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(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·
=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
9.(2014·
新课标全国Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:
x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
一年模拟试题精练
滨州模拟)当0<k<时,直线l1:
kx-y=k-1与直线l2:
ky-x=2k的交点在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
广东海珠综合测试)“a=-1”是“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
安庆模拟)若直线l1:
x+3y+m=0(m>0)与直线l2:
2x+6y-3=0的距离为,则m=( )
A.7B.C.14D.17
泉州模拟)已知点M是直线l:
2x-y-4=0与x轴的交点.把直线l绕点M逆时针方向旋转45°
,得到的直线方程是( )
A.3x+y-6=0B.3x-y+6=0
C.x+y-3=0D.x-3y-2=0
合肥模拟)经过点P(1,1)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为( )
A.x-y=0B.x+y-2=0
C.x-2y+1=0D.x+2y-3=0
宝鸡模拟)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:
x-y-5=0,l2:
x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A.B.5C.D.15
漳州模拟)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )
A.2B.4C.5D.10
聊城模拟)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x+4y=0
B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0
D.x2+y2-2x-4y=0
9.(2015·
淄博模拟)过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y-2)2=4的交点,并且面积最小的圆的方程为( )
A.x2+y2+x-y+=0
B.x2+y2+x-y-=0
C.x2+y2-x-y+=0
D.x2+y2-x-y-=0
10.(2015·
郑州模拟)已知实数x,y满足x2+y2=4(y≥0),则m=x+y的取值范围是( )
A.(-2,4)B.[-2,4]
C.[-4,4]D.[-4,2]
11.(2015·
苏州模拟)若直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.
12.(2015·
三明模拟)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为________.
13.(2015·
南昌模拟)过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线方程为________.
14.(2015·
深圳市二调)已知平面内的动点P与点N(0,1)的连线的斜率为k1,线段PN的中点与原点连线的斜率为k2,k1k2=-(m>1),动点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆:
①以曲线C的弦AB为直径;
②过点N;
③直径|AB|=|NB|,求m的取值范围.
考点26 椭圆
广东)已知椭圆+=1(m>
0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2B.3C.4D.9
福建)已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.B.
浙江)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.
陕西)如图,椭圆E:
+=1(a>b>0),经过点A(0,-1),且离心率为.
(1)
求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:
直线AP与AQ的斜率之和为2.
5.(2014·
新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
宝鸡市质检一)已知抛物线y2=8x的焦点与椭圆+y2=1的一个焦点重合,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
日照模拟)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( )
A.B.
杭州七校期末联考)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围是( )
C.D.
聊城模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:
x=-,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.
本溪模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为________.
成都模拟)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是________.
南京市调研)给定椭圆C:
+=1(a>b>0),称圆C1:
x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.
考点27 双曲线
安徽)下列双曲线中,渐近线方程为y=±
2x的是( )
A.x2-=1B.-y2=1
C.x2-=1D.-y2=1
湖南)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-y2=1D.x2-=1
四川)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
A.B.2C.6D.4
重庆)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±
B.±
C.±
1D.±
湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>
0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1<
e2
B.当a>
b时,e1<
e2;
当a<
b时,e1>
C.对任意的a,b,e1>
D.当a>
北京)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=________.
新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±
x,则该双曲线的标准方程为________.
湖南)如图,O为坐标原点,双曲线C1:
-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:
+=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?
证明你的结论.
邯郸市质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=-x,则它的离心率为( )
A.B.C.D.
天津市六校联考)以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x+16=0
C.x2+y2+10x+16=0D.x2+y2+10x+9=0
厦门市质检)过双曲线C:
-=1的左焦点作倾斜角为的直线l,则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.两个交点都在左支上
D.两个交点分别在左、右支上
晋冀豫三省二调)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为( )
A.8B.2C.3D.4
忻州一中等四校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则此双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
2xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
玉溪一中检测)若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
四川省统考)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是( )
A.3B.2C.D.
荆门市调研)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λ·
μ=,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
广州综合测试)已知双曲线E:
-=1(a>0)的中心为原点O,左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,点P是直线x=上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足·
=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:
直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;
(3)若点P的纵坐标为1,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点H,满足=,证明:
点H恒在一条定直线上.
考点28 抛物线
陕西)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)
新课标全国Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3B.6C.9D.12
四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)
浙江)如图,
已知抛物线C1:
y=x2,圆C2:
x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求△PAB的面积.
注:
直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
安徽)如图,
已知两条抛物线E1:
y2=2p1x(p1>
0)和E2:
y2=2p2x(p2>
0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.
(1)证明:
A1B1∥A2B2;
(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.
唐山市摸底)抛物线y=2x2的准线方程是( )
A.x=-B.x=
C.y=-D.y=
巴蜀中学一模)双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的离心率为,抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C的渐近线交于A,B两点,△OAB(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )
A.y2=8xB.y2=4x
C.y2=2xD.y2=4x
北京西城区检测)设抛物线W:
y2=4x的焦点为F,过F的直线与W相交于A,B两点,记点F到直线l:
x=-1的距离为d,则有( )
A.|AB|≥2dB.|AB|=2d
C.|AB|≤2dD.|AB|<2d
忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点F,M为抛物线C上一点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且外接圆的面积为9π,则p=( )
A.2B.4C.6D.8
延安摸拟)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )
A.1B.1或3C.0D.1或0
昆明一中检测)设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心且经过点A的圆与l交于B,D两点,若∠ABD=90°
,|AF|=2,则p=( )
A.1B.C.2D.
云南部分名校第一次联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=6xB.y2=8x
C.y2=16xD.y2=x
吉林市摸底)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )
A.2B.2C.4D.4
云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
A.+2B.+1
C.-2D.-1
铜陵模拟)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|=( )
A.B.6C.D.8
巴蜀中学一模)已知圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2(b>0),圆心在抛物线y2=4x上,经过点A(3,0),且与抛物线的准线相切,则圆C的方程为____________.
12.(2014·
忻州联考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.
衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.
(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点T的坐标,若不存在,说明理由;
(2)若△AOB的面积为,求向量,的夹角.
考点29 圆锥曲线的综合问题
新课标全国Ⅱ)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
山东)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:
+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
3.(2014·
重庆)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?
若存在,求出圆的方程;
若不存在,请说明理由.
昆明一中检测)设椭圆C:
+=1(a>b>0)的左焦点为F(-,0),过F的直线交C于A,B两点,设点A关于y轴的对称点为A′,且|FA|+|FA′|=4.
(2)若点A在第一象限,当△AFA′面积最大时,求|AB|的值.
巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(-1,0),F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值?
若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;
云南省名校统考)如图,已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,),四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对角线AC,BD过原点O,kAC·
kBD=-.
(1)求·
的取值范围;
(2)求证:
四边形ABCD的面积为定值.
锦州市期末)如图,已知点F为椭圆C:
+=1(a>b>0)的右焦点,圆A:
(x+t)2+y2=2(t>0)与椭圆C的一个公共点为B(1,0),且直线FB与圆A相切于点B.
(1)求t的值及椭圆C的标准方程;
(2)设动点P(x0,y0)满足=+3,其中M,N是椭圆C上的点,O为原点,直线OM与ON的斜率之积为-,求证:
x+2y为定值.
参考答案
【两年高考真题演练】
1.D [圆的半径r==,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]
2.D [圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,∴该圆是以(1,1)为圆心,以1为半径的圆,∵直线3x+4y=b与该圆相切,∴=1.解得b=2或b=12,故选D.]
3.B [由点B(0,),C(2,),得线段BC的垂直平分线方程为
x=1,①
由点A(1,0),B(0,),得线段AB的垂直平分线方程为
y-=,②
联立①②,解得△ABC外接圆的圆心坐标为,
其到原点的距离为=.故选B.]
4.2 [如图,
过O点作OD⊥AB于D点,在Rt△DOB中,∠DOB=60°
,
∴∠DBO=30°
又|OD|==1,
∴r=2|OD|=2.]
5. [由题意,圆心为O(0,0),半径为1.
如图所示,∵P(1,),∴PA⊥x轴,PA=PB=.
∴△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,
∴∠OPA=30°
,∴∠APB=60°
.
∴·
=||||·
cos∠APB=×
×
cos60°
=.]
6.(x-1)2+y2=2 [直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),由题意,得半径最大的圆的半径r==.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]
7.
(1)(x-1)2+(y-)2=2
(2)--1 [
(1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2) 法一 令x=0,得y=±
1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).
令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.
法二 令x=0,得y=±
1,所以点B(0,+1).又点