南通市二模数学试题及答案Word格式.docx
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10000,则*t的最小侑为▲.
yt
xOy中，设A、BC是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实
数，，使得
uuruuu
OC=OA
uuu
OB，
32的取值范围是—▲
1.x—y—2=0
2.
8
25
3.
4.
26
27
5.2
6.
2,0
7.12
8.
105
9.①③④②（或②③④①）
10.1
11.
1
13.表
14.2,
12.1,3
二、解答题：
本大题共6小题「，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
如图，平面PAC平面
ABC，点E、F、。
分别为线段PA
PBAC的中点，点G
是线段CO
的中点，ABBCAC
4,PAPC272.求证:
（1）PA平面EBO；
（2）FG//平面EBO.
【证明】由题意可知,
ABC为等边三角形.
（1）因为O为边AC的中点，所以BOAC,
P
PAC为等腰直角三角形，
A
2分
B
（第15题）
C
因为平面PAC平面ABC,平面PACI平面ABCAC,
BO平面ABC,所以BO面PAC.
因为PA平面PAC,所以BOPA,
在等腰三角形PAC内，O,E为所在边的中点，所以OEPA,
又BOIOEO,所以PA平面EBO;
（2）连AF交BE于Q,连QO
因为E、F、O分别为边PAPBPC的中点，
所以AO
OG
2,且Q是4PAB的重心,
F
Q
10分
12分
于是QQ
2OO，所以FG//QO.
因为FG平面EB「O,QO
平面EBO,
所以FG//平面
14分
【注】第
（2）小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH//平面EBOE得.
16.（本小题满分14分）
已知函数f（x）2cos垓3cos或sin2
（i）设2,2,且f（）避i,求的值;
（2）在△ABC中，AB=1,
f（C）用1,且△ABC的面积为济
sinA+sinB
的值.
【解】
（1）f（x）
2x
23cos一
xx
2sin—cos—=3（1cosx）sinx=2cos
jr
6
2cosx
兀
cosx芳6
2k兀一（k
Z）
2或6・
因为△ABC勺面积为
，所以手
-absin-,于是ab273.26,
在△AB外,设内角
B的对边分别是a,b.
由余弦定理得1a2
b2
2abcos-6
b26,所以
3,
2,一
「或
由正弦定理得春呼华
sinAsinB1ab1—3
22
14
分
17.（本小题满分14分）
2..2
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E:
与当1（ab0）的左、右顶点b
分别为A、A2,
上、下顶点分别为B1、B2.设直线AB的倾斜角的正弦值为1,圆C与以线段OA2
为直径的圆
关于直线AiBi对称.
（1）求椭圆E的离心率;
（2）判断直线与圆C的位置关系，并说明理由;
Ai
B2
（第17题）
A2fr-x
yy
B1
（3）若圆C的面积为,求圆C的方程.
（1）设椭圆E的焦距为2c（c>
0）,
因为直线AB1的倾斜角的正弦值为1,所以♦b=
3,a2b2
于是a28b2,即a2
8（a2c2）,所以
E的离心
（2）由e
c2
14~4~
7_14
84
可设a4kk
于是AB1的方程为「：
x272y
4k
OA2
占
八、、
2k,0至ljAB
又以OA2为直径的圆的半径
「即有d
ABi
切.
（3）由圆C的面积为
知圆半径为1
S
D
设OA2的中点1,0关于直线AB：
x272y2。
的对称点为m,n,
如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,
圆P和圆Q的
半径都是2km,点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形
活动场地.
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST求场地的最大面积;
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
k
解得m1,n乎.所以，圆c的方程为x12y乎1.3333
18.（本小题满分16分）
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形
ABCD求场地的最大面积.
RT与圆Q只能相
4分
RM
M
（1）如右图，过S作SHLRT于H,
n.2
m14
1,
2.2220.
T
（第17题甲）
（第17题乙）
由题意，ARST在月牙形公园里,
m1
1一一
SarskSH2
RT.
WJ有RTC4,SHC2,
当且仅当
RT切圆Q于P时（如下左图），
上面两个不等式中等号同时成立.
场地面积的
大值为Sars=—42=4
（km2）.
最
（2）同
（1）的分析，要使得场地面积最大,
AD左边的部分是一个大小不超过
半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P,再设/BPA二
O1
SH边形ABCD222sin2
2sin（兀
）4（sin
sin
cos）0
令ysin
ycos
11分
sincos
cos
sin（
2cos2
3'
2
函数ysinsin
cos在才处取到极大值也是最大值,
7t
场地面积取得最大值为36
19.（本小题满分16分）
设定义在区间［x
为坐标原点，设向
日uuu
重OA=x1?
fX
1,x2］上的函数
y=f（x）的图象为C,M是C上的任意一点，O
UUUU
OBx2,fx2
OMr=（x,y）,当实数人满足x=入x1+（1
—入）x2时，记向
uuur.uuu一uur
“函数y=f（x）在区间［x［，x2］上可在标准k下
量ON=入OA+（1—入）OB.定义
线性近似”是指
“Mn<
k包成立"
，其中k是一个确定的正数.
（1）设函数f（x）=x2在区间［0,1］上可在标准k下线性近似，求k的取值范围;
（2）求证：
函数g（x）lnx在区间em,em1（mR）上可在标准k=1下线性近似.
（参考数据：
e=2.718,ln（e—1）=0.541）
ruuuruuu
（1）由ON=入OA+（1—
、uuruuruur
入）OB得至IBN=入BA,
线,
又由x=Xx1+（1—入）x2与向量Or尸入OA+（1—入）Or,得N与M的横坐标相
同.
对于［0,1］上的函数
y=x2,A（0,0）,B（1,1）,
则有
UULU
MN
1,,uuuu
1,故MN4
的
（2）
对于
上的函数ylnx,
A（
em,m
B（em1,m1）,8分
则直线AB的方程
ymm^1-m（xem）,10分
ee
1,mmm1
々h（x）Inxm—^m（xe）,具中xe,emR,
于是
h（x）1nm-^1―m，
xee
・T3分
列表如下:
x
me
（mm+1m
m+1m
（m+1mm+）
m+1e
h'
（x）
+
一
h（x）
增
h（em1em）
减
则|mn|hx,且在xem1em处取得最大值，
又h（em1em）lne1——-0.123-,从而命题成
e18
立.16分
20.（本小题满分16分）
已知数列｛an｝满足a〔a2Lann2（nN*）.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）对任意给定的kN*,是否存在p,rN*（kpr）使上，工，工成等差akapar
数列？
若存
在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；
若不存在，请说明理由；
（3）证明：
存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为
an1,an2,an3.
（1）当n1时，a11;
当n>
2,nN*时，a1a2Lan1（n1）2,
所以ann2（n1）22n1;
an2n1（nN*）.3分
（2）当k1时，若存在p,r使。
，工，工成等差数列，则1
akapara「apak2p1
因为p>
2,所以a「0,与数列｛an｝为正数相矛盾，因此，当k1时不存
在；
5分
当Q2时，设akx,apy,arz,则」12,所以z,7
xzy2xy
令y2x1,得zxyx（2x1）,此时akx2k1,apy2x12（2k1）1,
所以p2k1,arz（2k1）（4k3）2（4k25k2）1,
所以r4k25k2;
综上所述，当k1时，不存在p,r；
当k42时，存在p2k1,r4k25k2满足题设.
10分
（3）作如下构造：
a.（2k3）2,a。
？
（2k3）（2k5）,a组（2k5）2,其中kN*,
它们依次为数列｛an｝中的第2k26k5项，第2k28k8项，第2k210k13
项，……12分
显然它们成等比数列，且a,an2a%,a.a©
a%,所以它们能组成三角形.
由kN*的任意性，这样的三角形有无穷多个.14分
下面用反证法证明其中任意两个三角形AB©
和A2B2c2不相似：
若三角形AB£
和A2B2c2相似，且Ik2,则（2k13）（2k125）（2k23）（2k225）,
（2匕3）（2k23）
整理得空一处」，所以％k2,这与条件k1k2相矛盾，2k132k23
因此，任意两个三角形不相似.
故命题成
立.16
【注】1.第
（2）小题当ak不是质数时，p,r的解不唯一；
2.第（3）小题构造的依据如下：
不妨设nn2%,且an2,an3符合题意，则公比q>
1,因aman2"
，又a.a。
"
，则1qq2,所以1q应」，因为三项均为整数，所以q为1,近」内的既约分
数且a。
含平方数因子，经验证，仅含12或32时不合，所以2*
an1（2k3）2p（k,pN）;
3.第（3）小题的构造形式不唯一.
A.选修4—1:
几何证明选讲
又M为PA的中点，所以
MPMB
BMP
PMC
数学II（附加题）
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分,
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
自圆O外一点P引圆的一条切线PA切点为A,M为PA的中点过点M引圆。
的割线交该圆于B、C两点，且/BMP=100,
/BPC=40,求/MPB的大小.
MBMC.
【解】因为MA*圆。
的切线，所以MA
BM2PMC.
于是MPBMCP.
在AMCP中
MPB
MCP
BPCBMP
180
B.选修4—2:
矩阵与变换
....ab
已知二阶矩阵A
cd
矩阵A属于特征值
1的一个特征向量为
属于特征值
24的一个特征向量为
3--
22.求矩阵A
3a
同理可得3c
2b
2d
12,
8,
解得a2,
3,c
2,d1
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
2cos'
为参数.以sin
直角坐标系原
点。
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l的极坐标方程为
cos42点•点
P为曲线C上的动点，求点P到直线l
距离的最大值.
【解】cos92点化简为
4
设点P的坐标为2cos,sin
得P到直线l的距离d
2cossin
卜5sin
cos——,sin
5
-1
d2,2_10
dmax2"
2.
D.选修4—5:
不等式选讲
若正数a,b,c满足a+b+c=1,
【解】因为正数
3a23b2
3c2
即
3a2
3b2
当且仅
当3a
求,
」的最小值.
a,b,c满足a+b+c=1,
以
3a23b23c2
231323c2,即ab
1时，原式取
【必做题】第22题、第23题，每题i0分，共计20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.
在正方体ABCDAiBiCiDi中，。
是AC的中点，E是线段DO上一点，且DE=入EO.
（i）若入=i,求异面直线DE与CD所成角的余弦值;
（2）若平面CDEL平面CDO,求人的值.
Ci
uuruur1
（i）不妨设正万体的棱长为i,以DA,DC,DDi
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
则A（i,0,0）,
iin
2,2,0
C0,i,
，D（0,
Er
于是
uuirDE
Di
mjir
E
Dxyz
O
（第22题）
0,I）,
D
uuuu
，CDi
0,
i,i.
uurrnuu
DE,CDi
uurjuju
DECDiuUTTUUr=
|DE||CDi|
异面直线AE
设平面CDO的向量为m=（xi,
yi,
CD所
成角的余弦值
、「jjjt-
zi）,由m・co=0,
m-CDr=0
i）.
ii八
2xi2yi0,
yizi0,
取Xi=i
yi=Zi=i,
即m=（i,i
由DE=入EQ贝UE,,
2（i）2（i）
JUT
，DE=
又设平面CDE勺法向量为n=（X2,y2,Z2）,由n•
2（i
uur
CD
=0,
——12（i）i
UJLT
n,DE=0.
y20
入，
即n=（—2,0,入）.
得X2y2Z2取X2=2,彳4z2=一
2（i）2（i）i°
’
因为平面CDEX平面CDF,所以
23.一种抛硬币游戏的规则是：
抛掷一枚硬币.，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E;
（2）求恰好得到n（nN*）分的概率.
（1）所抛5次得分的概率为P（=i尸c552（i=5,6,7,8,9,
10）,
其分布列如下:
7
9
10
32
16
105
E=ic551=15（分）.5分
i522
（2）令pn表示恰好得到n分的概率.不出现n分的唯一情况是得到n—1分以后再掷出一次反面.因为“不出现n分”的概率是1—pn,“恰好得到n—1分”的概率是Pn-1,
因为“掷一次出现反面”的概率是-,所以有1—Pn=1Pn_1,7
22
即Pn—2=—1Pn12.
323
于是Pn2是以P1—2=1—2=—1为首项，以一j为公比的等比数列.
n1n
所以Pn——=——1,即Pn=121.
362，产32
答：
恰好得到n分的概率是121.10分
32
12k4kl2k
3，
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