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物体做曲线运动的条件是:
运动物体所受合力的方向与其速度方向不在同一直线上。
由于物体的加速度与它所受的合外力方向相同,所以也可以认为物体做曲线运动的条件是:
物体的加速度方向与其速度方向不在同一直线上。
从牛顿第二定律的角度考虑:
当合力与速度在同一直线上时,它只改变其大小,最多使其反向;
当合力与速度有一夹角时,它就不但可以改变速度的大小,也可以改变其方向,这时物体就做曲线运动。
二、运动的合成与分解法则
复杂的运动常常可以看成是由几个简单的运动组成,比如在急流中过河的渡船,会被冲下去一段距离,这个运动就可以看成是两个运动的合成:
一是沿垂直于河沿方向的直线运动;
另一个顺着水流方向的直线运动。
如图2:
图
(2)中S1、S2两段是分运动,而物体(船)的实际位移AD是合运动。
我们又可将AB、AC称为分位移,而AD称为合位移。
特别强调的是:
两个分运动是同时发生的,物体经过AB、AC两个分位移的时间是一样的。
即t1=t2=t,我们将合运动在这一段时间内的速度称为合速度
,那么分速度就是
,
。
用同样的方法可以定义合加速度、分加速度:
因为位移、速度、加速度都是矢量,因此它们的合成与分解都遵循矢量的计算法则——平行四边形法则。
如图3是用平行四边形法则进行速度的合成。
如果两个分运动都是匀速直线运动,由于分速度的大小、方向都是恒定的,那么合速度也就是确定的,合运动就是匀速直线运动。
如果两个运动中有一个匀变速直线运动,那么合运动就可能是曲线运动,即两个直线运动的合运动可以是曲线运动。
反过来说:
一个曲线运动可以分解为两个直线运动,弄清楚作为分运动的两个直线运动的规律,就可以知道作为合运动的曲线运动的规律。
三、平抛运动的特点及规律
1、平抛运动:
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,不计空气阻力,物体只在重力作用下所做的运动。
由于物体受到的合外力(重力)方向(竖直向下)与其速度方向不在同一直线上,所以平抛运动是曲线运动。
如图4是平抛物体的轨迹,物体通过OA、AB、BC所用时间是相等的。
可以看出,平抛运动是可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动,水平方向上匀速直线运动,这是因为物体在水平方向上不受力,保持抛出时的初速度;
竖直方向上是自由落体运动,因为它只受重力作用,而且竖直方向上的初速度为零。
2、平抛运动的位移公式
以水平方向为x轴,正方向与v0方向相同,竖直向下方向为y轴正方向,那么,物体在任意时刻的位置坐标P(x,y)可由下式求出:
如图4
…
(1)
…
(2)
由
(1)、
(2)两式可求出以初速v0抛出的物体任意时刻的位置
将
(1)、
(2)式中消去变量t,可以得到平抛运动的轨迹方程
…(3)
(3)式为抛物线方程
3、平抛运动的速度公式
平抛物体在任意时刻的速度vt可以分解为水平分速度和竖直分速度,vx、vy
…(5)
…(4)
由平行四边形法则,可以求得:
∴
…(6)
速度的方向是沿此点处抛物线的切线方向(如图4),vt与水平方向的夹角θ有:
…(7)
【典型例题】
例1、关于力和运动的下列说法中,正确的是()
A、物体在恒力作用下,一定做匀加速直线运动
B、物体在变力作用下,不可能做直线运动
C、物体在恒力作用下,一定做匀变速运动
D、物体在变力作用下,有可能做曲线运动
分析:
物体受力后产生加速度,且这一加速度只与力有关,因此物体在恒力作用下,一定做匀变速运动,但不一定是匀变速直线运动,只有在v0=0或v0方向与恒力方向在同一直线上时,才是匀变速直线运动,所以A错C对。
物体做曲线运动的条件是外力方向与初速度(v0)方向不在同一直线上,与力是恒力还是变力无关,所以B错D对。
答:
选C、D
例2、商场里的自动扶梯可以在t1时间内将静止不动人送到楼上,如果扶梯不动人走到楼上需要t2时间,那么此人沿运动的扶梯走上去,需要时间为___________。
人沿着运动扶梯向上走的运动,可以看成是两个运动的合运动,一是扶梯本身的运动,速度v1,一是人本身的运动速度v2,(如图5)由于这两个速度的方向一致,所以合运动的速度大小为:
v=v1+v2
解:
设运动的总位移为S,则
∴v=v1+v2=
∴
即所需时间为
例3、小船在宽为d=800m的河中渡河,水的流速v1=3m/s,船在静水中的速度v2=5m/s。
(1)要使船在最短时间内到达对岸,应如何开行?
需时多久?
到达对岸何处。
(2)要使船到达正对岸,应如何开行?
耗时多久?
船渡河的运动可以看作包括两个分运动
(1)船被水流冲击,顺流而下的运动v=v1=3m/s
(2)船本身沿其船头指向的运动v=v2=5m/s
渡河时间的长短,取决于沿船头指向的分运动,在该方向速度大小v2一定时,如果位移最小,则所需时间最短,如图6甲,显然当船头垂直于河岸时,位移最短。
要使船到达对岸,就要使船的合运动的速度方向垂直于河岸,所以船头要向上游指,如图6乙所示。
解
(1)t=t2=
在此时间内,船在水流作用下,向下游走了:
S=v1t1=v1t=3×
160=480m
即:
当船头垂直于对岸时,船在最短时间内到达对岸,需时160s,到达对岸时位于下游480m处。
(2)
=4m/S∴θ=530
要使船到达正对岸,就要使船头指向偏上游与河岸夹角为530,渡河所需时间为200s。
从以上分析也可以看出,如果v2≤v1,则船不可能到达正对岸。
例4、一条河的水速为v,一艘船要沿着与河岸成θ角的方向到达对岸下游某处,则船速至少为_______________(θ为锐角)
要使v合沿如图7方向,当v合大小不同时,船速v′的大小方向都是不同的,显然当
v′方向垂直于v合方向时v′最小。
v′=vsinθ
此时船速至少为vsinθ
也可看出,此时船的实际速度v合=vcosθ
例5、飞机水平匀速飞行,从飞机上每隔1s释放一个铁球,先后共释放4个,不计空气阻力,则4个球()
A、在空中运动时,4个球排成一条抛物线
B、小球D刚离飞机时,A、B两小球的间距为25m
C、空中运动时,A球速度始终比B球大10m/s
D、四个小球的落点间隔均匀
小球离开飞机后是做平抛运动,由于惯性,它在水平方向上是匀速直线运动,而在竖直方向上,它是自由落体运动,由于在水平方向向上,小球的速度等于飞机的速度,所以小球一直在飞机的正下方,如图8。
①D刚离开飞机时
SAB=h12=SAD-SBD
=
=45-20
=25m
因为A比B早1S下落,因此它的竖直方向速度要比B大10m/s,但A、B除了竖直方向上有速度外,在水平方向上也有速度
,合速度的差值不是10m/S。
四个小球释放时时间间隔为1S,那么落地的时间间隔也就是1S,所以落点的间隔是均匀的。
答案:
B、D
例6、火车以加速度a=0.98m/S2在平直轨道上作匀加速运动,一乘客从距地面2.5m的车窗外自由释放一小球,不计空气阻力,则小球落地时与乘客的水平距离是多少?
小球被释放后是做平抛运动,而火车是做加速运动,这是两者之间产生水平距离的原因。
设小球释放时水平速度为v0。
小球落地所需时间为
(因为它在竖直方向上自由落体)
小球的水平位移S1=v0t
火车的水平位移为S2=v0t+
at2
∴△S=S2-S1=
at2=
=0.25m
二、以上是以地面为参考系求得的结果,本题也可以从另一角度考虑,假设有另一列火车以v0做匀速直线运动,那么以它为参考系的话,小球是做自由落体运动,水平位移为0,火车是以v0=0,加速度为a作加速运动。
∴△S=
=0.25m
例7、从高处将一个小球水平抛出,1s末速度方向与水平方向间夹角θ1=300,则3S末的速度与水平方向间夹角θ3,3s末速度大小为____________(g=10m/S2)如图9
小球在平抛过程中保持水平方向中速度不变,即V1x=V3x竖直方向上速度,不断变大,有vy=gt。
所以其合速度与水平方向的夹角θ满足
令初速为v0水平方向
v1y=gt1=10m/s
∴
v3y=gt3=30m/s
∴θ3=600
=34.64m/S
例8、水平抛出的小球,在其落地前的最后1s内,速度大小由44.7m/s增加到50m/s,不计空气阻力,g取10m/s2,则小球抛出时速度大小和抛出点距地面的高度分别多大(如图10)
小球在最后在1s内,水平速度是不变的,改变的是它的竖直方向速度。
由
∵
解这个二元二次方程组
(1)
(2)各左右平方
(4)-(3)得:
501.91=20
-100
v0=40m/s
抛出时速度大小为40m/s,抛出点距地面高为45m。
【巩固练习】
1、做曲线运动的物体()
A、一定具有加速度
B、加速度大小可能不变
C、加速度方向不可能不变
D、加速度方向与位移方向一致
2、一个质点在两个平衡力作用下作匀速直线运动,若撤去其中的一个,则此后该物体()
A、一定做曲线运动
B、一定做变速运动
C、可能做匀速直线运动
D、可能做匀减速直线运动
3、运动物体的速度,加速度及所受合外力三者的方向关系是:
()
A、三者的方向总是相同
B、速度方向与加速度方向可成任意夹角,但加速度方向总是与合外力方向相同
C、速度方向总是与合外力方向相同,而加速度方向可能与合外力方向相同,也可能不同
D、三者的方向间可以成任意夹角
4、关于合运动与分运动的关系,下列说法正确的是:
A、合运动速度不小于分运动速度
B、合运动的加速度不可能与分运动的加速度相同
C、合运动与分运动没有关系,但合运动与分运动的时间相等
D、合运动轨迹与分运动轨迹可能重合
5、游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡,当水速突然增大时,对运动员横渡所经历的路程、时间发生的影响()
A、路程增长,时间增长
B、路程增长,时间缩短
C、路程增长、时间不变
D、路程与时间均与水速无关
6、小船在流速恒定的河中沿河岸往返一段距离所需时间t1,它在静水中往返同样距离所需时间t2,设船对静水的速度一定,则()
A、t1=t2
B、t1>
t2
C、t1<
D、无法确定
7、如图11所示,船的划行方向用5个箭头表示,每相邻两个箭头之间的夹角为300,已知水的流速是1m/s,船在静水中划速为2m/s,为使船在最短时间内渡间,那么划船的速度方向为______________;
要使船以最短位移过河,划船的方向应是___________;
划船方向沿A、B、D、E方向时,渡河时间tA、tB、tD、tE的大小关系为__________。
8、小船过河时,船头偏向上游与水流方向成α角,船相对水的速度为v,其航线恰好垂直于河岸,现水流速度稍有增大,为保持航线不变,且准时到达对岸,下列措施中可行的是:
A、减小α角,增大船速v
B、增大α角,增大船速v
C、减小α角,保持船速v不变
D、增大α角,保持船速v不变
9、河宽l=300m,水速u=1m/s船在静水中的速度v=3m/s,欲分别按下列要求过河时,船的航向应与河岸成多大角度?
过河时间是多少?
(1)以最短时间过河
(2)以最小位移过河
(3)到达正对岸上游100m处
10、一船从码头A横渡河流,河宽300m,水流速度为2m/s,在A的下游距A400m开始出现危险水域,为保证安全,船必须在未到达危险水域之前到达对岸,则船速最小为多少?
11、某人乘船横渡一条河流,船速与水流速度恒定,且船速大于水流速度,船渡过河的最短时间为t,若船用最短位移过河需要的时间为t2,则船速与水的流速之比为多少?
12、从高为h=20m的塔顶以初速v0=20m/s水平抛出一个小球,经_____秒落地,落地点距抛出点的水平距离为________,落地时的速度大小为___________与水平方向夹角为____________(g=10m/s2)
13、一物体以初速度v0从塔顶水平抛出,测得其落地速度为vt,则该物体在空中运动的时间为多少?
塔高多少?
14、从离地高h处以初速v0水平抛出一小球,落地处的水平位移为s,若高度降为
,要求落地处水平位移仍为s,则水平抛出的初速度应为___________。
15、在一次“汽车飞黄河”的表演中,汽车在空中飞经最高点后在对岸着地,已知汽车从最高地点至着地点经过时间约为0.8s,两点间水平距离约为30m,忽略空气阻力,则汽车在最高的速度约为_________,最高点与着地点间高度差约为___________。
(g取9.8m/s2)
16、如图11所示,以初速度v0=9.8m/s水平抛出的物体,飞行一段时间后垂直撞在倾角为300的斜面上,则物体在空中的飞行时间为多少?
17、在海岸边高h=80m的悬崖上,望见离岸s=1600m处,正以v=10m/s的速度向海岸驶来的敌舰,欲用平射炮正好击中敌舰则炮弹的初速应为多少?
(g=10m/s2)
18、倾角为θ的斜面长为l,在顶端A点水平抛出一物体,它刚好落在这个斜面的底端B点,则抛出物体的初速度v0为多大?
【巩固练习答案与提示】
1、A、B
提示:
做曲线运动的物体的速度一直在变,所以必然有加速度,加速度的大小和方向都是不确定的,可能变,也可能不变。
2、B、D
撤去一个力后,物体不平衡,一定做变速运动,其轨迹可能是曲线,也可能是直线,关键看合外力方向与物体原来的速度方向在不在同一直线上。
3、B
物体产生加速度的原因是物体受到合外力作用,所以这二者方向必然一致。
4、D
对于一个初速为v0加速度为a的匀加速直线运动,它可以被认为是一个速度为v0的匀速直线运动和另一个初速为零,加速度为a的匀加速运动的合运动,那么这时轨迹是重合的,加速度也是相同的。
5、C
根据
水速加大后
∴s2>
s1路程变长
但
游速不变
∴t不变
6、B
设水速为v,船速为u,因为船要往返,所以u>
v,令两地距离为s,则顺流速度u+v,逆流速度u-v
静水中往返一次
∵u>
v
∴t1>
7、C方向;
B方向tA=tE>
tB=tD
船速向A、E方向时,它在垂直于河岸方向的分速度较小,所以时间长。
8、B
要保持航线,又要准时到达,就必须垂直于河岸的分速度大小、方向都不变,
如图13,船速要变大,α角也要变大。
9、提示:
(1)要以最短时间过河,就要垂直于河岸的速度最大,(tmin=100s,夹角=900)
(2)要以最小位移过河,就要合速度垂直于河岸
(t=
s=106.07s夹角arccos
约70.50)
(3)要到正对岸上游100m处,就必须合速度方向指向上游100m处。
(t=125s夹角530)
10、提示:
如图14,是刚好到达危险水域前抵达对岸,当v船方向垂直于v方向时,船速最小。
v船:
v水=3:
5
∴v船=1.2m/s
11、提示:
令船的速度为u,水速为v,河宽为d。
则有t1=d/u
t2=d/
∴d=ut1
u2t22-v2t22=u22v12
u2(t22-t12)=v2t22
∴u:
v=t2
:
12、提示:
物体在竖直方向上做自由落体运动
s=v0t=40m
落地时速度是水平方向速度和竖直方向速度的合速度
13、提示:
即运动时间为
,塔高
14、提示:
当高度降为时,物体落地时间缩短,要想水平位移不变,就必须加大初速度。
v0′=2v0
15、提示:
汽车经过最高点后做平抛运动
v=37.5m/s
h=3.14m
16、提示:
所谓“垂直撞在斜面上”,就是碰到斜面时的末速度方向垂直于斜面,如图15,vt方向与水平方向夹角为600。
17、提示:
平射炮发出的炮弹做平抛运动,在这一过程中,敌舰仍然在不停向前走,所以炮弹的射程应不足1600m,如图16。
炮弹飞行时间:
此时敌舰走了:
△s=vt1=40m
∴射程:
s=1600-40=1560m
∴v0=s/t=390m/s
炮弹初速度为390m/s。
18、提示:
物体落下时,水平方向位移s,竖直方向位移h均可求出,由h求出时间t,即可得v.
s=lcosθh=lsinθ
∴v0=s/t
物体的初速度为