狭义相对论几个公式公式推导Word文档下载推荐.docx
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设在S系中看到两条等长线段AB和A’B’,它们分别在S参照系和S’参照系。
S和S’相对运动速度为v光秒/秒。
并且在S参照系看来:
AB=A’B’=a光秒。
如图所示:
P’
B’(0秒)
A’(t秒)
S系
B’
A’
Q’
S’系
图1
设A和A’相遇时,A和A’会发出闪光,或B和B’相遇时,B和B’也会发出闪光。
我们在S系看来,由于AB=A’B’,所以A和A’与B和B’是同时相遇的,所以它们同时发出闪光。
光波将在AB中点Q相遇,在S’系中光波也必在相应点Q’相遇(因为光波对S’系的传播速度和S’运动无关)。
由于Q’点不在A’B’的中间,所以在S’系看来,两次闪光不是同时的。
因为B’发出的光波走的距离B’Q’比A’发出的光波走的距离A’Q’多。
因而是B’先闪光,A’后闪光。
也就是B和B’先相遇,A和A’后相遇。
A’和B’的时刻在S’系看来是不同时的,而是B’早,A’迟。
在S’系中,由于A、A’和B、B’不同时相遇,所以S’系看到的两条段AB和A’B’也不相等。
因为B、B’先相遇,所以必是A’B’>
AB。
情况如图2所示:
A’(0秒)
B’(t秒)
t秒后
发出闪光时,A、A’的时刻数,B、B’的时刻数与在S系中看到的是一样的。
光波相遇点Q在AB中的位置比例,Q’在A’B’中的位置比例和在S系中看到的一样,所以并不矛盾。
综上所述,在S系看来是同时的事件,相等的线段,而在S’系中看来却是不同时,不相等的。
那它们有什么规律呢?
在S系看来AB的长度为a光秒,而在S’系看来则缩短了,小于a光秒。
同样,在S系看来A’B’也是a光秒,其实也是缩小了的,在S’系中看到的A’B’实际长度要大于a光秒。
它们的缩率是相等的,设为n。
由图1得,在S系中,从AB发光到光波相遇,两系已相对运动了
光秒。
也就是AB与A’B’的中点错开的距离P’Q’=
。
(见图1)
时刻数越多):
t=
运动物体上时间缩率公式公式推导
由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式:
设S’系中有一点P,S系中有线段AB,S、S’系的相对速度是v光秒/秒。
当P遇A时,P和A时间的时刻数都是0秒,如图1所示:
在S系中,看到经过t秒后,P从A运动到B,AB=vt(光秒),A和B的时刻数都是t秒,P的时刻数是t’秒,如图2所示:
在S’系看到这一过程又是如何?
S’系中看到P是不动的,A、B在向右运动,由于运动方向上的线段长度缩短,所以在S’系中看到AB=vt
P在0秒时刻时和A相遇,A的时刻数也是0秒(如图3所示)。
经过t’秒后,P和B相遇。
P的时刻数是t’秒,B的时刻数是t秒。
(如图4所示)
图3
图4
P(t’秒)
t’=
=
=t
在S系中,从P与A相遇到P与B相遇,经过了t秒钟,而看到S’系中的P在0秒时刻与A相遇,与B相遇时,P上的时刻是t’秒,即t
秒,比t秒钟缩小。
所以时间的缩率也是:
t’=t
即运动物体上的时间缩率公式是:
相对论速度合成公式的推导
由于在高速(与光速相比)运动时,运动物体上的长度与时间发生了变化,因而不同参照系中速度的合成也不是简单的v1+v2就可以的。
设有三个个惯性坐标系S1、S2、S3,我们在S2观察,S1向右运动,S3向左运动,速度分别是v1、v2。
某个时刻,三个系的A、B、C三重合于一点,这三点的时刻数都为0秒,t秒后,情形如图1所示。
此时,tA=t
tE=t
+
这个过程,如果我们在S3系观察,将会看到图2情形。
tE秒后
开始时,A、B、C重合于一点,时刻数都为0秒。
C点不动,B点以V2的速度向右运动,A点以更快的V合速度向右运动。
tE秒后,A点运动到S3系的E点处。
此时,E点处的时刻数为tE秒,而A点的时刻数为tA秒。
(只有这样,才能和要S2系中看到的情形相一致。
)
根据tA、tE和V合的关系,可列出方程:
两边平方得到:
1-
v合2=
得到速度合成公式:
v合=