全等三角形证明经典50题含答案60326Word下载.docx

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全等三角形证明经典50题含答案60326Word下载.docx

AC平分ZBADCELAB,ZB+ZD=180，求证：

AE二AD+BE

在AE上取F,使EF=EB,连接CF

vCELAB

•ZCEB=ZCEF=90°

vEB=EF,CE=CE

•△CEB^ACEF

•ZB=ZCFE

vZB+ZD-180°

ZCF曰ZCFA=180°

•ZD=ZCFA

vAC平分ZBAD

•ZDAC=ZFAC

•ZBDE=ZE

vAC=AC

12.如图，四边形ABCD中,/BCD且点E在AD上。

AB||ED得：

ZEAB+ZAEDZBDEZABD=180度,

•••△ADC2AAFC（SAS

•••AD=AF

•AE^AF+FE=AMBE

AB//DCBECE分别平分/ABC求证：

BC=AB+DC

vBE平分/ABC

•/ABE2FBE

又vBE二BE

•/ABE^/FBE（SAS

•/A+ZD=180o

vZBFE+ZCFE=180o

•ZD=ZCFE

又vZDCEZFCE

CE平分ZBCD

CE=CE

•/DCE2/FCE（AAS

•CD=CF

•BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：

AB//ED,ZEABZBDEAF二CDEF二BC求证:

ZF=ZC

•••/AEDWABD

•••四边形ABDE是平行四边形。

•得:

AE=BD

vAF=CD,EF=B,C

•三角形AEF全等于三角形DBC

•/F=ZCo

14.已知：

AB二CD/A=ZD,求证：

/B=ZC

设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADvBC寸，E点是射线BA,CD的交点，当AD>

B（时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

•AE=DE

而AB=CD

•BE=CE等量加等量，或等量减等量）

•△BEC是等腰三角形

•/B=/C.

15.P是/BAC平分线AD上一点，AC>

AB求证：

PC-PB<

AC-AB

在AC上取点E,

使AE=AB

vAE=AB

AP=AP

/EAP=ZBAE

•△EAP^ABAP

•PE=PB

PCXEOPE

•PCX（AC-AE+PB

•PC-PB<

AC-AB

16.已知/ABC=2C,/仁/2,BELAE求证：

AC-AB=2BE

v作AG/BD交DE延长线于G

•AGE全等BDE

•AG=BD=5

•AG臼CDF

AF=AG=5

•DC二CF=2

ADLBC

在AC上取一点D,使得角DBC角C

vZABC=2C

丄ABDZABCZDBC=ZC-ZC=2/C;

vZADBZC+ZDBC=ZC;

•••AB=AD

•••AC-AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中,AE是角BAD勺角平分线,

•AE垂直BD

vBE!

•••点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=ADAE垂直BD

•••点E也是BD的中点

•BD=2BE

vBD二CD二ACB

•AGAB=2BE

18.如图，在△ABC中,BD=DCZ仁Z2,求证:

延长AD至BC于点E,

vBD=DC•△BDC是等腰三角形

•ZDBCZDCB

又vZ1=Z2•ZDBCZ仁ZDCBZ2

即ZABCZACB

•△ABC是等腰三角形

•AB=AC

在厶ABD^H^ACD中

{AB=AC

Z仁Z2

BD=DC

•△ABDffiAACD是全等三角形（边角边）

•ZBADZCAD

•AE是厶ABC勺中垂线

•AE1BC

•ADLBC

17.已知，E是AB中点，AF=BDBD=5AC=7求DC

19.如图，OM平分/POQMALOP,MB_OQA、B为垂足,AB交OM于点N.

求证：

/OABhOBA

TOM平分/POQ

•••/POW/QOM

tMALOPMBLOQ

•/MA8/MBW90

tOM=OM

•△AOIWABOM（AAS

•OA=OB

tON=ON

•△AOI^ABON（SAS

•/OAB/OBA/ONA/ONB

•/ONA=ZONB=90

•OMLAB

20.（5分）如图，已知AD//BC/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：

AD+BC=AB

做BE的延长线，与AP相交于F点,

tPA//BC

•/PAB/CBA=180，又t,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线

•/EAB/EBA=90•/AEB=90,EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE!

BF,且AE为/FAB的角平分线

•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中,

/EBC/DFE且BE=EF/DEF/CEB

•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，•DF=BC

•AB=AF=AD+DF=AD+BC

t/ONA/ON圧180

（1）连接BE,DF.

21.如图，△ABC中,AD是/CAB勺平分线，且AB二AC+C,求证：

/C=2/B

vDELAC于E,BF丄AC于F,

•/DEC/BFA=90,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中，

vAF=CEAB=CD

•Rt△DEC2Rt△BFA（HL）,

•DE二BF

•四边形BEDF是平行四边形.

C一

DB延长AC到E

使AE二AC连接ED

•MB=M,ME=M；

（2）连接BE,DF.

vDELAC于E,BFLAC于F,

•/AB=AC+CD

•••CD=CE

可得/B=/E

•Rt△DEC2Rt△BFA（HL）,

△CDE为等腰

/ACB=/B

•MB=M,ME=M.F

22.（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DELAC于E,BFLAC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M

23.已知：

如图，DC/AB且DC=AEE为AB的中点，

（1）求证：

MB=MDME二MF

△AED^AEBC

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；

若不成立请说明理由.

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBO,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：

vDOIAB

•CD吕/AED

VD^DE,DOAE

/.AAEI^AEDC

VE为AB中点

••ABBE

•••BBDC

•DC吕/BEC

•C日CE

/.AEBC^AEDC

/.AAEI^AEBC

24.（7分）如图，△ABGhZBAC=9（K,AB=AQBD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.

BD=2CE

VZCEByCAB=90

「•ABC刨点共元

vZABE=ZCBE

•••AE二CE

/.ZECAMEAC

取线段BD的中点G连接Aq贝y：

AG=BG=DG

••/GABhABG

而：

/ECAWGBA（同弧上的圆周角相等）

二ZECAMEACHGBAhGAB

而:

AC=AB

/.AAEC^AAGB

/.EC=BG=DG

/.BE=2CE

25、如图：

DF二C匕AD=BQZD=ZQ求证：

△AEI^ABFC

TDF=CE

•••DEEF二CE-EF,

即DE=CF

在厶AED^BFC中，

vAD=BC/D二/C,DE=CF

•△AED^ABFC（SAS

26、（10分）如图：

AEBC交于点MF点在AM上,BE//CF,BE=CF

AM是△ABC的中线。

•/E=ZCFM/EBMhFCM

vBE=CF

•△BEMmCFM

•BM=CM

•AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：

在厶ABC中，BA二BCD是AC的中点求证：

BDLAG

•••△ABDffiABCD的三条边都相等

•△ABD=\BCD

•/ADBMCD

•/ADByCDB=90

•BDLAC

28、（10分）AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点求证：

BF=CF

vBE||CF

•BF=FC

29、（12分）如图：

AB=CDAE=DFCE=FB求证：

AF=DE

在^ABDW^ACD中

AB=AC

AD二AD

•••△ABD^AACD

•••/ADBMADC

丄BDF2FDC在厶BDFW^FDC中BD=DC

/BDFWFDC

DF=DF

vAB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF二EF+FB

•△ABE/CDFv/DCBhABFAB=DCBF=CE

△ABF=\CDE

•AF=DE

•△FBD^AFCD

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD如图所示，其中AB//CD在ABCDBC三段路旁各有一只小石凳E,F,M且

vAF=CE,FE=EF.

•AE=CF.

CF,M在BC的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.

连接EF

vAB//CD

B=ZC

VM是BC中点

•••BM=CM

在厶BEMfH^CFM中

BE=CF

BM=CM

•△BEMPACFM（SAS

•CF=BE

31.已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CEBE//DF,BE=DF.求证：

△ABE^ACDF

（第2题）

vDF//BE,

AEBWCFD（两直线平行，内错角相等）

vBE=DF

•ABE^ACDF（SAS

32.已知：

如图所示，AB=ADBC=DCE、F分别是DCBC的中点，求证：

AE=AF。

连接BD

vAB=ADBC=D

•/ADByABD/CDBhABD两角相加，/ADChABC

vBC=DCE\F是中点

vAB=ADDE=BF

ZADChABC

•AE=AF

33.如图，在四边形ABCD^E是AC上的一点，Z仁Z2,Z3=Z4,求证：

Z5=Z6.

在厶ADC△ABC中

vAC二AC/BACKDAC/BCAMDCA

•••△ADC2AABC（两角加一边）

vAB二ADBC=CD

在厶DECW^BEC中

/BCAKDCACE=CEBC=CD

•△DEC^ABEC（两边夹一角）

•/DECKBEC

34.已知AB//DEBC//EF,D,C在AF上，且AD=CF,求证：

△ABC^ADEF

ADCF

vAD=DF

•AC=DF

vAB//DE

•KA=KEDF

又vBC//EF

•KF=KBCA

•△ABC^ADEF（ASA

35.已知：

如图，AB=ACBDACCEAB垂足分别为DE,BDCE相交于点F,求证：

BE=CD

证明:

vBDLAC

•KBDC=90

•CHAB

二ZBEC=90

二ZBDChBEC=90

VAB=AC

二ZDCBhEBC

•••BC=BC

•••RtABD^RtABEC（AAS）

••BE二CD

DHAB于

36、如图，在△ABC^,AD为/BACJ勺平分线,

E,DF丄AC于Fo

DE=DF

TAD是/BAC的平分线

二ZEADWFAD

•DHAB,DI^AC

•BFD^CFD=90/.ZAEDWZAFD=90

在△AEDWAAFD中

ZEADMFAD

AD=AD

ZAED^AFD

/.AAE[^AAFD（AA9

/.AE=AF

在△AEOWAAFO中

ZEAOhFAO

AO=AO

AE=AF

/.AAE（^AAFO（SA$

•AOEhAOF=90

•••ADLEF

37.已知：

如图，ACB罗C,DEACfE,ADABfA,BC=AE若AB=5,求AD的长？

vADLAB

•••/BACMADE

又vACLBC于C,DELAC于E

根据三角形角度之和等于180度

•/ABCMDAE

vBC=AE^ABC^ADAE（ASA

•AD=AB=5

vAB=AC

•/B=MC

vMELABMFLAC

•/BEMMCFM=90

在厶BMEffiACMF中

vMB=MCMBEMMCFM=90ME=MF

•△BMBACMF（AAS

•MB二M.C

38.如图：

AB=ACMELABMFLAC垂足分别为E、F,ME二M。

求证：

MB二MC

39.如图，给出五个等量关系：

①②③④⑤.请你以其

中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明.

已知：

①AD=BC⑤MDABMCBA求证：

△DAB^ACBA

vAD=BCMDABMCBA

又vAB=AB

•△DAB^ACBA

40.在厶ABC中,,，直线经过点，且于，于.

（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：

①幻；

②；

（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；

若不成立，说明理由

（1）

①T/ADChACBMBEC=90,

•••/CAD#ACD=90，/BCE吃CBE=90,/ACD#BCE=90.

•/CAD#BCE

vAC=BC

•△ADC2ACEB

②丁厶ADC2ACEB

•CE=ADCD=BE

•DE二CE+CD二AD+BE

（2）v#ADC#CEB#ACB=90,

•#ACD#CBE

又vAC=BC

•△ACD2^CBE

•DE二CECD二ADBE

41.如图所示，已知AE!

ABAF丄ACAE=ABAF=AC求证：

（1）EC=BF

（2）ECLBF

（1）vAE!

ABAFLAC

•/BAE#CAF=90,

•/BAE#BAC#CAF#BAC

即/EACWBAF

在厶ABF"

AEC中,

vAE=ABZEAC=/BAFAF=AC

•••△ABF^AAEC（SAS,

•••EC=BF

（2）如图，根据（"

，△ABF^AAEC

•/AEC=/ABF

vAE!

•/BAE=90,

•/AECyADE=90,

vZADE=/BDM（对顶角相等），

•/ABF+ZBDM=90,

在厶BDM中,ZBMD=18°

-ZABFZBDM=18°

-90°

=90°

•ECLBF.

42.如图：

BE!

ACCF!

ABBM=A,CN=AB求证：

（1）AM二AN

（2）AMLAN

ACCF!

•ZABMZBAC=90,ZACNZBAC=90

•ZABMZACN

vBM=ACCN=AB

•△ABM2ANAC

•AM=AN

•••△ABMmNAC

•••/BAMhN

vZN+ZBAN=90

•/BAMZBAN=90

即ZMAN=90

•AMLAN

ZA=ZD

AF=CD

•△ABF^ACDE（边角边）

•FB=CE

在四边形BCE冲

FB=CE

BC=EF

•四边形BCEF是平行四边形

•BCllEF

在AB上取点N,使得AN=AC

43.如图,已知ZA=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=E求.证:

BC//EF

CDE中

AB=DE

VZCAEWEAN

•••AE为公共,

•••△CAE^AEAN

•••ZANEZACE

又VAC平行BD

•ZACEZBDE=180

而ZANEZENB=180

•ZENBZBDE

ZNBEZEBN

VBE为公共边

•△EBNmEBD

•BD=BN

•AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）如图，已知：

AD是BC上的中线，且DF=DE求证:

BE//CF.

VAD>

AABC的中线

BD=CD

VDF=DE（已知）

ZBDEZFDC

•△BDE^AFDC

贝SZEBDZFCD

•BE//CF（内错角相等，两直线平行）。

46、（10分）已知：

如图，AB=CDDELAC；

BF丄AC；

E,F是垂足，.

VDELAC；

BFLAC

•ZCEDZAFB=90o

又VAB=CDBF=DE

•Rt/ABF^Rt/CDE（HL）

•••AF=CE

/BAF玄DCE

•AB//CD

47、（10分）如图，已知/仁/2,23二/4,求证：

AB=CD

在厶ACBffiADBC中

AC=DB

23=24

BC=CB

△ACB^ADBC

•AB=CD

48、（10分）如图，已知ACLABDBLABAC=BEAE=

BD试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论

v,23=24

•OB=OC

在^AOBfyDOC中

2仁22

OB=OC

2AOB2DOC

△AOB2ADOC

CE>

DE当2AEB越小,则DE越小。

过D作AE平行线与AC交于F,连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。

△DFB中/DFBWDBF=（180-/FDB）/2>

45°

RTAAFB中，/FBA=90-/DBF<

/AFB=90-/FBA>

•AB>

vAB=CEAF=DE

•CE>

50.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°

AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：

/ADC=ZBDE

图9

49、（10分）如图，已知AB=DC,AC=DBBE=CE求证:

AE=DE.

Abc^dcb

作CGLAB,交AD于H,

则/ACH=45o/BCH=45ovZCAH=90oZCDA,/BCE=90o/

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