《有理数》基础知识讲解Word格式文档下载.docx
《《有理数》基础知识讲解Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《有理数》基础知识讲解Word格式文档下载.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
0非正非负，是一个中性数
2．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线．
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如
．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：
只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“
”号即可．
（3）多重符号的化简：
数字前面“
”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1）代数意义：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．数a的绝对值记作
（2）几何意义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1．法则：
（1）加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+（-b）．
（3）乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷
b=a·
（b≠0）．
（5）乘方运算的符号法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
（6）有理数的混合运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：
－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：
（－3）×
（－2）×
（－6）=－36，而（－3）×
6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；
指数为偶数，则幂为正，例如：
，
2．运算律：
（1）交换律:
①加法交换律:
a+b=b+a；
②乘法交换律:
ab=ba；
（2）结合律:
①加法结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）；
②乘法结合律：
（ab）c=a（bc）
（3）分配律：
a（b+c）=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：
（1）数轴比较法；
（2）法则比较法：
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小；
（3）作差比较法．（4）作商比较法；
（5）倒数比较法．
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：
把一个大于10的数表示成
的形式（其中
，
是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：
200000=
2.近似数：
接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：
一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：
①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到
米，说明结果与实际数相差不超过
米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．若一个有理数的：
（1）相反数；
（2）倒数；
（3）绝对值；
（4）平方；
（5）立方，等于它本身．则这个数分别为
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
【答案】
（1）0；
（2）1和-1；
（3）正数和0；
（4）1和0；
（5）-1、0和1
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：
有理数专题复习357133概念的理解与应用】
【变式】
（1）
的倒数是 ；
的相反数是 ；
的绝对值是 .
-（-8）的相反数是；
的相反数的倒数是_____.
（2）某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是_；
如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.
（3）上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m／min.
（4）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则
____.
（5）近似数0.4062精确到位，近似数5.47×
105精确到位，近似数3.5万精确到位，3.4030×
105精确到千位是.
【答案】
；
-8；
2
（2）降价5.8元，70.2元；
（3）
（4）3；
（5）万分；
千；
3.40×
105
2．如果（x-2）2+|y-3|＝0，那么（2x-y）2005的值为（）．
A．1B．-1C．22006D．32005
【思路点拨】利用非负数的性质，求出
的值再代入计算．
【答案】A
【解析】因为（x-2）2，|y-3|都是非负数，且（x-2）2+|y-3|＝0，所以由非负数的性质先求出x=2，
y=3的值，代入得：
（2x-y）2005=12005=1．
【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．
3．在下列两数之间填上适当的不等号：
________
【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】＜
【解析】法一：
作差法
由于
，所以
法二：
倒数比较法：
因为
所以
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
【变式】比较大小：
________0.001；
（2）
________-0.68
（1）＜
（2）＞
类型二、有理数的运算
4．
（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）
（2）﹣32÷
（﹣3）2+3×
（﹣2）+|﹣4|
（4）
（5）
【答案与解析】
解：
（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）
=﹣12﹣5﹣14+39
=﹣31+39
=8
=﹣9÷
9﹣6+4
=﹣1﹣6+4
=﹣3
=
×
60﹣
60
=10﹣25﹣8
=﹣23
=﹣
[（﹣
）÷
（﹣
）﹣32]
[2﹣32]
[﹣30]
=24
【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
【变式】计算：
（2）
【答案】解：
=-16+4-3×
1
=-15
类型三、数学思想在本章中的应用
5．
（1）数形结合思想：
有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．
A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a＜1＜-a
（2）分类讨论思想：
已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．
（3）转化思想：
计算：
（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：
a＜1＜-a．
所以正确选项为：
D．
（2）因为|x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-（-3）＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-（-3）＝-2
故（x-y）的值为±
2或±
8
（3）原式=
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；
分类讨论中注意分类的两条原则：
分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；
转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．
【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?
为什么?
当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；
当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；
当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．
所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．
类型四、规律探索
6．将1，
，…，按一定规律排列如下：
请你写出第20行从左至右第10个数是________．
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．
【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是
又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是
，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．
升级会员 