病人中同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。
20、（12分）某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或7环的概率；
（2）不够7环的概率。
21、（13分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分。
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率。
22、（13分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5。
若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；
若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（3）求有坑需要补种的概率。
（精确到0.001）
【试题答案】
一、选择题
1、D2、B3、C4、D5、C6、B
7、A8、B9、D10、C11、C12、B
二、填空题
13、14、1.215、16、
三、解答题
17、解析：
至少有3张黑桃包括两种情况：
“恰好有3张黑桃”与“4张全是黑桃”，用这两种情况的取法总数除以52张牌中任取4张牌的取法总数即可。
从52张牌中任取4张，有种取法，即，4张牌中至少有3张黑桃的取法有。
因此，取4张牌中至少有3张黑桃的概率是。
18、解：
19、解：
假定病人服用该药或者治愈（事件A）或者没有治愈（事件），
由题意，
至少有6人治愈可分为10人中6人愈，10人中7人愈，10人中8人愈，10人中9人愈，10人全愈五种情况：
0.97
答：
至少有6人治愈的概率为0.97。
20、解析：
（1）设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件。
“射中10环或7环”的事件为A+B，故P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.28=0.49。
射中10环或7环的概率为0.49。
（2）不够7环从正面考虑有以下几种情况：
射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接入手，可考虑从反面入手，不够7环的反面是大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理。
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由
（1）可知“射中7环”、“射中8环”等是彼此互斥的事件。
射不够7环的概率为0.03。
21、解：
（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
甲、乙两人得分之和X的可能取值为0、1、2，
则X的概率分布为：
X012
每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X的数学期望为
（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为
甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少有一次命中的概率为。
22、解：
（1）因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，所以甲坑不需要补种的概率为。
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为。
（3）解法一：
因为3个坑都不需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为
解法二：
3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:
“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!
”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
3个坑都需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
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