胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案Word文档格式.doc
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2-7求图2-5中无源网络的传递函数。
由图得
2-8试简化图2-6中所示系统结构图,并求传递函数和。
(a)
⑴求传递函数,按下列步骤简化结构图:
图2-6习题2-8系统结构图示意图
①令,利用反馈运算简化如图2-8a所示
图2-8a
②串联等效如图2-8b所示
图2-8b
③根据反馈运算可得传递函数
⑵求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①令,重画系统结构图如图2-8c所示
图2-8c
②将输出端的端子前移,并将反馈运算合并如图2-8d所示
图2-9d
③和串联合并,并将单位比较点前移如图2-8e所示
图2-8e
④串并联合并如图2-8f所示
图2-8f
⑤根据反馈和串联运算,得传递函数
(b)求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①将的引出端前移如图2-8g所示
图2-8g
②合并反馈、串联如图2-8h所示
图2-8h
③将的引出端前移如图2-8i所示
图2-8i
④合并反馈及串联如图2-8j所示
图2-8j
⑤根据反馈运算得传递函数
图2-7习题2-9系统结构图示意图
习题2-4无源网络示意图
2-9试简化图2-7中所示系统结构图,并求传递函数。
求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①将的引出端前移如图2-9a所示
图2-9a
②合并反馈及串联如图2-9b所示
图2-9b
③合并反馈、串联如图2-9c所示
图2-9c
④根据反馈运算,得传递函数
2-10根据图2-6给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数和。
(a)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10a所示。
图2-10a
(1)令,求系统传递函数
由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,,
与互不接触
流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
(2)令,求系统传递函数
?
由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有两条前向通路,其增益为
,
有两个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
没有互不接触的回路,所以流图特征式为
(b)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10b所示。
图2-10b
求系统传递函数
由信号流图2-10b可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
流图特征式为
2-11根据图2-7给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数。
根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-11a所示
图2-11a
由信号流图2-11a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为
没有互不接触回路。
因此,流图特征式
3-2已知各系统得脉冲响应,试求系统的闭环传递函数:
(1);
(2);
(3)。
3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为,试求系统的超调量,峰值时间和调节时间。
=
由上式可知,此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组,得
所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间
3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解题过程:
由题意可得系统得闭环传递函数为
其中。
这是一个比例-微分控制二阶系统。
比例-微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
故显然有
此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间
3-5已知控制系统的单位阶跃响应为,试确定系统的阻尼比和自然频率。
系统的单位脉冲响应为
系统的闭环传递函数为
自然频率
阻尼比
3-6已知系统特征方程为,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下
显然,由于表中第一列元素得符号有两次改变,所以该系统在右半平面有两个闭环极点。
因此,该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。
显然,特征方程的各项系数均为正,则
显然,此系统不稳定。
3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为,试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。
由题得,特征方程是
列劳斯表
由题意,令所在行为零得
由行得
解之得,所以振荡角频率为
3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统稳定时的值范围。
由题可知系统的特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据可得
解上述方程组可得
3-9系统结构如图3-1所示,,定义误差,
(1)若希望图a中,系统所有的特征根位于平面上的左侧,且阻尼比为0.5,求满足条件的的取值范围。
(2)求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3)为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图b所示,试求出合适的值。
(a)(b)
图3-1习题3-9示意图
(1)闭环传递函数为
即
,代入上式得,
列出劳斯表,
(2),系统为I型系统∴
并没有改变系统的稳定性。
3-10已知单位反馈系统的开环传递函数:
(1);
试求输入分别为和时,系统的稳态误差。
由上式可知,该系统是型系统,且。
型系统在信号作用下的稳态误差分别为:
。
根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为,该系统在输入为时的稳态误差为
(2)
3-11已知闭环传递函数的一般形式为
误差定义为。
试证,
(1)系统在阶跃信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(2)系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
满足终值定理的条件,
即证
(2)
(3)对于加速度输入,稳态误差为零的必要条件为
同理可证
(4)系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。
3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为:
试求位置误差系数,速度误差系数,加速度误差系数。
(1)此系统是一个型系统,且。
故查表可得,,
(2)根据误差系数的定义式可得
(3)根据误差系数的定义式可得
3-13设单位反馈系统的开环传递函数
输入信号为
其中,,,i,,均为正数,a和b为已知正常数。
如果要求闭环系统的稳态误差<
其中,试求系统各参数满足的条件。
首先系统必须是稳定的,系统的闭环特征方程为
式中,,为系统的开环增益,各参数满足:
即稳定条件为
由于本例是I型系统,其,,故在作用下,其稳态误差
必有
于是,即能保证系统稳定,又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为
3-14设单位反馈系统的开环传递函数为。
试用动态误差系数法求出当输入信号分别为时,系统的稳态误差。
系统的误差传递函数为
所以有
对上式进行拉氏反变换可得
(1)
当时,显然有
将上述三式代入
(1)式,可得
系统的稳态误差为
3-15假设可用传送函数描述温度计的特性,现在用温度计测量盛在容器内的水温,需要一分钟时间才能指出实际水温的的数值。
如果给容器加热,使水温依的速度线性变化,问温度计的稳态误差有多大?
由题意,该一阶系统得调整时间,但,所以。
系统输入为,可推得
因此可得
的稳态分量为
稳态误差为
所以,稳态误差为
3-16如图3-2所示的控制系统结构图,误差在输入端定义,扰动输入.
(1)试求时,系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。
(2)若,其结果又如何?
(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节,对其结果有何影响?
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节,对其结果又有何影响?
图3-2习题3-16示意图
令,,
则代入
得
令,得扰动作用下的输出表达式:
此时的误差表达式为:
若在s右半平面上解析,则有
在扰动输入下的稳态输出为
代入的表达式,可得
(1)当时,
(2)当时,
可见,开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大,且稳态误差的绝对值也增大。
(3)若加在扰动之前,则
得
若加在扰动之后,则
可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节,可以消除阶跃输入引起的稳态误差。
3-17设随动系统的微分方程为:
其中,为系统输出量,为系统输入量,为电动机机电时间常数,为电动机电磁时间常数,为系统开环增益。
初始条件全部为零,试讨论:
(1)、与之间关系对系统稳定性的影响
(2)当,,时,可否忽略的影响?
在什么影响下的影响可以忽略?
(1)对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换,得闭环系统特征方程
当均为正值时,且有
即时闭环系统稳定。
(2)由于,因此只有当
闭环系统才稳定,显然,对于,闭环不稳定。
此时若略去,
闭环特征方程为
上式中各项系数为正,从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。
如果
。
如果,则略去不会影响闭环稳定性。
对于本例,当时,不能忽略对稳定性的影响,否则可以忽略。
3-18设计题
飞机的自动控制,是一个需要多变量反馈方式的例子。
在该系统中,飞机的飞行姿态由三组翼面决定,分别是:
升降舵,方向舵和副翼,如附图3-3(a)所示。
飞行员通过操纵这三组翼面,可以使飞机按照既定的路线飞行。
这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统,它通过调节副翼表面来控制倾角,只要使副翼表面产生一个的变形,气压在这些表面上会产生一个扭矩,使飞机产生侧滚。
图3-3(a)飞机副翼模型图
飞机副翼是由液压操纵杆来控制的,后者的传递函数为。
测量实际的倾角,并与输入设定值进行比较,其差值被用来驱动液压操纵杆,而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。
为简单化起见,这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关,其结构图如图3-3(b)所示,又假定,且角速率由速率陀螺将其值进行反馈,期望的阶跃响应的超调量,调节时间(以的标准),试选择合适的和值。
图3-3(b)飞机控制倾角结构图
由于过阻尼响应缓慢,故通常不希望采用过阻尼系统,在本题中欠阻尼
因此,
计算可得
又因,,
由题计算可得,
故
图4-1习题4-1系统零极点分布图
4-1已知系统开环零极点分布如图4-1所示,试绘制相应的根轨迹图。
图4-1a根轨迹图
(a)根轨迹的渐近线条数为
(b)根轨迹的渐近线条数为
(c)根轨迹的渐近线条数为,渐近线的倾斜角为,,
(d)根轨迹的渐近线条数为
(e)根轨迹的渐近线条数为
(f)根轨迹的渐近线条数为,渐近线的倾斜角为
4-2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为:
(1)
(2)
(3)(4)
,画出各系统的根轨迹图。
(1)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统开环有限零点为;
开环有限极点为
②实轴上的根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为,渐近线的倾角为
渐近线与实轴的交点为
闭环系统根轨迹如下图4-2a所示
图4-2a闭环系统根轨迹图
(2)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统没有开环有限零点;
,,,
④分离点方程为
解得分离点
闭环系统根轨迹如下图4-2b所示
图4-2b
(3)按下列步骤绘制根轨迹:
②实轴上根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为,,
④根轨迹的起始角:
复数开环有限极点处,
⑤分离点方程为
检查
时,
皆为闭环系统根轨迹的分离点。
⑥确定根轨迹与虚轴的交点:
系统闭环特征方程为
列写劳斯表
当时,劳斯表出现全零行,辅助方程为
解得根轨迹与虚轴交点为。
根轨迹如下图4-2c所示:
图4-2c
(4)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统开环有限零点为;
开环有限极点为,,
②实轴上根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为,,
根轨迹如下图4-2d所示:
图4-2d
图4-2习题4-3系统零极点分布图
4-3给定系统如图4-2所示,,试画出系统的根轨迹,并分析增益对系统阻尼特性的影响。
(1)作系统的根轨迹。
开环传递函数为
①开环极点为和,开环零点为和。
②所以实轴上的根轨迹区间为和。
③分离点方程
得分离点
可得到根轨迹如下图4-3a所示
图4-3a
(2)分析增益对阻尼特性的影响。
从根轨迹图可以看出,对于任意,闭环系统都是稳定的,但阻尼状况不同。
增益较小时()系统过阻尼;
增益很大时(),系统过阻尼;
增益中等时(),系统欠阻尼。
图4-3习题4-4系统结构图
4-4给定控制系统如图4-3所示,,试用系统的根轨迹图确定,速度反馈增益为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于。
(1)求系统的闭环特征方程并划成标准形式。
通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数
因为可变参数不是分子多项式的相乘因子,所以先求系统的闭环特征方程
改写为
即,上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为
的系统的闭环特征方程。
(2)根据作出根轨迹图。
有两个极点,一个零点,所以负实轴是根轨迹,而且其上有分离点。
将闭环特征方程改写为
由可以求得,其中在根轨迹上,对应增益为,故是实轴上的分离点。
根轨迹如图4-4a所示。
图4-4a
(3)求反馈增益。
首先要确定闭环极点。
设途中虚线代表,则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点,由可得。
设
列出该点对应的辐角条件
经整理得
两边同取正切,整理得
解得,。
所以该闭环极点为。
再由
得速度反馈增益为。
4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为:
要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点,其阻尼比为。
试确定开环增益,并近似分析系统的时域性能。
根据绘制常规根轨迹的基本法则,作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。
图4-5a
欲确定,需先确定共轭复极点。
设复极点为
根据阻尼比的要求,应保证
在图上作的阻尼线,并得到初始试探点的横坐标,由此求得纵坐标。
在处检查相角条件
不满足相角条件;
修正,则,点处的相角为;
再取,则,点处的相角为。
因此共轭复极点。
由模值条件求得
运用综合除法求得另一闭环极点为。
共轭复极点的实部与实极点的实部之比为,因此可视共轭复极点为系统的主导极点,系统的闭环传递函数可近似表示为
并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能
4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为:
试画出系统的根轨迹图,并分析系统的稳定时K的取值范围。
由题得
开环极点:
和
开环零点:
分离、会合点:
从平面的零点、极点分布可知在区间内可能有分离、会合点。
记
由,可得
经整理后得到
用试探法或程序算得区间内的一个根为,它就是实轴上的分离点。
根轨迹自复数极点的出射角:
根轨迹趋向复数零点的入射角:
根轨迹与虚轴的交点:
闭环特征方程为
令,可得
由第二式得,代入第一式,得
解得
根据以上数据画根轨迹图,如图4-6a所示。
图4-6a根轨迹图
再分析系统得稳定情况:
根轨迹与虚轴第一个交点的频率为,
利用幅值条件可以计算出对应的增益
同样可以算得与和对应的增益
参看根轨迹图可知:
系统稳定时的取值范围为:
或
4-7已知单位反馈系统的开环传递函数为:
的变化范围是,试画出系统的根轨迹图。
按下列步骤绘制根轨迹:
渐近线与实轴的交点为
④分离点方程为
闭环系统根轨迹如下图4-7a所示
图4-7a
4-8已知反馈控制系统的开环传递函数为:
试画出和同时变化的根轨迹簇。
(1)列写闭环特征方程。
闭环特征方