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题目：

随机模拟方法研究

学生姓名吴含

学院名称建筑工程学院

专业水工结构工程

学号2014205151

随机模拟方法研究

摘要随机模拟方法，也称为蒙特·卡罗（MonteCarlo）方法。

它的基本思想是：

为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。

所谓随机模拟，是指根据收集的信息，人工合成反映变量Z（u）空间分布的模型，且该模型是可选的、高精度的和等概率的。

本文根据文献及相关数据查阅，简单描述总结了随机模拟方法在地质建模、风险分析、水文随机模拟等领域中的一些应用。

1.随机模拟方法的起源及思想

随机模拟方法，或称蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。

19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。

本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？

MonteCarlo方法是这样一种“随机化”的方法：

向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。

可用民意测验来作一个不严格的比喻。

民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。

其基本思想是一样的。

科技计算中的问题比这要复杂得多。

比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。

对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（CourseDimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。

MonteCarlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。

以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。

为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。

另一类形式与MonteCarlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi-MonteCarlo方法）—近年来也获得迅速发展。

我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。

这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列（数学上称为LowDiscrepancySequences）代替MonteCarlo方法中的随机数序列。

对某些问题该方法的实际速度一般可比MonteCarlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。

2随机模拟方法介绍

2.1随机模拟方法基本原理

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。

因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。

蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。

设有统计独立的随机变量（=1，2，3，…，k），它们对应的概率密度函数分别为，，…，，功能函数式为Z=g（，，…，）。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数，，…，值，计算功能函数值=g（，，…，） （=1，2，…，N），若其中有L组随机数对应的功能函数值≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：

结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。

特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

2.2随机模拟方法特点

蒙特卡洛方法的特点有很多，主要优点如下：

（1）能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。

从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。

用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。

它有直观、形象的特点。

（2）受几何条件限制小。

在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分

时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点，得到积分的近似值。

其中Ds为区域Ds的体积。

这是数值方法难以作到的。

另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。

（3）收敛速度与问题的维数无关由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛速度为，与问题本身的维数无关。

维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。

也就是说，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。

维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。

这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。

而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增加，而且，由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。

（4）具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。

对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。

例如，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。

另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所求量。

例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不同区域的通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计算所求量。

（5）误差容易确定

对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情，而蒙特卡罗方法则不然。

根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差。

对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也是容易确定的。

一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要解决这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在这一问题。

（6）程序结构简单，易于实现。

在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。

同时，一种方法并不可能是完美无缺的，必然也存在种种缺陷：

（1）收敛速度慢。

如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为，一般不容易得到精确度较高的近似结果。

对于维数少（三维以下）的问题，不如其他方法好。

（2）误差具有概率性。

由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。

（3）在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。

经验表明，只有当系统的大小与粒子的平均自由程可以相比较时（一般在十个平均自由程左右），蒙特卡罗方法计算的结果较为满意。

但对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果往往比真值偏低。

而对于大系统，数值方法则是适用的。

因此，在使用蒙特卡罗方法时，可以考虑把蒙特卡罗方法与解析（或数值）方法相结合，取长补短，既能解决解析（或数值）方法难以解决的问题，也可以解决单纯使用蒙特卡罗方法难以解决的问题。

这样，可以发挥蒙特卡罗方法的特长，使其应用范围更加广泛。

2.3随机模拟方法的主要应用范围

蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。

它的主要应用范围包括：

粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。

随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。

蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：

实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。

蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：

通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。

3.随机模拟方法应用研究

3.1随机模拟方法在三维地质建模中的应用

随着计算机技术的飞速发展，三维地质建模技术越来越为地学界重视，并

成为地质可视化技术的一个热点。

所谓三维地质建模，就是运用计算机技术，

在三维微机环境下，将空间信息管理、地质解译、空间分析和预测、地学统计、

实体内容分析以及图形可视化等工具结合起来，用于地质研究一门新的技术。

随着计算机技术的飞速发展，三维地质建模技术越来越为地学界重视，并成为地质可视化技术的一个热点。

所谓三维地质建模，就是运用计算机技术，在三维微机环境下，将空间信息管理、地质解译、空间分析和预测、地学统计、实体内容分析以及图形可视化等工具结合起来，用于地质综合研究一门新的技术。

到目前，已经形成了相当的规模，各类软件层出不穷，像早期的EsrthVision，Landmark 中的 startmod 等等，但这些软件始终没有在各个油田应用起来，储层地质建模真正在中国各油田应用起来，是当Petrel，RMS，Gocad，Fasttracker，RC2 等等这些软件出现以后。

其实三维地质模型的建立就是对地质体的数字化表述过程，例如，建立地质模型需要将钻井分层数据、井位坐标、钻井轨迹、测井曲线、测试资料、地震解释成果等多种资料加载到计算机里面，三维地质模型本身也可以产生各种成果图件，这就相当于建立了一个完整地基础资料和成果数据库。

因此，一个精细的地质模型应该起到一个数字地质研究平台的作用。

从这个模型中可以随时提取各种地质研究和油藏开发所需要的资料。

该模型应该是一个可靠的、落实钻井资料、地层对比的数据库；可以随时从中提取构造图、地层等厚图、砂岩厚度图、岩石物性等值线图、断面图以及任意部位或方向的油藏剖面图等一系列基础研究图件。

三维地质建模的一项关键技术就是地质统计学，尤其是随机建模技术。

所谓地质统计学是指以区域化变量理论（TheoryofRegionalizedVariable）为基础的，以变异函数（Viriogram）为基本工具，用来研究那些属于空间并呈现出一定的随机性和结构性的自然现象（包括地质现象）的科学。

它主要包括：

克里金技术，变差函数理论和随机模拟等三个方面。

地质统计学（Geostatistics）是法国数学家G.Matheron教授于上世纪60年代创立并发展起来的一门集数学与能源开采为一体的边缘学科，它早期主要被用于研究地质学现象的空间结构和进行空间估值，随着其理论的不断成熟和完善，逐渐被广泛应用到矿产开采以及油气开发领域并取得了较好的成绩。

地质统计学于1977年传入我国，当时该学科已经发展了近15年的时间并且取得了较大的进展和显著的成果，因此受到了我国从事矿产地质和矿产卡法的工业部门及有关管理单位的重视，地质矿产部，冶金工业部，石油工业部，核工业总公司等工业管理领导部门都相继组织力量研究乐地质统计学的理论，方法，并组织学术交流和进行国际合作，同时各大地质院校相继开设了地质统计学课程，正是这种良好的社会环境为先进的地质统计学的引入与发展开阔了道路。

3.2随机模拟方法在水电工程风险分析中的应用

水电工程同其它工业项目一样，在投资上存在一定的风险性，这主要是任何水电工程从规划、设计到经济使用期结束的整个周期一般有几十年，在这几十年内，影响工程经济效果的客观因素会不断的变化。

在设计中诸原始数据误差，参数和数据不足，统计方法的局限性，存在难以计量的定性因素，不准确的经验假设，经济体制改革以及国内经济政治形势变化都会影响投资效果。

水电站年发电量受水文情况的制约，尤其是多年调节水库，投产后一段时间内的发电量受来水条件影响很大。

另外，设计经营成本，由于原材料、设备价格的变化以及概（预）算考虑不周，如工程量漏项或估算不准等因素及以后的改（扩）建投资额也是不确定的，由于这些不确定因素的存在，所以在经济评价中不仅要进行经济效果的大小分析研究，而且还要进行经济效果的不确定性分析研究，不确定性分析主要包括敏感性分析和概率（风险）分析。

风险分析方法可分为数学分析法和蒙特卡洛随机模拟法，按概率分布可分为连续型概率分布和离散型概率分布两种。

一般对连续型概率分布采用随机模拟法，该方法的实质是将各参变量的值根据其相应的概率打入相应的0-1随机范围，当计算机产生的均匀分布随机数落在规定范围内时，就选取相应上变量值，即为随机抽样值，然后用各变量的随机抽样值来计算经济评价值，这样对每个变量随机地取一次样就可以计算出经济评价指标的一个随机值，如果重复若干次随机取样和计算，就可以得出经济评价指标若干个。

通过分析计算的指标一般为评价项目的净现值或内部收益率大于基准收益率的累积概率，用以判断项目的风险程度。

净现值的期望值大于零的即为可行，大于零的累积概率愈接近1，抗风险性愈强。

3.3随机模拟在水文方面的应用

水文系统受气候和人类活动影响，呈现出非常复杂的行为特征。

在现有社会、经济和技术条件下，对水文系统进行真实的物理实验以揭示其结构和功能，显然是十分困难的。

由于系统的复杂性，目前还不能用准确的数理方程描述并求解。

要了解水文系统各组成间的相互关系，预测水资源开发方案可能产生的效果及对生态的影响，分析系统的发展趋势，当前可行的一类方法就是水文随机模拟。

所谓水文随机模拟，指根据水文系统观测资料的统计特性和随机变规律，建立能预估系统未来水文情势的随机模型，由模型通过统计试验获得大量的模拟序列，再进行水文系统分析计算，解决系统的规划、设计、运行与管理问题的方法。

水文随机模拟成为认识、设计和管理复杂水文系统的主要方式之一，一直是水文科学研究的热点。

水文随机模拟技术的关键是建立合理可靠的随机水文模型。

就目前成熟的、应用较多的随机模型而言，可归纳为3类：

回归类模型、解集类模型和具有物理基础类模型。

随着水文随机模拟在水科学领域广泛应用，水文学家对水文随机模拟本质和科学作用的认识得到了全面提升。

主要表现为:

模拟序列的本质问题、模拟序列中的特异值问题和随机模型可靠性问题。

模拟序列来自于随机模型。

当序列足够长时，模拟序列就等同于随机模型。

当随机模型可作为研究对象的总体，那么模拟序列就可以来表征未来可能出现各种时序和数量的变化，特别是可能出现各种极端恶劣组合情况，无疑有助于在水资源系统的规划设计和运转管理决策时对可能出现的不利情况作出更全面的考虑。

因此模拟序列也可称为估算序列。

模拟序列与实测序列的区别何在呢?

当随机模型仅利用了实测序列的信息，那么模拟序列的信息量没有变化，它仅仅利用实测序列含有的信息进行时序的外推，其代表性不变。

当随机模型利用了实测序列之外其它信息，那么模拟序列的信息量得到了大量的增加，其代表性就高于实测序列。

后者往往是常采用的形式。

所以，模拟序列不是所谓的“假造序列”。

由随机模型模拟出大量的模拟序列，其中可能出现个别的特异值，例如负流量、数值非常大的流量（经分析不可能出现）。

随机模型中的独立随机项一般用正态分布或P-Ⅲ型分布来表征其统计特性。

这些分布都是无上限，当模拟序列数量很大时，可能出现个别“离奇”的特大值。

这并不违背统计规律。

问题的症结是能否用上端无限的分布曲线。

这和下面的情况十分类似。

误差尽管不会无穷大，但正态分布仍然为大家公认用来表示误差的分布。

上端无限分布的应用导致模拟序列中出现“离奇”的特大值。

又如在作洪水频率曲线分析时，当频率取非常大时，得到的洪水也非常大。

因此关键在于在分析计算时，是否采用特大值和以大量模拟序列为基础的水资源系统规划设计成果受个别“离奇”特大值的影响有多大。

事实上对于后者，影响是微小的，因为设计成果是取用某种估计量的平均值和分位数，而平均值和分位数这些统计量主要取决于数量很大的模拟序列本身。

这一点正好和处理实测序列的情况形成鲜明的对照。

实测序列只有几十年，在这样一个短序列中加入一个特大值举足轻重。

相反，在大量模拟序列中可能出现负值。

如在模拟大量序列中出现的负值较少，其存在不影响实际应用;如出现负值较多，则该随机模型必须进行修正或更换。

由于水文过程的极端复杂性，观测资料往往较短，所选择的随机模型未必能完全反映实际水文过程的特性，即模型与原型之间可能存在着一定的差异。

这种差异不仅表现在模型结构与原型可能有差异，而且模型参数的估计也会存在着一定的误差。

这就是随机模型可靠性问题。

应用研究表明，只要模型结构合理、参数估计方法比较稳健，则建立的随机模型是可靠的。

4.结论与展望

本文通过阅读文献总结了随机模拟方法（蒙特卡洛方法）的基本原理，从方法本身的角度归纳总结了随机模拟方法的特点以及主要应用范围。

并在阅读文献的基础上对随机模拟方法在三维地质建模，水电工程风险分析以及水文随机模拟领域进行了总结与归纳。

对随机模拟方法有了一定初步认识。

我认为，在三维地质建模领域，在精细化地质建模的方向上，由于地质数据资料获取难度大，对于地质建模中诸多参数的设定及预测过程中，随机模拟过程必不可少，因此随机模拟方法的作用便十分关键。

然而，基于地质体对象的复杂性与地质建模参数的复杂性，简单的蒙特卡洛方法越来越无法满足精细化，精确性建模的需要，地质建模方向需要更进一步的发展，随机模拟数学方法的改进很大程度上来说将是必须进行研究的！

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