离散数学期末考试试题配答案Word文件下载.docx
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一.填空题(每小题2分,共10分)
1.谓词公式
的前束范式是__∃x∃y¬
P(x)∨Q(y)__________。
2.设全集
则A∩B=__{2}__,
_{4,5}____,
__{1,3,4,5}_____
3.设
,则
__{{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}}__________,
_____Φ_______。
4.在代数系统(N,+)中,其单位元是0,仅有_1___有逆元。
5.如果连通平面图G有
个顶点,
条边,则G有___e+2-n____个面。
二.选择题(每小题2分,共10分)
解:
主合取方式:
p∧q∨r⇔(p∨q∨r)∧(p∨¬
q∨r)∧(¬
p∨q∨r)=∏0.2.4
主析取范式:
p∧q∨r⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧¬
r)∨(¬
p∧q∧r)∨(¬
p∧¬
q∧r)∨(p∧¬
q∧r)=∑1.3.5.6.7
2.设集合
上的二元关系R的关系矩阵为
求
的关系矩阵,并画出R,
的关系图。
(10分)
3无向图G有12条边,G中有6个3度结点,其余结点的度数均小于3,问G中至少有多少个结点?
∵G(V,E),|E|=V,d(Vi)<
3,
设至少有x个节点,由握手定理得:
2×
12=∑d(Vi)<
6×
3+(x-6)×
3
2<
(x-6)=>x>
8
故G中至少有9个节点。
4求下面两个图的最小生成树。
(12分)
5.试判断
是否为格?
说明理由。
(5分)
(Z,≤)是格,理由如下:
对于任意a∈Z,a≤a成立,满足自反性;
对于任意a∈Z,b∈Z,若a≤b且b≤a,则a=b,满足反对称性;
对于任意a,b,c∈Z,若a≤b,b≤c,则a≤c,满足传递性;
而对于任意a,b∈Z,a≤b,b为最小上界,a为最大下界,故(Z,≤)是格。
(注:
什么是格?
)
四.证明题(共37分)
1.用推理规则证明
。
证明:
编号公式依据
(1)(¬
B∨C)∧¬
C前提
(2)¬
B∨C,¬
C
(1)
(3)¬
B
(2)
(4)A→B(3)
(5)¬
A(3)(4)
(6)¬
(¬
A∧D)前提
(7)A∨¬
D(6)
(8)¬
D(5)(6)
2.设R是实数集,
,
求证:
都是满射,但不是单射。
要证f是满射,即∀y∈R,都存在(x1,x2)∈R×
R,使f(x1,x2)=y,而f(x1,x2)=x1+x2,可取x1=0,x2=y,即证得;
再证g是满射,即∀y∈R,,都存在(x1,x2)∈R×
R,使g(x1,x2)=y,而g(x1,x2)=x1x2,可取x1=1,x2=y,即证得;
最后证f不是单射,f(x1,x2)=f(x2,x1)取x1≠x2,即证得,同理:
g(x1,x2)=g(x2,x1),取x1≠x2,即证得。
3.无向图G有9个结点,每个结点的度数不是5就是6,求证:
G中至少有5个6度结点或6个5度结点。
设G中至多有4个6度结点且5个5度结点,
∴d(Vi)=49不是偶数,
故它不是一个图,矛盾。
(下面只供参考,个人答案)
4.设平面上有100个点,期中任意两点间的距离至少是1,则最多有300对点距离恰好为1。
(7分)
设任意两点间的读书和恰好为1,则满足:
∑d(Vi)=2e
d(Vi)≤6
∴6×
100≥2e
e≤300
故最多只有300条边,即300对点距离恰好为1.