电力系统稳态分析大作业基于高斯赛德尔法潮流计算.docx

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电力系统稳态分析

姓名:

学号：

学院（系）:

自动化学院

专业:

电气工程

题目:

基于Matlab的高斯和高斯—赛德尔法的潮流计算

指导老师：

2014年12月

摘要

电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析中最基本和最重要的计算之一，是电力系统其他分析计算的基础，也是电力网规划、运行研究分析的一种方法，在电力系统中具有举足轻重的作用。

经典算法有高斯法，高斯－赛德尔迭代法及牛顿法等，近年来学者们开始应用非线性规划法及智能算法等优化方法求解潮流问题，提高了收敛的可靠性。

高斯－赛德尔迭代法开始于上世纪50年代，是一种直接迭代求解方程的算法，既可以解线性方程组，可以解非线性方程组。

高斯法求解节点电压的特点是:

在计算节点i第k+1次的迭代电压时，前后所用的电压都是第k次迭代的结果，整个一轮潮流迭代完成后，把所有计算出的电压新值用于下一轮电压新值的计算过程中。

该计算方法简单，占用计算机内存小，能直接利用迭代求解节点电压方程，对电压初值的选取要求不是很严格。

但它的收敛性能较差，系统规模增大时，迭代次数急剧上升。

本文首先对高斯—赛德尔算法进行了综述，然后推导了该算法的计算过程，通过MATLAB软件计算了该算法的实例。

关键字：

潮流计算高斯法高斯－赛德尔法迭代

Abstract

Powerflowcalculationistheoneofthemostbasicandthemostimportantcalculationinthesteadystateanalysisofpowersystem.Itisthefoundationofotheranalyticalcalculationofpowersystem,amethodofanalysisandplanning,operationofpowernetwork.Soitplaysadecisiveroleinthepowersystem.TheclassicalalgorithmistheGaussmethod,Gauss-SeideliterativemethodandNewton'smethod,inrecentyears.Scholarsbegantoapplicatenonlinearprogrammingmethodandintelligentalgorithmoptimizationmethodforsolvingpowerflowproblem,enhancesthereliabilityofconvergence.

Gauss-Seideliterativemethodbeganinthe50'soflastcentury,isadirectiterationequationalgorithm,whichcansolvethelinearequationandnonlinearequations.CharacteristicsofGauss'smethodtocalculatethenodevoltageis:

intheiterativecalculationofnodei’sK+1-timesvoltage,thevoltageisusedtheresultsofK-timesiterative.Aftercompletingthewholeroundofpowerflowiteration,allvoltagevalueisusedtocalculatethenextroundofnewvoltagevalueof.Themethodissimpleandcapturessmallmemory.Italsocandirectlyusetheiterativesolutionofthenodevoltageequation.theselectionofinitialvaluesarenotverystrict.Butithaspoorconvergenceperformance.Thesystemscaleincreases,whenthenumberofiterationsrise.

ThispapergivesanoverviewoftheGaussSeidelalgorithmatthefirst.ThenitshowthecalculationprocessofthisalgorithmthroughtheMATLABsoftware.

Keywords:

GaussGauss-Seideliterativemethodthemethodofpowerflowcalculation

目录

1高斯迭代法和高斯—赛德尔迭代法概述5

2节点导纳矩阵6

2.1不定导纳矩阵6

2.2导纳矩阵6

3高斯迭代法7

4高斯-赛德尔迭代法8

4.1高斯-赛德尔法的原理8

4.2关于高斯法和高斯-赛德尔法的讨论8

5实例验证9

5.1案例描述9

5.2模型的建立10

5.3案例程序流程图11

5.4案例程序13

5.5程序运行步骤和结果17

6结果分析20

7总结21

7参考文献22

一高斯迭代法和高斯—赛德尔迭代法概述

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种基本电气计算。

它的任务是根据给定的运行条件和网路结构确定整个系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等。

电力系统潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。

给定电力系统的网络结构，参数和决定系统运行状况的边界条件，电力系统的稳态运行状态便随之确定。

潮流计算就是要通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行状态呈现给运行和工作人员，以便研究系统在给定条件下的稳定运行特点。

潮流计算是电力系统分析中最基本、最重要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。

20世纪50年代中期，随着电子计算机的发展，人们开始在计算机上用数学模拟的方法进行潮流计算。

最初在计算机上实现的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的高斯迭代法（Gauss法）。

这种方法内存需求小，但收敛性差。

后来在高斯迭代法上进行改进，这就是高斯——赛德尔迭代法（Gauss一Seidelmethod），潮流计算高斯—赛德尔迭代法，分为导纳矩阵迭代法和阻抗矩阵迭代法两种。

前者是以节点导纳矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式，后者是以节点阻扰矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式。

高斯——赛德尔迭代法这是数学上求解线性或非线性方程组的一种常用的迭代方法。

牛顿-拉夫逊方法是解非线性代数方程组的一种基本方法，在潮流计算中也得到了应用。

20世纪60年代中后期，系数矩阵技术和编号优化技术的提出使牛顿-拉夫逊的解题规模和计算效率进一步提高，至今仍是潮流计算中的广泛采用的优秀算法。

20世纪70年代中期，Stott在大量计算实践的基础上提出了潮流计算的快速分解法，是潮流计算的速度大大提高，可以应用于在线，但是直至20世纪80年代末期才对快速分解法潮流的收敛性给出了比较满意的解释。

由于潮流计算在电力系统中的特殊地位和作用，对其计算方法有如下较高的要求：

1.要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运行条件都能收敛；

2.占用内存小、计算速度快；

3.调整和修改容易，使用灵活方便。

本文使用的高斯法和高斯－赛德尔迭代法，开始于上世纪50年代，是一种直接迭代求解方程的算法，既可以解线性方程组，可以解非线性方程组。

高斯法求解节点电压的特点是:

在计算节点i第k+1次的迭代电压时，前后所用的电压都是第k次迭代的结果，整个一轮潮流迭代完成后，把所有计算出的电压新值用于下一轮电压新值的计算过程中。

高斯-赛德尔法是刚刚计算出的x值在下次迭代中被立即使用。

两种方法都计算方法简单，占用计算机内存小，能直接利用迭代求解节点电压方程，对电压初值的选取要求不是很严格，但收敛性能较差，系统规模增大时，迭代次数急剧上升。

二节点导纳矩阵

1不定导纳矩阵

令连通的电力网络的节点数为N，大地作为节点未包括在内。

网络中有b条支路，包括接地支路。

如果把地节点增广进来，电网的（N+1）×b阶节点支路的关联矩阵A0，b阶支路导纳矩阵是yb，定义（N+1）×（N+1）阶节点导纳矩阵Y0为

（2-1）

并有网络方程

（2-2）

2导纳矩阵

选地节点为电压参考点，将它排在第N+1位，令参考点点位为零，则可将节点不定导纳矩阵表示的网络方程（2-1）写成分块的形式

Yy0yoTy00V0=II0（2-3）

展开后有

YV=I（2-4）

和

y0TV=I0（2-5）

式（2-5）中Y为N×N阶矩阵，V和I分别为N维节点电压和电流列矢量，I0为流入地节点的电流。

三高斯迭代法

高斯迭代法是最早在计算机上实现的潮流计算方法。

这种方法编程简单，在某些应用领域，如配电网计算潮流计算中还有应用。

另外，也用于为牛顿-拉夫逊法提供初值。

考察基于节点导纳矩阵的高斯迭代法。

在网络方程（2-4）中，将平衡点s排在最后，并将导纳矩阵写成分块的形式，取出前n个方程有

YnVn+YsVs=In（3-1）

平衡节点s的电压Vs给定，n个节点的注入电流矢量In已知，则有

YnVn=In-YsVs（3-2）

实际电力系统给定量是n个节点的注入功率。

注入电流和注入功率之间的关系是

Ii=SiVii=1,2,3….n（3-3）

其中Vi和Si为Vi和Si的共轭复数。

写成矢量的形式

In=SiVi（3-4）

再把Yn写成对角线矩阵D和严格上三角矩阵U以及严格下三角矩阵L的和，可以得到

Yn=L+D+U

其中L=0Y21⋮⋱Yn,1…Yn,n-10,D=Y11Y22Y33Y44,

U=0Y12…Y1n⋱⋮Yn-1,n0

代入式（2-2），经过整理可得到

Vn=D-1{In-YsVs-LVn-UVn}（3-5）

考虑到电流和功率的关系式，（3-5）可以写成为

Vi（k+1）=1YiiSiVik-YisVs-j=1i-1YijVjk-j=i+1nYijVjki=1,2,…n（3-6）

给定，i=1，2,…n，代入上式中可得电压新值，逐次迭代直到前后两次迭代求得的电压值的差小于某一收敛精度为止。

这是高斯迭代法的基本解算步骤。

四高斯—赛德尔迭代法

1高斯-赛德尔法的原理

每次迭代要从节点1扫描到节点n。

在计算Vi（k+1）时，Vj（k+1），j=1,2,…,i-1已经求出，若若迭代是一个收敛过程，它们应比Vj（k），j=1,2,…,i-1更接近于真值。

所以，用Vj（k+1）代替Vi（k）可以得到更好的收敛效果。

这就是高斯—赛德尔迭代的思想，即一旦求出电压新值，在最后的迭代中立即使用。

这种方法的迭代公式是

Vi（k+1）=1YiiSiVik-YisVs-j=1i-1YijVjk+1-j=i+1nYijVjki=1,2,…n

高斯—赛德尔法比高斯迭代法的收敛性好。

2关于高斯法和高斯-赛德尔法的讨论

对于形如fx=0（4-1）

的非线性代数方程组，总可以写成x=φ（x）（4-2）

的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：

x（0）=x0x（k+1）=φ（x（k））（4-3）

高斯迭代法的收敛性主要由

ϕ（x*）≝∂φx∂xT|x=x*（4-4）

的谱半径决定。

x*是x的解点。

当ϕ（x*）的谱半径小于1时，高斯迭代法可以收敛，ϕ（x*）的谱半径越小高斯迭代法的收敛性越好。

求解式（4-3）有高斯法和高斯-赛德尔法。

高斯法的迭代过程为

xi（k）=φix1k,x2k,…xnki=1,2…n（4-5）

高斯-赛德尔法的迭代公式是

xi（k+1）=φix1k+1,x2k+1,…xi-1,k+1，xik,…xnki=1,2…n（4-6）

即刚刚计算出的x值在下次迭代中被立即使用，当

maxxik+1-xik<ε，时，迭代收敛。

对于连通的电力网络，各节点的电压是相关的，而不管两个节点之间是否有支路直接相连。

由于Y矩阵是高度稀疏的，由高斯迭代法的公式（4-5）可见，计算节点i的电压时，只有和节点i有支路直接相连的节点j的电压对Vi有贡献。

这种方法在迭代修正时利用的信息较少，收敛性较差，其优点是内存需求较少。

五实例验证

1案例描述

（有变压器支路的情况）如图所示的一个三母线电力系统，在母线①和母线③之间的输电线的母线③端连接着一个纵向串联加压器，可在同一电压等级改变电压幅值。

该系统的网络元件用图

（2）所示的等值电路表示，串联之路用电阻和电抗表示，并联支路用电纳表示。

支路（1,3）用一个变比可调的等值变压器之路表示，非标准变比t=1.05，在节点①侧。

试形成该网络的节点导纳矩阵。

假定节点①的注入功率S1=-2.0-j1.0，节点②的注入功率是S2=0.5+j0.415，节点③是Vθ节点，V3=1.0。

试基于节点导纳矩阵的高斯法和高斯-赛德尔法计算潮流。

23

图1三母线电力系统

图2等值电路

图3电路的相关参数

2模型建立

首先对支路编号并规定串联之路的正方向如图（3）所示，则可得到广义节点支路关联矩阵A。

A中行与节点对应，列与支路对应。

A矩阵为

A=-1-1/t010010-1010011001

支路导纳矩阵为

Yn=diagy12y13y23y10y20y30

=0.2494-4.9875i0000000.9901-9.9010i0000000.49505-4.9505i0000000.01i0000000.03i0000000.02i

建立节点导纳矩阵如下：

Y=AybAT

根据节点导纳矩阵可写出式（2-5）的表达式

Vn=V1V2=D-1{In-YsVs-LVn-UVn}

其中D=Y1100Y22,In=SiVi,Vs=V3,Ys=Y1300Y23,

L=00Y210,U=0Y1200,

①当使用高斯迭代法进行计算时，其基本的迭代公式如下：

V1k+1=1.1474-13.958i-1-2+1iV1k+0.2494-4.9875iV2k+0.9430-9.430i

V2k+1=0.74445-9.908i-10.5-0.415iV2k+0.2494-4.9875iV1k+0.49505-4.9505i

i=1,2,…n

将上式写成简单迭代法的高斯法迭代格式为

V1（k+1）=f1V1k,V2k

V2（k+1）=f2V1k,V2k

②当使用高斯—赛德尔迭代法进行计算时，其基本的迭代公式如下

V1k+1=1.1474-13.958i-1-2+1iV1k+0.2494-4.9875iV2k+0.9430-9.430i

V2k+1=0.74445-9.908i-10.5-0.415iV2k+0.2494-4.9875iV1k+1+0.49505-4.9505i

i=1,2,…n

将上式写成简单迭代法的高斯法迭代格式为

V1（k+1）=f1V1k,V2k

V2（k+1）=f2V1k+1,V2k

高斯—赛德尔迭代法与高斯法的不同点在与，算出一个V1（k+1）后，立即在下一步运算中应用。

3案例程序流程图

报告基于matlab软件编程实现上述电力系统潮流计算，采用高斯迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

程序流程图如下所示：

开始

输入原始数据——节点个数N、节点之路关联矩阵A，支路导纳矩阵

形成节点导纳矩阵Y

给定节点注入功率S、节点电压初值V0、平衡节点电压Vs

给定判断迭代结束值e

高斯法

V1（k+1）=f1V1k,V2k

Fact=|max⁡（{Vik+1-Vik}|

No

Fact

结果输出（迭代次数，迭代过程）

Fact1

高斯—赛德尔法

V1（k+1）=f1V1k+1,V2k

Fact1=|max⁡（{Vik+1-Vik}|

结束

No

4案例程序

程序如下：

clear;

formatshort;

N=input（'请输入节点个数：

N='）;

A=input（'请输入广义节点支路关联矩阵：

A=\n'）;

A%显示关联矩阵

Yb=input（'请输入各支路导纳:

\n'）;

n=2*N;

YY=zeros（n）;

%计算节点导纳矩阵

fori=1:

（n*n）

m=floor（i/n）;

if（i==（n*m+m+1））

YY（i）=Yb（m+1）;

end

YY（n*n）=Yb（n）;

end

Y1=A*YY;

disp（'节点导纳矩阵为:

'）;

Yn=Y1*（A.'）

DD=diag（Yn）;

D=zeros（N）;

fori=1:

N*N

m=floor（i/N）;

if（i==（m*N+m+1））

D（i）=DD（m+1）;

end

D（N*N）=DD（N）;%对角矩阵D

end

L=tril（Yn）-D;%下三角矩阵L

U=triu（Yn）-D;%上三角矩阵U

LL=zeros（N-1）;

DD=zeros（N-1）;

UU=zeros（N-1）;

LL=L（1:

（N-1）,1:

（N-1））;

DD=D（1:

（N-1）,1:

（N-1））;

UU=U（1:

（N-1）,1:

（N-1））;%取矩阵n-1*n-1

%输入相关的信息

S=input（'请输入节点1到节点n-1的注入功率S=\n'）;

V0=input（'请给定节点电压初值V0=\n'）;

Vs=input（'请输入平衡节点N的电压Vs=\n'）;

e=input（'请输入收敛判断值:

e=\n'）;

Vk=zeros（N-1,1）;

Vk1=zeros（N-1,1）;

Vk=V0;

D1=inv（DD）;

Ys=Yn（N,1:

N-1）;

Ys0=（Ys*Vs）.';

I=zeros（1,2）;

Vl=zeros（N-1,1）;

Vl1=zeros（N-1,1）;

Vl1=V0;

Vll1（1,1:

2）=（V0）;%记录每次迭代过程中各节点电压值

Vll2（1,1）=0;

j=1;

l=1;

%高斯迭代法

while（j==1）%循环计算

l=l+1;

Vl=Vl1;

I=（S'）./（Vl'）;

Lk=（LL）*（Vl.'）;

Uk=（UU）*（Vl.'）;

Vl11=D1*（I-Ys0-Lk-Uk）;%根据高斯迭代法

Vl1=Vl11.';

FVl=Vl1-Vl;

F=max（FVl）;

Fact=sqrt（（real（F））^2+（imag（F））^2）;

Vll1（l,1:

2）=（Vl1）;

Vll2（l,1）=Fact;

P=[Vll1,Vll2];

ifFact

j=0;%若满足条件，设置标志位，停止迭代

end

end

k=1;

V1（1,1:

2）=（V0）;%记录每次迭代过程中各节点电压值

V2（1,1）=0;

jj=1;

FVk=zeros（1,2）;

%高斯赛德尔迭代

while（jj==1）%循环计算

k=k+1;

Vk1=Vk;

I1=conj（S

（1））/conj（Vk

（1））;

Lk1=LL（1,1）*Vk

（1）+LL（1,2）*Vk

（2）;

Uk1=UU（1,1）*Vk

（1）+UU（1,2）*Vk

（2）;

Vk

（1）=D1（1,1）*（I1-Ys0

（1）-Lk1-Uk1）;

I2=conj（S

（2））/conj（Vk

（2））;

Lk2=LL（2,1）*Vk

（1）+LL（2,2）*Vk

（2）;

Uk2=UU（2,1）*Vk

（1）+UU（2,2）*Vk

（2）;

Vk

（2）=D1（2,2）*（I2-Ys0

（2）-Lk2-Uk2）;

FVk

（1）=Vk

（1）-Vk1

（1）;

FVk

（2）=Vk

（2）-Vk1

（2）;

FVk=max（FVk.'）;

Fact1=sqrt（（real（FVk））^2+（imag（FVk））^2）;

V1（k,1:

2）=（Vk）;

V2（k,1）=Fact1;

V=[V1,V2];

ifFact1

jj=0;%若满足条件，设置标志位，停止迭代

end

end

fprintf（'高斯迭代次数%d\n',（l-1））;%输出结果

A=[0:

l-1].';

P=[A,Vll1,Vll2];

disp（'整个迭代过程如下：

'）;

disp（'迭代次数V1（k）V2（k）max（V（k+1）-V（k））'）;

disp（P）;

fprintf（'高斯赛德尔迭代次数%d\n',（k-1））;%输出结果

A=[0:

k-1].';

V=[A,V1,V2];

disp（'整个迭代过程如下：

'）;

disp（'迭代次数V1（k）V2（k）max（V（k+1）-V（k））'）;

disp（V）;

%绘制精度曲线

P=[1:

l-1];

plot（P,Vll2（2:

l））;

holdon;

P1=[1:

k-1];

plot（P1,V2（2:

k）,'-.'）;

holdoff;