人工边界转换方法Word格式.docx
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2.1静力分析原理
地铁等地下工程初始应力场的确定须先计算未开挖状态下围岩的自重应力场，进而根据施工步骤，采用释放荷载法，计算出衬砌结构和围岩的静应力场[13]。
许多地下结构的自重应力场模型可以假设为半无限空间体，根据经典围岩压力理论和弹性力学理论，半无限空间体中距地表面任一深度h处的应力状态可定义为[7][8]：
（1）
（2）
式中，σV为竖向应力，γ为围岩重度，σH为横向应力，λ为侧压力系数。
对浅层围岩，可假设其为各向同性介质，侧压力系数可用泊松比表示如下[7]：
（3）
对有限元计算中所取的有限区域，可以据此确定有限域边界条件。
2.2静力分析边界条件
根据上述静力分析方法，在静-动力共同作用问题的计算中，在进行动力分析之前须先确定地下结构模型的静应力场。
地下结构开挖前可将大地假设为半无限空间体，其在重力作用下的静力计算，根据对称性，模型中任一处的水平位移
。
因此，计算该应力场时，有限区域模型两侧可用水平约束即法向约束，底部可用全约束或仅约束竖直方向，顶面即地面应为自由边界。
2.3动力分析原理
在动力荷载作用下，有限元体系在t+t时刻的运动平衡方程为：
（4）
式中
为体系的总质量矩阵；
为体系的总阻尼矩阵；
为体系的总刚度矩阵；
为体系的节点加速度向量；
为体系的节点速度向量；
为体系的节点位移向量；
为外荷载向量。
体系的总阻尼矩阵采用瑞利阻尼[9]：
（5）
式中、为常数，可按两种不同的振动频率下测得的阻尼比ξ加以确定。
计算中常数、可由α+β2i=2ii和α+β2j=2jj求得[9]。
则和可表示为：
（6）
（7）
i、i分别为振型向量i对应的自振圆频率和阻尼比。
根据振型分析结果可求得i和j，阻尼比在计算中取i=j=0.05。
2.4粘弹性人工边界
粘弹性人工边界从用途上可分为动力人工边界和静-动力统一人工边界；
从具体实现方法上可分为弹簧-阻尼器边界单元和一致粘弹性边界单元。
下面先介绍动力人工边界。
具体计算中模型边界材料参数由其相邻的围岩介质材料决定。
则当人工边界采用等效的弹簧和阻尼器物理元件来模拟时，其弹簧系数和阻尼系数的计算分别如下[3][4]：
法向边界：
，
（8）
切向边界：
（9）
式中KT、KN分别为法向与切向的弹簧刚度；
R为波源至人工边界点的距离；
cs和cp分别为S波和P波波速；
E和G分别为介质弹性模量和剪切模量；
μ为介质泊松比；
ρ为介质质量密度；
αT与αN分别为切向与法向粘弹性人工边界参数，具体取值情况见表1。
表1粘弹性动力人工边界中参数α的取值
模型类型
方向
α
二维人工边界
平面内法向
2.0
平面内切向
1.5
出平面切向
0.5
三维人工边界
法向
4.0
切向
若人工边界采用一致粘弹性边界单元来模拟，其边界单元等效剪切模量、等效弹性模量和阻尼系数可分别用如下几式计算[5][6]：
（10）
（11）
（12）
其中等效阻尼系数取的是法向和切向的平均值。
式中h为等效边界单元厚度，
为等效泊松比，n为计算模型维数。
其余符号意义同上。
表2粘弹性静-动力统一人工边界中参数α的取值
人工边界位置
模型底面
α*/3
2/3
模型侧面
α*/4
1/8
α*
2
1/2
考虑到实施的方便，实际计算中边界材料常采用各向同性材料，这时上述等效剪切模量和等效弹性模量之间存在隐含关系式
=2（1+
）
考虑到普通有限元材料泊松比应限制在0～0.5范围内，则该等效泊松比可按如下取值[5]。
（13）
即计算等效泊松比时应先确定
大小范围，再确定其计算式。
静-动力统一人工边界是在上述动力人工边界的基础上对人工边界参数α进行调整，其具体取值见表2[1]。
其中参数α*具体计算公式：
式中μ为围岩泊松比，d为位置坐标，R为荷载作用点到人工边界点的距离。
对于底面人工边界，式中D取荷载作用点至边界单元的水平距离；
对于侧面人工边界，式中D取荷载作用点至边界单元的垂直距离。
3静-动力分析中的人工边界转换的几种方法
在引言中已经介绍了地下结构静-动力分析中常用的三种人工边界转换方法，下面采用算例对第二种和第三种方法存在的问题进行分析。
3.1算例一
某双线铁路隧道，其净空跨度10.2m，为三心圆断面；
衬砌初期支护15cm，二次衬砌30cm；
隧道埋深45m，Ⅳ类围岩。
采用ANSYS大型有限元分析软件对该隧道进行建模和计算，模型区域竖向取100m，横向取100m。
隧道及围岩物理力学参数见表4。
静力分析采用的边界条件如图1所示，其中g为重力加速度。
动力分析采用如图2如示动力模型，其最外一层即为粘弹性动力人工边界，厚度2米。
图中P（t）为某实测的列车振动荷载，其时程曲线见图3。
第
（2）方法在静力分析中采用滚轴边界或固定边界（可称之为传统静力边界条件），在动力分析中采用粘弹性动力人工边界，在静力分析和动力分析中的荷载和边界条件见表3。
g
P（t）
图1隧道静力分析边界条件图2动力分析边界条件
表3计算步骤及条件表
分析步骤
1静力分析
2动力分析
边界条件
两侧采用滚轴边界，底部采用固定边界
如图1所示，一致粘弹性动力人工边界。
两侧边界单元外边缘法向约束，底部边界单元外边缘固定。
荷载条件
重力加速度。
重力加速度g。
初始应力场（静力计算结果）。
动力荷载P（t）。
表4围岩物理力学参数表
材料
弹性模量E
泊松比μ
粘聚力c
内摩擦角φ
密度ρ
阻尼系数
围岩
3.2×
109Pa
0.32
4.5×
105Pa
33°
2150kg/m3
—
初期支护
27.5×
0.2
2500kg/m3
二次衬砌
30×
动力边界
9.7×
107Pa
0.0546
图3列车荷载时程曲线
由于隧道结构是对称的，整个模型有限域以及荷载也是对称的，监测点可以取自其对称轴及其一侧即可；
取隧道衬砌的拱顶、拱腰、拱脚以及仰拱底等几个点监测其动力响应情况。
各监测点位移时程曲线见图4，第一主应力时程曲线见图5。
从图4和图5可以看出，各监测点的竖向位移和第一主应力均呈现首先大幅波动，然后逐渐趋于稳定的情形。
而从图2可以看出，列车振动荷载在整个时间段为振幅相近的周期荷载，且其大小不足以使结构应力和位移发生如此大的波动。
据此，可以推断模型在零时刻就受到一个或一组与自重相当的不平衡力，追溯前面的计算过程，可知这不平衡力就是静力计算结果中的约束反力。
这说明这种方法存在很大问题。
图4算法1各监测点竖向位移时程曲线
（a）拱顶
（b）拱腰
（c）拱脚
（d）仰拱底
图5算法1各监测点第一主应力时程曲线
3.2方法三的算例
下面将粘弹性静-动力统一人工边界应用于方法二算例中所述的隧道模型动力分析，检验方法三的适用性。
隧道模型如图6所示，具体的计算条件见表5，其中动力荷载P（t）为与方法二的算例相同的列车振动荷载。
监测点的设置同该算例，计算结果见图7和图8。
表5方法三计算步骤和条件表
施加粘弹性静-动力统一人工边界，两侧边界单元外边缘法向约束，底部边界单元外边缘固定。
边界同静力分析边界条件。
图6双线铁路隧道统一人工边界模型
图7模型几何中心点横向应力和竖向应力图
图8模型底部中点横向应力和竖向应力图
从图中可以看出，对双线铁路隧道施加粘弹性静-动力统一人工边界进行动力分析时，模型节点的第一主应力和竖向位移在振动初期的波动仍为整个过程的最大波动，但其波动幅值与振动荷载引起的稳态反应幅值相近或仅有几倍之差。
这说明该方法中从静力分析到动力分析的应力场和荷载等过渡得较好。
3.3粘弹性静-动力统一人工边界在静力分析中的应用
方法三在静-动力分析中人工边界转换时静应力场和荷载等过渡得较好，但静力分析时沿须考虑粘弹性静-动力统一人工边界的精度，以下通过某静力分析算例检验其精度。
由于半无限空间体具有经典弹性力学解，即使在岩土力学中也有理论解，前面已有论述；
因此，对半无限空间体的有限元模型进行静力分析，将结果与理论解进行对比，可以检验其计算方法的有效性。
该模型的理论解可以通过
（1）式、
（2）式和（3）式算得。
为了比较，进行了理论解、固定边界的数值解和粘弹性静-动力统一人工边界的数值解三种工况的计算，其计算模型分别如图9、图10和图11所示。
具体的计算步骤和计算条件见表6。
在模型对称轴上设置观测点，由地面向下每10m设置一个观测点，并将三种模型计算结果进行比较，比较结果见图12和图13。
表6三种工况静力计算条件表
工况
理论解
传统静力边界解
粘弹性静-动力统一人工边界解
如图X所示，地面为自由边界，地面以下为无穷远边界
如图X所示，两侧滚轴边界，底部固定边界。
施加粘弹性人工边界，两侧边界单元外边缘法向约束，底部边界单元外边缘固定。
σV
τ=0
σH
g
图9半无限空间体理论解模型（工况一）
图10传统静力边界模型（工况二）
图11粘弹性静-动力统一人工边界模型（工况三）
图12竖向应力对比图
图13横向应力对比图
从图中可以看出，该有限元模型在施加粘弹性静-动力统一人工边界时，其静力计算结果与理论解相比有较大误差，特别是横向应力结果误差较大；
而其施加前面所述静力边界条件时，竖向应力和横向应力结果都与理论解符合得相对较好。
这说明粘弹性静-动力统一人工边界应用于受重力作用的半无限空间体的静力计算时，其误差偏大；
此结果可推广到许多地下结构的静力分析。
4方法二的改进
根据以上分析，上述三种静-动力分析中的人工边界转换方法，方法三虽然从静力分析到动力分析的应力场和荷载等过渡得较好，但其相应人工边界静力分析误差偏大，本文将方法二算例中的计算程序加以改进，将表3中动力分析的荷载条件再加上静力分析中的约束反力。
静力计算模型仍采用图1所示模型，动力计算采用图14所示模型。
监测点设置与前面相同，各监测点动力响应见图15和图16。
图14方法二的改进动力分析模型
图15改进后动力分析模型的监测点竖向位移响应
（a）拱顶第一主应力响应
（b）拱腰第一主应力响应
（c）拱脚第一主应力响应
（d）仰拱底第一主应力响应
图16改进后动力分析模型的应力响应
从图中可以看到，各监测点的最大竖向位移与该方法改进前的结果相比大为减小，其后其的稳态振动与初期相对较大的振动差值比前面也小许多，第一主应力也有类似的现象。
初期出现相对较大的波动是因为这里的列车振动荷载是作为突加荷载施加于模型的，上述动力模型改进后其初期动力响应波动值与稳态反应值接近，是人工边界转换更为合理的表现。
5几种方法的比较
从以上算例中可以看到，几种方法下各监测点在振动初期的振幅都是最大的，这是因为这些计算中列车振动荷载都是在突加荷载的形式施加于模型的。
但各种方法下振动幅大小有所不同，表7列出了各种方法下监测点的第一主应力振幅大小。
从表中可以看到，使用方法二时多数监测点应力的振幅与使用另外两种方法时的结果比较为最大，其主要原因是方法二在静-动力分析的人工边界转换中未能较好地将静力状态施加于模型。
因此，方法二存在缺陷。
表7各种方法下的第一主应力振幅
项目
方法二
方法三
改进的
方法
拱顶
37397.8
5430
130
拱腰
102600
689
762
拱脚
591130
8770
8930
仰拱底
39164.3
43170
11375.9
表8各种方法下第一主应力的振动稳定值与静力解
监测点
-70434.4
-301746
-1717520
-49078.6
3250880
-324200
-2094780
3216940
-104182
-295537
-1743830
-89789.9
静力解
-104100
-295972
-1749080
-82949.2
从方法三的算例以及粘弹性静-动力统一人工边界在静力分析中的应用可以看到，方法三虽然从静力分析到动力分析的应力场和荷载等过渡得较好，但其相应人工边界应用于静力分析时误差偏大。
表8为各种方法下各监测点下第一主应力的振动稳定值与静力解的对比，此处的振动稳定值为前面各监测点第一主应力响应图中呈水平线的时间段的应力值，取最后一段稳定值。
从中可看到方法三算出的应力稳定值与静力解差值为几种方法中最大的，这再次证实了上述结论。
从方法二改进后的算例中可以看到，该方法改进后从静力分析到动力分析的应力场和荷载等过渡更加合理。
而表8显示改进后的方法其应力振动稳定值与静力解相对较为接近。
因此，本文推荐改进后的方法为地下结构静-动力分析方法。
5结论
本文通过将粘弹性动力人工边界应用于同时考虑静力效应和动力效应的工程问题，阐明了此类问题静-动力分析人工边界转换时保证模型为静力平衡体的必要性。
通过将粘弹性静-动力统一人工边界应用于半无限空间体有限元模型的静力分析中，验证了该边界条件及其相应计算方法在地下结构静-动力分析中的局限性。
通过对几种方法下对同一隧道结构模型的动力分析结果的比较，本文推荐了改进的方法为最适用于地下结构静-动力分析的方法。
在此基础上，本文提出适用于地下结构静-动力分析的人工边界转换方法，其具体步骤如下：
（1）采用静力方法和静力约束条件对模型进行静力分析，计算结果应包括应力场和约束反力。
（2）将静力模型中的约束条件去掉，施加粘弹性人工边界，在边界单元外边缘施加约束。
（3）在原静力约束被去掉的地方施加约束反力，对模型施加静力场和静力荷载（如重力加速度或其他恒力）。
（4）对模型施加动力荷载，进行动力计算。
该方法为此类工程问题在静力分析阶段和动力分析阶段都使用精度较高的边界条件提供了条件，从而使静力人工边界和动力人工边界可以相对独立地发展，加速人工边界条件的发展。
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