复杂电阻网络的处理方法Word格式.docx

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假设在A、B两点之间加上电压，并且电流从A电流入、B点流处。

因为对称性，图中CD两点等电势，或者说C、D间的电压为零。

因此，CD间的电阻实际上不起作用，可以拆去。

原网络简化成简单的串、并联网络，使问题迎刃而解。

解：

根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得

RAB=R/2

例

（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻为R，试求图中A、B两点之间的等效电阻。

图3图4图5

分析：

从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。

从如图4所示的网络中可以看出，从A点流到O电流与从O点到B电流必相同；

从A1点流到O电流与从O点到B1电流必相同。

据此可以将O点断开，等效成如图5所示的简单网络，使问题得以求解。

根据以上分析求得RAB=5R/48

例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。

求A、G之间的电阻是多少

假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。

解:

由简化电路，根据串、并联规律解得RAG=5R/6

（同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化）

例（4）在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R，试求A、B之间的等效电阻RAB。

图8图9

图10图11

由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。

而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。

解法（a）：

简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等效变换为如图10所示的简单网络。

最后不难算得

RAO=ROB=5R/14

RAB=RAO+ROB=5R/7

解法（b）：

简化为如图所示的网络以后，将图中的O点上下断开，如图11所示，最后不难算得

RAB=5R/7

2：

电流分布法

设定电流I从网络A电流入，B电流出。

应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想，建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一路经计算A、B间的电压，再由RAB=UAB/IAB即可算出RAB

例：

有如图12所示的电阻网络，求A、B之间的电阻RAB

要求A、B之间的电阻RAB按照电流分布法的思想，只要设上电流以后，求得A、B间的电压即可。

图12

设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。

根据分流思想可得

I2=I-I1

I3=I2-I1=I-2I1

A、O间的电压，不论是从AO看，还是从ACO看，都应该是一样的，因此

I1（2R）=（I-I1）R+（I-2I1）R

解得I1=2I/5

取AOB路径，可得AB间的电压

UAB=I1*2R+I4*R

根据对称性

I4=I2=I-I1=3I/5

所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5

RAB=UAB/I=7R/5

这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。

3：

YΔ变换

复杂电路经过YΔ变换，可以变成简单电路。

如图13和14所示分别为Δ网络和Y网络，两个网络中得6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢

所谓完全等效，就是要求

Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=Uca

Ia=IA,Ib=IB,Ic=IC

在Y网络中有

IaRa-IbRb=Uab

IcRc-IaRa=Uca

Ia+Ib+Ic=0

图13图14

解得Ia=RcUab/（RaRb+RbRc+RcRa）+RbUca/（RaRb+RbRc+RcRa）

在Δ网络中有

IAB=UAB/RAB

ICA=UCA/RCA

IA=IAB-ICA

解得IA=（UAB/RAB）-（UCA/RCA）

因为要求Ia=IA，所以

RcUab/（RaRb+RbRc+RcRa）+RbUca/（RaRb+RbRc+RcRa）=（UAB/RAB）-（UCA/RCA）

又因为要求Uab=UAB，Uca=UCA所以要求上示中对应项系数相等，即

RAB=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rc-----------------

（1）

RCA=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rb------------------

（2）

用类似的方法可以解得

RBC=（RaRb+RbRc+RcRa）/Ra--------------------（3）

（1）、

（2）、（3）三式是将Y网络变换到Δ网络的一组变换式。

在

（1）、

（2）、（3）三式中将RAB、RBC、RCA作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到

Ra=RAB*RCA/（RAB+RBC+RCA）-----------------（4）

Rb=RAB*RBC/（RAB+RBC+RCA）-----------------（5）

Rc=RBC*RCA/（RAB+RBC+RCA）-----------------（6）

（4）、（5）、（6）三式是将Δ网络变换到Y网络的一组变换式。

例

（1）求如图15所示双T桥网络的等效电阻RAB。

图15图16

此题无法直接用串、并联规律求解，需要将双T桥网络中两个小的Y网络元变换成两个小的Δ网络元，再直接用串、并联规律求解即可。

原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得

RAB=118/93Ω

例

（2）有7个电阻同为R的网络如图17所示，试求A、B间的等效电阻RAB。

图17图18

将Y网络O-ABC变换成Δ网络如图18所示

其中RAB=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rc=5R

RBC=（RaRb+RbRc+RcRa）/Ra=5R/2

RCA=（RaRb+RbRc+RcRa）/Rb=5R

这样就是一个简单电路了，很容易算得

RAB=7R/5

4：

电桥平衡法

图19

如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中R1、R2、R3、R4分别叫电桥的臂，G是灵敏电流计。

当电桥平衡（即灵敏电流计的示数为零）的时候，我们称之为电桥平衡。

这时有

I1=I2,I3=I4,I1RI=I3R3,I2R2=I4R4

有这些关系可以得到

R1/R2=R3/R4

上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化对称性不明显的电路，十分方便。

例:

有n个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。

图20

粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便得求解。

如图20所示，设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱CDE----中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻都可以删除，这样电路简化为:

A、B之间连有电阻R，其余（n-2）个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连，它们之间没有电阻相连。

即

1/RAB=1/R+1/[2R/（n-2）]

所以RAB=2R/n

二：

无限电阻网络

无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论

线型无限网络

所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用“无限”这个条件，再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。

例

（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R，求A、B之间的等效电阻RAB.

图21

因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即RAB应该等于从CD往右看的电阻RCD

RAB=2R+R*RCD/（R+RCD）=RCD

整理得RCD2-2RRCD-2R2=0

解得：

RCD=（1+31/2）R=RAB

例

（2）一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。

图22图23

此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则

Rab=（2Rx+r）r/（2Rx+2r）

即是无穷网络，bb1之间的电阻仍为Rx

则Rx=（31/2-1）r

代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/6

例（3）电阻丝无限网络如图24所示，每一段金属丝的电阻均为r，求A、B之间的等效电阻RAB.

图24

图25图26

根据对称性可知，网络中背面那根无限长的电阻丝中各点等势，故可以删去这根电阻丝，这样原网络等效为如图25所示的网络。

又因为网络相对AB连线具有左右对称性，故可以折叠成如图26所示的网络，再利用例

（1）的方法可得

RCD=REF=Rx

即Rx=r/2+r/2+（Rx*r/3）/（Rx+r/3）

Rx=（3+211/2）r/6

RAB=（2r*Rx/3）/（2r/3+Rx）=2（21）1/2r/21

面型无限网络

解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。

例

（1）如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。

假设电流I从A点流入，向四面八方流到

无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到

B点。

假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面

八方汇集到B点后流出，根据对称性，同样有I/4

电流经A点流到B点。

图27

从以上分析看出，AB段的电流便由两个I/4叠加而成，为I/2因此UAB=（I/2）*r

A、B之间的等效电阻

RAB=UAB/I=r/2

例

（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图28所示。

所有正六边型每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的电阻。

假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3电流由a流向c，有I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由f流向c,有I/3电流由c流向b.

将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知

Iac=I/3+I/6=I/2（由a流向c）

Icb=I/3+I/6=I/2（由c流向b）

因此ab之间的等效电阻为

Rab=Uab/I=（IacR0+IcbR0）/I=R0

图28