数字推理思维导图Word文档格式.docx

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1.做差计算错误；

2.做差时“左减右”和“右减左”混乱。

注：

二级数列加括号，数列长度不会少于5项。

二级等比数列：

1，2，5，14，41，（ 

A.122 

B.126 

C.131 

D.143

1，3，9，27

二级等比数列可以被看作递推倍数数列。

三级数列

三级等差数列：

12，14，19，29，46，（ 

A.62 

B.68 

C.72 

D.76

2，5，10，17

做两次差：

3，5，7

两次逐差法

三级数列加括号，数列长度不会少于6项。

商和多级数列

做商多级数列：

1，1，2，6，24，（ 

A.48 

B.96 

C.120 

D.122

做商一次：

1，2，3，4，5

特征：

数字之间存在明显的倍数关系。

做商之后得到的数列是基础数列。

做和多级数列：

2，1，5，7，17，31，（ 

A.59 

B.61 

C.65 

D.69

做和一次：

3，6，12，24，48

两两做和之后得到的数列是基础数列。

拓展多级数列

拓展方向

运算拓展：

在减法、除法、加法的基础之上，出现两两相乘的清形。

项数拓展：

在相邻两项运算的基础上，出现相邻三项间的运算（一般是加法）。

层级拓展：

在二级、三级的基础之上，出现四级、五级数列。

混合拓展：

在单一运算的基础之上，出现一次进行两种不同的运算形式。

关系拓展：

在相邻运算的基础之上，出现固定“基数”的运算形式。

多重数列

交叉数列

21，26，23，24，25，22，27，（ 

A.28 

B.29 

C.20 

D.30

奇数项：

偶数项：

多重数列：

一般项数较多，加括号大于等于8项。

交叉数列：

奇数项和偶数项分别是两个比较简单的数列

分组数列

1，3，3，9，5，15，7，（ 

B.17 

C.19 

D.21

两两分组：

做比结果为：

3

做和结果为：

4，12，20，28等差数列

做差结果为：

2，6，10，14等差数列

交叉看：

1，3，5，7等差数列

3，9，15等差数列

同一个数列可以用交叉或分组两种方式得到相同的结果。

当数列有8项、10项的时候，可以考虑两两分组，组内进行“加减乘除”计算；

当数列有9项、12项或15项的时候，可以考虑三三分组，组内三个数一般都满足简单的运算规律。

机械分组

2137，4036，2380，3532，4702（ 

A.5257 

B.3833 

C.3948 

5053

每一项的各位数字之和等于13.

机械分组数列特征

1、 

每个数字位数相等且位数较多，或者位数不等，但递增至较多位数。

2、 

有时往往会出现多个括号。

3、 

数字大小变化比较紊乱，能够明显地看出变化的无规律性。

分数数列

分组规律型

分子、分母分别是等差数列。

分子、分母互不影响，各自独立成为一个简单数列。

交叉影响型

分子为前一个分数的分子、分母之和；

分母为前一个分数的分母和自身分数分子之和。

分子、分母交叉看。

分子、分母相互影响，整体考虑有一个直观的规律。

广义通分型

当分数的分子或分母很容易化为一致时，将其化为相同数。

分数拓展数列

分数线将分数分成了分子、分母两部分，这是分数数列的形式本质。

除此之外，我们还有可能遇到带分数数列，小数数列，根式数列等形式，这些数列的每一项都呗天然分成了多个部分，因此我们可以认为这些数列是分数数列的拓展形式。

幂次数列

基础幂次数列

9，25，49，121，（ 

A.144 

B.154 

C.169 

D.177

原数列为：

3，5，7，11的平方数，底数为质数数列。

核心提示：

牢记常用的幂次数字。

关于数字“1”和“0”的变换

关于负幂次的变换

题型特征：

数列中的数字都是幂次数（包括平方数，立方数，多次方数）

幂次修正数列

0，7，26，63，（ 

A.101 

B.128 

C.125 

D.124

原数列+1：

1，8，27，64

分别是1，2，3，4的立方

解题关键：

对题目已知数字进行幂次数的“相邻数发散”，以迅速找到原参照数列。

普通平方数列，以常数/等差数列进行修正，结果是“二级等差数列”。

普通立方数列，以常数/等差数列进行修正，结果是“三级等差数列”。

递推数列

和差型

例1：

1，3，4，7，11，（ 

A.14 

B.16 

C.18 

D.20

前两项之和等于第三项。

递推和数列

例2：

51，32，20，13，8，6，（ 

A.3 

B.4 

C.5 

D.6

第一项减去第二项+1等于第三项。

递推差修正数列

整体递增或递减，趋势平缓。

积商型

1，7，8，57，（ 

A.457 

B.114 

C.58 

D.116

第一项乘以第二项+1等于第三项。

递推积修正数列

4200，168，24，6，3，1，（ 

A.-1 

B.0 

C.1 

D.2

第一项除以第二项-1等于第三项。

递推商修正数列

整体递增/递减，趋势较快。

和差倍型

2，1，9，30，117，（ 

A.516 

B.441 

C.217 

D.174

前两项相加×

3等于第三项。

和差倍型是“和差型”与“倍数型”（即二级等比数列）的结合，数列变化特征不是很明显。

圈三法

平方型

2，3，8，63，（ 

A.3968 

B.3967 

C.3966 

D.3965

第一项的平方-1等于第二项。

递推平方修正数列。

增长幅度往往很大且非常明显。

递推数列做题方法

1，整体趋势法：

主要包括“看趋势”和“做试探”两个过程。

看趋势：

根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推具体形式。

做试探：

根据初步判断的趋势做合理的试探，并分析气误差，即“修正项”。

2，递推联系发：

分成两种情形

两项递推：

研究相邻三个数字的递推联系（圈三法）。

单项递推：

研究相邻两个数字的地推关系。

1）代入排除法

代入排除法是指将选项直接代入，验证选项是否符合条件，或者排除错误选项，从而得出正确答案。

代入排除法主要应用于多位数问题、不定方程问题、余数问题、年龄问题、复杂行程问题等。

最值代入原则：

直接代入选项时，若题目要求的是“最多/最大”时，代入选项应从最大的数开始；

若题目要求的是“最少/最小”时，代入选项应从最小的数开始。

居中代入原则：

直接代入选项时，若选项中的数据为从小到大的均匀数字，一般选择大小居中的进行代入。

若代入选项不正确，这时可以通过分析大小趋势进行选项的排除。

数字特性原则：

常用的数字特性有奇偶特性、整除特性、尾数特性等。

根据数字特性代入，是指根据题目中的条件，确定答案数字所具有的某种数字特性，排除不符合该特性的选项，从而缩小答案的范围再代入验证。

常识代入排除：

常识代入排除法是指不通过具体计算，只运用一定的常识，从而直接排除某些选项的方法。

例如，若两种溶液混合后得到的浓度为10%，那么我们可以得出混合前一个大于10%，一个小于

（2）奇偶数字特性

奇数±

奇数=偶数，奇数±

偶数=奇数。

奇偶特性主要用于不定方程以及多元方程的求解。

二元等式的奇偶特性：

两数的和或差为奇数，则这两个数一奇一偶；

两数的和或差为偶数，则这两个数同奇同偶。

两数的和为奇数，则其差一定也为奇数；

两数的和为偶数，则其差一定也为偶数。

如：

（1）x＋y=39，两数之和为奇数，则其差（x－y）也一定是奇数；

（2）5x＋4y=430，由于4y一定是偶数，而430也是偶数，所以5x一定是偶数，进而可以得到x一定是偶数，且5x的尾数一定是0。

三元等式的奇偶特性：

当运算数据的数量比较多时，判定思路是数奇数的个数：

若奇数的个数为奇数个，则结果为奇数；

若奇数的个数为偶数，则结果为偶数。

等式中含有三个量之间的加减运算时，往往还需要结合尾数判定来进一步地具体判定。

16x＋10y＋7z＝150（x＞y＞z，且都为非零自然数），分析可知：

16x结果一定为偶数，10y结果一定为偶数，150为偶数，所以7z一定是偶数，也就是z为偶数。

z最小，所以可以假设z＝2，通过分析尾数可以得知x＝6，进而得到y＝4，即这个不定方程的解为：

x＝6，y＝4，z＝2。

（3）整除数字特性

（1）整除判断法一般用于数字计算类、等差数列等题型，以及解方程的过程中。

（2）当题干中出现了分数、比例、倍数、整除等明显特征，此时一定要考虑整除判断。

特殊数字整除判定：

2（5）整除：

观察数字的末位数字能否被2（5）整除。

4（25）整除：

观察数字的末两位数能否被4（25）整除。

8（125）整除：

观察数字的末三位数能否被8（125）整除。

3（9）整除：

观察各位数字之和能否被3（9）整除。

例如，的各位数字和是20，不能被3整除，故不能被3整除。

普通数字整除判定：

普通数字的整除判定，一般采用分解因式的方法进行快速判断。

如判断一个数字能否被6整除，则需要判定该数能否被2和3整除；

再如，判定521能否被47整除，可以将521分解为（470＋51）进行判断。

分数比例形式整除：

（4）赋值法

题干中出现了分数、比例、倍数时，要考虑赋值法。

赋值法主要应用于分数应用题、工程问题、行程问题以及经济利润问题等题型中。

赋值法基本前提：

（1）题干中的数据没有单位，只有比例关系时，可以使用赋值法简化计算；

（2）题干中的数据有单位，但是单位只有一种，且与其他数据有比例关系时，可以使用赋值法简化计算。

若所赋值的单位与题干发生冲突，可以灵活采用赋“份数”来代替；

（3）题干中出现了分数，赋值的基本原则是赋整数，所赋数字为分母的倍数。

有多个分数的话，所赋值为分母的最小公倍数；

（4）题干中呈现的是数量之间的比例关系，那么根据比例关系赋值，进行整数赋值。

（5）工程问题

工程问题研究的是工作量、工作时间和工作效率之间的关系，解题的关键往往是求出工作效率，进而找到解题的思路。

常用解法有赋值法、代入法以及列方程求解。

工作量=工作效率×

工作时间

解决工程问题的思路就是依据上述等量关系列等式，进而找到题目的答案。

在具体操作过程中主要有以下三种题型：

已知完成工作时间：

题干特征是已知每个人完成工作所需的时间，此时采用“赋值法”解决。

令工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，列出等量关系，得出答案。

已知工作效率等量关系：

题干特征是没有告诉每个人完成工作的时间，而是告诉他们之间工作效率的等量关系，此时采用“赋值法”解决。

根据工作效率的等量关系直接赋值工作效率为具体的数值，列出等量关系，得到答案。

其他题型：

若题干不符合上述两种情况，一般选择列方程解题，工作效率设为未知数，列出等量关系，进而找到效率之间的等量关系，从而得到题目的答案。

（6）等差数列

题干中出现了“每……比……多（少）n个”或者“连续的……”等描述时，此题的考点一定是等差数列。

公考中等差数列主要考查等差数列求和，方法为公式法或代入法。

求和公式：

和＝1/2（首项＋末项）×

项数＝平均数×

项数＝中位项×

项数，由公式可知：

平均数＝中位项。

级差公式：

第N项－第M项＝（N－M）×

公差

奇数求和公式：

1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）=n2

项数公式：

项数＝（末项－首项）÷

公差＋1

（7）不定方程

二元不定方程：

ax＋by＝c

这样的方程的解法一般是利用奇偶特性或者利用整除特性进行求解，同时往往还结合赋值代入。

12x＋5y＝99（x＋y＞10，且x、y为整数）分析时就可以从奇偶特性入手，12x为偶数，99为奇数，所以5y一定是奇数，得出y一定是奇数，从而得出5y的尾数为5,12x的尾数必须是4。

所以可以假设x=2，得到y=15，完全符合题意。

多元不定方程组：

不定方程组经常采用的方法有：

整体消去法，特值代入法。

，求x+y+z。

整体消去法：

3×

（1）－2×

（2）＝x＋y＋z＝3×

72－2×

86＝44。

特值代入法：

由于不定方程的解是无穷多个的，求解x＋y＋z的具体值，这说明其值为定值，故而可以采用特值法，一般令方程中系数最大的未知数为0再进行计算。

令x＝0，得到y=7，z=37，所以x＋y＋z＝44。

（8）溶液问题

溶液问题是一类典型的比例型计算问题，在解题中应重点把握“溶液”、“溶质”、“溶剂”、“浓度”之间的关系，采用赋值法、十字交叉法、方程法解题。

溶液混合问题：

两溶液混合，质量分别为M1、M2，浓度分别为C1、C2，混合后溶液浓度为C，则有公式：

M1C1+ 

M2C2=（M1+ 

M2）C

抽象比例型问题：

抽象比例型问题是指不涉及具体溶液总量，只涉及溶质与溶剂的相对比例的一种题型，解法是将其中的“不变量”或者“相等量”设为一特值，从而简化计算。

反复稀释型：

剩余溶液浓度等于原浓度连乘剩余比例！

（10）行程问题

（1）当题干中出现“相向”、“背离”、“同向”等字样时，考虑是否为相遇追及问题。

（2）相遇相当于两人“合作”完成某一段路程，追及则相当于一人起到的是“干扰”的作用并最终被追上的运动过程。

环形运动问题：

同一点反向运动：

环形周长＝（大速度＋小速度）×

相遇时间；

同一点同向运动：

环形周长＝（大速度－小速度）×

相遇时间。

直线往返相遇问题：

左右点出发：

第N次迎面相遇，路程和＝全程×

（2N－1）。

同一点出发：

第N次迎面相遇的路程和＝全程×

2N；

第N次追上相遇的路程差＝全程×

2N。

队伍行进问题：

队头→队尾：

队伍长度＝（人速＋队伍速度）×

时间；

队尾→队头：

队伍长度＝（人速－队伍速度）×

时间。

流水行船、上下扶梯与队伍行进问题相似。

（11）牛吃草问题

牛吃草问题的常见四种题型：

牛吃草，抽水机抽水，检票口检票，资源开采。

列方程解牛吃草

核心公式：

Y＝（N－X）×

T：

“Y”代表现有存量（如“原有草量”）；

“N”代表使原有存量减少的变量（如“牛数”）；

“X”代表存量的自然增速（如“草的生长速度”）；

“T”代表存量完全消失所需时间。

解题时往往根据题干中已知的数字信息列方程组：

，通过求解方程组进而得到题目的答案。

列表分析解牛吃草

也可以依据原有量不变，把题目已知信息代入表格，求出X的值，再根据（N－X）×

T为定值求解未知量，表格如下：

经济利润问题必须先弄清楚常见经济概念的含义，经济问题的常用方法有：

列方程、赋值法以及十字交叉法。

（12）经济利润问题

另外，分段计费也是经济问题常考的一类题型，采用分段计算的方法。

基本概念：

进价（成本）：

商家买入货物的价格

售价：

实际卖出货物的价格

利润＝售价－成本：

商家赚到的钱

折扣：

2折即为原价的20%，9折为原价的90%

基本公式：

利润率（加价率/加价幅度）＝利润÷

成本＝（售价－成本）÷

成本＝售价÷

成本－1

打折后的售价＝原来的售价（定价）×

折扣

总利润=总收入－总成本=单利润×

销量

（13）容斥原理

“条件与提问”都可以直接代入公式求解。

反之，采用文氏图法或文氏图与公式法相结合。

两集合标准公式：

A∪B＝A+B－A∩B

即：

满足条件Ⅰ的个数＋满足条件Ⅱ的个数－两者都满足的个数＝总数－两者都不满足的个数

二集合容斥题目，经常会与整除判断思想结合出考题。

三集合标准公式：

A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

（用图示法解题时，应由中心向外进行标注）

（14）最值问题

在题干中出现“至少……，才能保证……”等信息时，一般考虑运用抽屉原理解题。

突破点在于构造最不利情况，使目标事件最晚发生。

抽屉原理：

1.将多于n件的物品放入n个抽屉中，那么其中至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。

2.将多于m×

n件的物品放入n个抽屉中，那么其中至少有一个抽屉中的物品件数不少于m＋1。

最不利构造：

假设所有的物品都在自己的手中，然后逐一发出，在发出的过程中尽可能不要满足题目的目标，直到满足目标事件为止。

题干中出现“最少的……最多”“最多的……最少”、“最轻的……最重”、“排名第……最多（最少）”等字眼时，可根据题意，利用极端思想构造数列求解。

最少的……最多

从蓟县采摘回来，给同部门的5位同事捎来21个苹果，如果每个人分配的苹果不一样，问分得最多的那位同事至少能分得多少个？

【解析】“最多的同事最少”意味着其他人要最多，如果假设最多的最少为x，同时考虑到每个人的苹果数不同，那么其他人最多也就是比第一名少1、2、3、4，进而可以得到下表：

第一

第二

第三

第四

第五

x

x－1

x－2

x－3

x－4

排名第……最……

从蓟县采摘回来，给同部门的5位同事捎来21个苹果，如果每个人分配的苹果不一样，问分得第二多的那位同事最多能分得多少个？

【解析】“第二多的最多”意味着其他人要最少，如果假设第二多的最多为x，同时考虑到每个人的苹果数不同，那么第一最少为（x＋1）,其他人最少为1、2、3，进而可以得到下表：

x＋1

2

1

（15）植树与方阵问题

通过画图进行分析，明确“±

1关系”是解答植树问题的关键。

单边线型植树公式：

（两头植树）

棵数＝总长÷

间隔＋1，总长＝（棵数－1）×

间隔

变形题：

等时间采样问题，等距离车站问题

单边环型植树公式：

（环形植树）

间隔，总长＝棵数×

单边楼间植树公式：

（两头不植）

间隔－1，总长＝（棵数＋1）×

截管问题，爬楼梯问题

双边植树问题：

相对应单边植树问题所需棵数的2倍

解决方阵问题，首先要判断出方阵的类型，弄清楚方阵中各量之间的关系，根据不同类型选择相应的公式进行解题。

实心方阵：

N排N列的方阵

总人数＝N2

最外层人数＝4N－4

最外层与次外层人数差8