人教版九下数学第二十八章 锐角三角函数第一节《锐角三角函数1》参考教案Word文件下载.docx

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下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：

锐角的正弦

二、探索新知、分类应用

【活动一】问题的引入

【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°

为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

分析：

问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

，BC=35m,求AB

根据“再直角三角形中，30°

角所对的边等于斜边的一半”，即

可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管

结论：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

【问题二】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°

，∠A=45°

，计算∠A的对边与斜边的比

，能得到什么结论？

（学生思考）

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

。

【问题三】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：

Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90o，∠A=∠A′=α，那么

有什么关系?

由于∠C=∠C′=90o，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

，即

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

【活动二】认识正弦

如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C

所对的边分别记为a、b、c。

师：

在Rt△ABC中，∠C=90°

，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。

记作sinA。

板书：

sinA＝

（举例说明：

若a=1,c=3,则sinA=

）

【注意】：

1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：

sinA、sin56°

、sin∠DEF

3、sinA是线段之间的一个比值；

sinA没有单位。

提问：

∠B的正弦怎么表示？

要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

【活动三】正弦简单应用

例1如课本图28.1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°

，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；

求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

三、总结消化、整理笔记

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，∠C=90°

，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。

四、书写作业、巩固提高

练习：

做课本第64页练习．

五、教学后记

28.1锐角三角形

第二课时

1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．

2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

1．理解余弦、正切的概念．

2．难点：

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

【复习】

1、口述正弦的定义

2、

（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC=；

sin∠ADC=．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于点D。

已知AC=

，BC=2，那么sin∠ACD＝（）

A．

B．

C．

D．

【活动一】余弦、正切的定义

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°

，

∠B=∠B′=α，

那么

有什么关系？

由于∠C=∠C′=90o，∠B=∠B′=α，

所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

即

在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,

即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

【活动二】余弦、正切简单应用

教师解释课本第65页例2题意：

如课本图28.1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=10，BC=6，求sinA、cosA、tanA的值．

教师对解题方法进行分析：

我们已经知道了直角三角形中

两条边的值，要求正弦，余弦，正切值，就要求另一个直角边

的值．我们可以通过已知边的值及勾股定理来求．

教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．

在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

学生做课本第65页练习1、2、3题．分层作业

第三课时

1．能推导并熟记30°

、45°

、60°

角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

2．能熟练计算含有30°

角的三角函数的运算式．

知道30°

，45°

，60°

角的三角函数值，并且进行运算．

让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．

重难点、关键：

熟记30°

角的三角函数值，能熟练计算含有30°

30°

角的三角函数值的推导过程．

【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？

你还能推导出

的值及30°

角的其它三角函数值吗？

【活动一】30°

角的三角函数值

【探索】1.让学生画30°

的直角三角形,分别求sin30°

、cos45°

、tan60°

归纳结果

45°

60°

siaA

cosA

tanA

【活动二】巩固知识

例求下列各式的值：

1．师生共同完成课本第66页例3：

求下列各式的值．

（1）cos260°

+sin260°

．

（2）

－tan45°

教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．

2．师生共同完成课本第66页例4：

教师解答题意：

（1）如课本图28.1-9

（1），在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=

，BC=

，求∠A的度数．

（2）如课本图28.1-9

（2），已知AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO=

OB，求a的度数．

教师分析解题方法：

要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

【活动三】提高知识

1、tan45°

·

sin60°

－4sin30°

cos45°

+

tan30°

2、已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：

（1）m的值；

（2）∠A与∠B的度数．

本节课应掌握：

角的三角函数值，并且进行计算；

四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：

课本67练习1、2

（二）分层作业

第四课时

1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．

2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．

自己熟悉计算器，在老师的指导下求一般锐角三角函数值．

让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．

运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．

正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

【引入】

通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；

如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。

【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值

利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）

sin37°

24′；

sin37°

23′；

cos21°

28′；

cos38°

12′；

tan52°

；

tan36°

20′；

tan75°

17′；

【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.

例如：

sinA=0.9816，∠A＝；

cosA＝0.8607，∠A＝；

tanA＝0.1890，∠A=；

tanA＝56.78，∠A＝。

【活动三】知识提高

1．求下列各式的值：

（1）sin42°

31′

（2）cos33°

18′24″（3）tan55°

10′

2．根据所给条件求锐角α．

（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）

（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）

（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°

，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）

已知角度求正弦值用sin键；

已知正弦值求小于90°

的锐角用2ndfsin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．

（一）巩固练习：

课本68页练习

（二）提高、拓展练习：

分层作业

28.2.1解直角三角形

1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

直角三角形的解法．

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题

见课本在Rt△ABC中，∠C=90°

，BC=5.2m，AB=54.5m．

sin=

≈0.0954．

所以∠A≈5°

28′．

【活动一】理解直角三角形的元素

【提问】1．在三角形中共有几个元素？

什么叫解直角三角形？

总结：

一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系

直角三角形ABC中，∠C=90°

，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

如果用

表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

（2）三边之间关系

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

【活动三】解直角三角形 

例1：

在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=

，a=

，解这个三角形． 

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

例2：

在Rt△ABC中，∠B=35°

，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．

引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？

”

1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；

2．解决有关问题；

课本74页练习

28.2.2应用举例

（1）

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。

1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、注意加强知识间的纵向联系．

重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：

实际问题转化成数学模型

【复习引入】

1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？

请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13求角B应该用哪个关系？

请计算出来。

【活动一】例1：

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角α一般要满足

，（如图）.现有一个长6m的梯子，问:

（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m） 

（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1o） 

这时人是否能够安全使用这个梯子。

引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

【活动二】课本例3：

2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?

最远点与P点的距离是多少?

（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？

分析:

从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应是视线与地球相切时的切点.

如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。

【活动三】课本例4

热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°

，看这栋离楼底部的俯角为60°

，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果取整数）?

老师分析：

1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。

2、在

中，

.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;

类似地可以求出CD，进而求出BC.

1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

课本76页练习1、2

28.2.2应用举例

（2）

1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

渗透数形结合的数学思想和方法．

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

学会这样分析问题．

体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。

教学重点、难点

用三角函数有关知识解决方位角问题

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

【活动一】

例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°

方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°

方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）?

【活动二】巩固练习

1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°

方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°

方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？

（精确到1分）．

2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°

，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°

，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

【活动三】坡角问题，所用到的“化整为0，积0为整，化曲为直，以直带曲”

例题

利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块（图6-35阴影部分是挖去部分），已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面（等腰梯形）ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．

2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．

3．得到数学问题的答案．

4．得到实际问题的答案．

课本77页练习2