指数函数经典例题标准答案Word文档下载推荐.docx
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先求b，c的值再比较大小，要注意bx，cx的取值是否在同一单调区间内．
解：
∵f（1x）f（1x），
∴函数f（x）的对称轴是x1．
故b2，又f（0）3，∴c3．
∴函数f（x）在∞，1上递减，在1，∞上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）；
若x0，则3x2x1，∴f（3x）f（2x）．
综上可得f（3x）≥f（2x），即f（cx）≥f（bx）．评注：
①比较大小的常用方法有：
作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式
例2已知（a22a5）3x（a22a5）1x，则x的取值范围是．
利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
∵a22a5（a1）24≥41，
∴函数y（a22a5）x在（∞，∞）上是增函数，
∴3x1x，解得x1．∴x的取值范围是1，∞．
44评注：
利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题
例3求函数y16x2的定义域和值域．
由题意可得16x2≥0，即6x2≤1，
∴x2≤0，故x≤2．∴函数f（x）的定义域是∞，2．
令t6x2，则y1t，
又∵x≤2，∴x2≤0．∴06x2≤1，即0t≤1．
∴0≤1t1，即0≤y1．
∴函数的值域是0，1．评注：
利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
4．最值问题
例4函数ya2x2ax1（a0且a1）在区间[1，1]上有最大值14，则a的值是．
令tax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围．
令tax，则t0，函数ya2x2ax1可化为y（t1）22，其对称轴为t1．
∴当a
1时，∵x
1，1，
∴1≤
ax≤a，即
1≤t≤
a．
a
∴当t
a时，ymax
2
（a1）2
214．
解得a
3或a5
（舍去）
当0a
1时，∵x1，1，
∴a≤
ax≤1，即
a≤t≤
1，
aa
112
∴t时，ymax1214，
解得a1或a1（舍去），∴a的值是3或1．
353评注：
利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：
换元法，整体代入等．
5．解指数方程
例5解方程3x232x80．
原方程可化为9（3x）2803x90，令t3x（t0），上述方程可化为
9t280t90，解得t9或t1（舍去），∴3x9，∴x2，经检验原方程的9
解是x2．评注：
解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题
例6为了得到函数y93x5的图象，可以把函数y3x的图象（）．
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：
注意先将函数y93x5转化为t3x25，再利用图象的平移规律进行判断．
∵y93x53x25，∴把函数y3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y93x5的图象，故选（C）．评注：
用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：
平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数的大小：
1）若，比较
与
2，曲线分别是指数函数,和的图象,
则与1的大小关系是（）.
（
分析:
首先可以根据指数函数单调性,确定
在轴右侧令,由小到大依次为,故应选.
小结:
这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第
（2）题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提
高学生识图,用图的意识.求最值
3，求下列函数的定义域与值域
（1）y＝2x3;
（2）y＝4x+2x+1+1.
5、设，求函数的最大值和最小值．
，则原来的函数成为
注意到，设
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：
设，由知，，函数成为，，对称轴
，故函数最小值为
轴远，故函数的最大值为
，因端点较距对称
．
6．（9分）已知函数ya2x2ax1（a1）在区间［－1,1］上的最大值是14，求a的值.
．解：
ya2x2ax1（a1），换元为yt22t1（ta），对称轴为t1.a当a1，ta，即x=1时取最大值，略解得a=3（a=－5舍去）
7．已知函数（且
（1）求的最小值；
（2）若
求的取值范围．
（1）
时，有最小值为
（2），解得
当时，；
当时，．
8（10分）
（1）已知f（x）x2m是奇函数，求常数m的值；
3x1
2）画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：
k为何值时，方程|3Ｘk无
解？
有一解？
有两解？
（1）常数m=1
（2）当k<
0时，直线y=k与函数y|3x1|的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时,直线y=k与函数y|31|的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0<
k<
1时,直线y=k与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
9．若函数是奇函数，求的值．
为奇函数，，
即，
则，
10.已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=
（1）x-1-4·
（1）x+2的最大值和最小值42解：
由已知得（3x）2-10·
3x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0∴1≤3x≤9故0≤x≤2
而y=
（1）x-1-4·
（1）x+2=4·
（1）2x-4·
（1）x+2
4222
1x1令t=
（1）x（1t1）
24
212则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1
1当t=1即x=1时，ymin=1
当t=1即x=0时，ymax=2
11．已知，求函数的值域．
由得，即，解之得，
于是，即，故所求函数的值域为
x22x2
12.（9分）求函数y2的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0，8〕。
（3）在（-∞，1〕上是增函数在〔1，+∞）上是减函数。
13
分析这是复合函数求单调区间的问题
∴u＝x-3x+2的减区间就是原函数的增区间（即减减→增）u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间（即减、增→减）
u
设y＝1,u＝x2-3x+2,y关于u递减，
3
当x∈（-∞，）时，u为减函数，
∴y关于x为增函数；
当x∈[3，+∞）时，u为增函数，y关于x为减函数.
14，已知函数f（x）＝ax1（a>
0且a≠1）.
ax1
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性.
（1）易得f（x）的定义域为{x｜x∈R}.
x
设y＝ax1,解得ax＝-y1①∵ax>
0当且仅当-y1>
0时，方程①有解.ax1y1y1
y1
解->
0得-1<
y<
1.
∴f（x）的值域为{y｜-1<
1}.
1）证明：
设x1<
x2
f（x2）－f（x1）=2（2xx122x1）x2>
（12x1）（12x2）
故对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2）xR，又f（x）为奇函数
f（0）0得到a10。
即a1
2x
16、定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x（0,1）时，f（x）42x1
∴f（x）x2x
4x1
∴在（0，1）上为减函数。
3）∵f（x）在（0，1）上为减函数。
21
∴f
（1）f（x）f（0）即f（x）（2,1）
52
同理f（x）在（－1，0）时，f（x）（1,2）
25
又f
（1）f（0）f
（1）0
∴当（12,52）（52,12）或0时f（x）在［－1，1］内有实数解。
分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.
解法1：
（分类讨论）：
又a>
1，由指数函数图像易知，应选B.
解法2：
因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>
1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；
x<
0时，y＝a-x是减函数.
∴应选B.
1解：
（1）∵x-3≠0，∴y＝2x3的定义域为{x｜x∈R且x≠3}.又∵1≠x3
10，∴2x3≠1，
∴y＝2x3的值域为{y｜y>
0且y≠1}.
（2）y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>
0,∴y＝4x+2x+1+1＝（2x）2+2·
2x+1＝x2
（2x+1）2>
∴y＝4x+2x+1+1的值域为{y｜y>
4，已知-1≤x≤2,求函数f（x）=3+2·
3x+1-9x的最大值和最小值解：
设t=3x,因为-1≤x≤2，所以1t9，且f（x）=g（t）=-（t-3）2+12,故当t=3
即x=1时，f（x）取最大值12，当t=9即x=2时f（x）取最小值-24
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