讨论微积分在经济学中最基本的一些应用文档格式.docx

讨论微积分在经济学中最基本的一些应用文档格式.docx

《讨论微积分在经济学中最基本的一些应用文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《讨论微积分在经济学中最基本的一些应用文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’（Q0）个单位。

　　1.1.4 

边际利润函数

　　利润函数L=L（Q）=R（Q）-C（Q）;

平均利润函数;

=（Q）边际利润函数L’=L’（Q）=R’（Q）-C’（Q）.L’（Q0）称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：

当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’（Q0）个单位。

　　例1 

某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C（Q）=Q2-10Q+20。

如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

　　解：

每月生产Q吨产品的总收入函数为：

　　R（Q）=20Q

　　L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

　　=-Q2+30Q-20

　　L’（Q）=（-Q2+30Q-20）’=-2Q+30

　　则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

　　L’（10）=-2×

10+30=10（千元/吨）；

　　L’（15）=-2×

15+30=0（千元/吨）；

　　L’（20）=-2×

20+30=-10（千元/吨）；

　　以上结果表明：

当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；

当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；

当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。

　　显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

　　1.2 

弹性在经济分析中的应用

　　1.2.1 

弹性函数

　　设函数y=f（x）在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f（x+Δx）-f（x）y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f（x）在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。

记为EyEx•EyEx=limδx→0

　　ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’（x）xf（x）

　　在点x=x0处，弹性函数值Ef（x0）Ex=f’（x0）xf（x0）称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。

EExf（x0）%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf（x0）%。

　　1.2.2 

需求弹性

　　经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

　　对于需求函数Q=f（P）（或P=P（Q）），由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f（p）（或P=P（Q））为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η（p）=-f’（p）pf（p）

　　例2 

设某商品的需求函数为Q=e-p5，求

（1）需求弹性函数；

（2）P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

（1）η（p）=-f’（p）pf（p）=-（-15）e-p5.pe-p5=p5；

（2）η（3）=35=0.6;

η（5）=55=1;

η（6）=65=1.2

　　η（3）=0.6<

1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

　　η（5）=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。

　　η（6）=1.2>

1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

　　1.2.3 

收益弹性

　　收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

　　R=PQ=Pf（p）

　　R’=f（p）+pf’（p）=f（p）（1+f’（p）pf（p））=f（p）（1-η）

　　所以，收益弹性为EREP=R’（P）.PR（P）=f（p）（1-η）ppf（p）=1-η

　　这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：

在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<

1，则EREP>

0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）（1-η）%；

（2）若η>

1，则EREP<

0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；

　　（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。

　　1.3 

最大值与最小值在经济问题中的应用

　　最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。

下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

　　1.3.1 

最低成本问题

　　例3 

设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c（x）=mx3-nx2+px，（常数m>

0,n>

0,p>

0），

（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？

（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

（1）平均成本（X）=C（x）x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

　　令C’，得x=n2m，而C’’（x）=2m>

0。

所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。

（2）（n2m）=m（n2m）2-n（n2m）+p=（4mp-n24m），又C’（x）=3mx2-2nx+p，C’（n2m）=3m（n2m）2-2m（n2m）+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2 

最大利润问题

　　例4 

设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？

最大利润是多少？



产品的总成本函数C（Q）=60000+20Q

　　收益函数R（Q）=pQ=（60-Q1000）Q=60Q-Q21000

　　则利润函数L（Q）=R（Q）-C（Q）=-Q21000+40Q-60000

　　L’（Q）=-1500Q+40,令Ｌ’（Q）=0得Q=20000

　　∵L’’（Q）=-1500<

0∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元

　　所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。

　　

　　2 

积分在经济中的应用

　　在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；

如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。

　　例5 

设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。

假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？

并求出最大利润。

　　解:

总成本函数为

　　C（x）=∫x0（100+2t）dt+C（0）=100x+x2+1000

　　总收益函数为R（x）=500x

　　总利润L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’（200）<

所以，生产量为200单位时，利润最大。

最大利润为L（200）=400×

200-2002-1000=39000（元）。

　　在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

　　综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。

将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。

因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。

　　参考文献

　　［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学

（一）微积分［Ｍ］.北京：

中国对外经济贸易出版社，2003,（6）

论述积分在经济建模与分析中的重要作用

53来源:

0前言随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立，经济数学成为经济分析中的重要工具，其中积分是应用范围比较广的工具之一，它的应用已经渗透到经济的各个领域，通过这个工具，在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量，尤其是企业的总

　　0 

前言

　　随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立，经济数学成为经济分析中的重要工具，其中积分是应用范围比较广的工具之一，它的应用已经渗透到经济的各个领域，通过这个工具，在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量，尤其是企业的总成本、总利润和最值等问题得到充分的应用。

本文从积分工具出发，以数学建模的形式分析经济活动中的计量问题。

经济数学模型的意义

数学模型的内涵

　　数学模型是对实际问题的一种数学表述，是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

　　数学不仅是一门理论科学，也是一门应用广泛的应用科学，没有数学模型的辅助分析，任何的定性分析都还有一定的不足。

在国际上，数学建模的分析结果更让人相信，日本更是如此，他们对问题的分析总是要通过量化来论证，定性分析被放到次要的位置。

实践也证明，数学模型对经济问题所作的定量分析是严谨的和慎密的，尤其在于重要经济的时间和数量等量化问题的决策上，是非常科学的。

数学模型在经济分析中的重要性

　　通常来说，数学并不能直接对经济现象的客观情况进行分析，而是必须通过建立数学模型，把经济现象通过数学语言进行转化，再应用数学的处理方法进行处理，把处理结果转化为经济结论。

因此，在这个分析过程中，数学经济模型把经济领域中的下乡用字母、数字和其他数学符号建立相应的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构，这样由定性的内容转化为定量的内容，它从量和形的侧面去考察实际问题，尽可能通过抽象、简化确定出主要的变量、参数，然后尽可能用实验的、观察的、历史的数据来检验，这就成为解决实际问题的真实过程。

这就使经济决策实现科学化和定量化，在当前对于决策要求越来越严谨、越严密的今天，数学建模应用于经济活动显得越来越重要，也成为经济主体提升自身竞争力的重要渠道。

如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统（根据厂家各种资源、生产成本、客户需求、产品工艺流程等数据进行数学经济建模）与客户进行协商。

可见，数学模型在经济上的应用比较直观、严谨，反应迅速，具有重要的意义。

基于数学模型谈积分在经济分析中应用

　　2.1 

积分模型应用的原理

　　积分的应用是由人们在生产生活活动中，为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的。

在日常经济活动中，积分的应用也非常广泛，比如求总值（如总成本和总利润等），包括其他变量时间累计的总量，如求资金的现值和期值等。

这些经济活动内容涉及到很多个领域，且函数表达方式都有所不同，但它们的原理都是一样的。

　　积分变量为P（x）=∫xa，p’（x）dx+p（a）

　　根据上面原理，我们在经济活动中，如果要求总成本、总收益和总利润时可按上面原理进行推导：

　　总成本C（x）=∫x0C’（x）dx+C0，其中C0为固定成本；

　　总收益R（x）=∫x0R’（x）dx，其中R0为当x=0时的收益，故为0；

　　总利润L（x）=∫x0（R’-C’）dx-C0。

　　2.2 

基于积分经济模型的再分析

　　其他模型按此类推，本文举例再说明：

　　某航空公司由于市场不断拓展，需要增加某种客机10辆，如果购买一架客机需要一次支付6000万美元，客机的使用寿命大概是15年，如果租用一架飞机，每年需要支付720万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。

若银行的年利率为15%，问购买飞机与租用飞机哪种方案为佳？

如果年利率为10%，又应该采取哪个方案？

　　本例就是平常企业经营过程中经常要决策的内容之一，比如一些企业进行固定资产投资还是选择融资租赁，就要进行方案对比，此例两种方案无法直接比较，必须在同一时间进行价值比较。

　　均匀货币流的当前价值：

设t=0时在银行存入Ae-rt美元，按连续复利计算，t年之后在银行的存款额刚好是A美元，这就是根据期值和现值的计算来推导的。

因此，t年后存入的A美元在当前的现值为Ae-rt，那么，对流量为720万美元的均匀货币流，在［t，t+⊿t］存入的720e-rt⊿t美元。

　　在t从0到15年时，在［0，15］周期内均匀货币流的总货币值，即15年的租金总额合计为

　　P=∫150e-rtdt=720r［-ert］150=720r（1-e-15r）

　　当r=15%时，租金总额P=7200.15（1-e-0.12×

15）4006.6万美元，这时租客机核算；

　　当r=10%时，租金总额P=7200.1（1-e-0.12×

15）6009.9万美元，这时购买客机比较合算。

　　我们甚至可以根据租金额P=5000时计算出临界的年利率，高于此利润采取租客机，低于此利率则购买客机。

　　3 

结束语

　　由上面的分析可知，对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用定量的方法，进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析和新的思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广，通过建立数学模型，并通过编程的方式进行专门的决策软件开发，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路。

参考文献

　　［1］严坤妹.在经济应用数学基础教学中体现数学建模的思想［J］.福建商业高等专科学校学报，2007，（12）.

　　［2］郑玲.论数学模型在经济领域中的应用［J］.商情（教育经济研究），2007,

（2）.

　　［3］汪式铮.积分法在经济方面的作用［J］.成都教育学院学报，2000,（3）

论微积分在经济分析中的应用

来源：

岁月联盟作者：

辛春元时间：

2010-06-24

摘 

要：

微积分作为数学知识的基础 

是学习学的必备知识 

着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，边际成本、 

边际收入、 

边际利润并解释其经济意义, 

寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。

?

关键词：

微积分；

边际分析；

弹性；

成本；

收入；

利润；

最大值；

最小值?

导数在经济分析中的应用?

边际分析在经济分析中的的应用?

边际需求与边际供给?

　　设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q?

’=f?

’（p）称为边际需求函数，简称边际需求。

边际成本函数?

　　总成本函数C=C（Q）=C?

0+C?

1（Q）；

边际成本函数C?

’=C?

’（Q）．C?

’（Q?

0）称为当产量为Q?

0时的边际成本，其经济意义为：

当产量达到Q?

0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C?

’?

0）个单位。

边际收益函数?

边际收益函数R’=R’（Q）．?

　　R’（Q?

0）称为当商品销售量为Q?

0时的边际收益。

当销售量达到Q?

0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R?

边际利润函数?

=（Q）边际利润函数L’=L’（Q）=R’（Q）-C’（Q）.L’（Q?

0时的边际利润，其经济意义是：

0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’（Q?

某每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C（Q）=Q?

2-10Q+20。

　　R（Q）=20Q?

　　L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q?

2-1Q+20）?

　　=-Q?

2+30Q-20?

　　L’（Q）=（-Q?

2+30Q-20）’=-2Q+30?

　　则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为?

弹性在经济分析中的应用?

弹性函数?

记为EyEx•EyEx=?

lim?

δx→0

　　?

Δ?

yy?

xx=?

δx→0?

y?

x．xy=f’（x）xf（x）

　　在点x=x?

0处，弹性函数值Ef（x?

0）Ex=f’（x?

0）xf（x?

0）称为f（x）在点x=x?

0处的弹性值，简称弹性。

EE?

xf（x?

0）%表示在点x=x?

0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE?

0）%。

需求弹性?

　　对于需求函数Q=f（P）（或P=P（Q）），由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f（p）（或P=P（Q））为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η（p）=-f’（p）pf（p）?

设某商品的需求函数为Q=e?

-p5?

，求

（1）需求弹性函数；

（1）η（p）=-f’（p）pf（p）=-（-15）e?

.pe?

=p5；

η（6）=65=1.2?

收益弹性?

　　收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即?

　　R=PQ=Pf（p）?

　　R’=f（p）+pf’（p）=f（p）（1+f’（p）pf（p））=f（p）（1-η）?

最大值与最小值在问题中的应用?

最低成本问题?

设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c（x）=mx?

3-nx?

2+px，（常数m>

（1）平均成本（X）=C（x）x=mx?

2-nx+p，?

C’?

=2mx-n?

　　令?

，得x=n2m，而?

C’’?

（x）=2m>

（2）（n2m）=m（n2m）?

2-n（n2m）+p=（4mp-n?

24m），又C’（x）=3mx?

2-2nx+p，C’（n2m）=3m（n2m）?

2-2m（n2m）+p=4mp-n?

24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。

　　1.3.2 

最大利润问题?

产品的总成本函数C（Q）=60000+20Q?

　　收益函数R（Q）=pQ=（60-Q1000）Q=60Q-Q?

21000?

　　则利润函数L（Q）=R（Q）-C（Q）=-Q?

21000+40Q-60000?

　　L’（Q）=-1500Q+40,令Ｌ’（Q）=0得Q=20000?

　　∵L’’（Q）=-1500