反比例函数(基础)知识讲解.doc

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反比例函数（基础）

【学习目标】

1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，定义域是不等于零的一切实数.

要点诠释：

（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；

（2）（）可以写成（）的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3）（）也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为：

（）；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.

要点三、反比例函数的图象和性质

　　1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

要点诠释：

（1）若点（）在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数（为常数，）中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

要点诠释：

反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

要点四、反比例函数（）中的比例系数的几何意义

过双曲线（）上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

过双曲线（）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

要点诠释：

只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

【典型例题】

类型一、反比例函数的定义

1、在下列函数关系式中，哪些函数表示是的反比例函数？

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）（，是常数）

【答案与解析】

解：

根据反比例函数的形式及其关系式，，可知反比例函数有：

（2）（3）（4）（6）（7）（8）．

【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如（为常数，）的函数，才是反比例函数．如

（2）（3）（6）（8）均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意（为常数，）常见的变化形式，如，等，所以（4）（7）也是反比例函数．在（5）中，是的反比例函数，而不是的反比例函数．

（1）中是的正比例函数．

类型二、确定反比例函数的解析式

2、已知正比例函数和反比例函数的图象都过点A（，1）．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．

【答案与解析】

解：

因为的图象经过点A（，1），则，所以＝3．

把A（3，1）代入中，得，所以．

所以正比例函数关系式为．

由得．

当时，；当时，．所以另一个交点的坐标为（－3，－1）．

【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．

举一反三：

【变式】已知与成反比，且当时，，则当时，值为多少？

【答案】

解：

设，当时，，

所以，则＝－24，

所以有．

当时，．

类型三、反比例函数的图象和性质

3、在函数（为常数）的图象上有三点（），（），（），且，则的大小关系是（）．

A．B．C．D．

【答案】D；

【解析】

解：

当时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大．此题中需要注意的是（），（），（）不在同一象限内．因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大．因为，所以．因为在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．

【总结升华】已知反比例函数，当＞0，＞0时，随的增大而减小，需要强调的是＞0；当＞0，＜0时，随的增大而减小，需要强调的是＜0．这里不能说成当＞0，随的增大而减小．例如函数，当＝－1时，＝－2，当＝1时，＝2，自变量由－1到1，函数值由－2到2，增大了．所以，只能说：

当＞0时，在第一象限内，随的增大而减小．

举一反三：

【变式】已知的图象在第二、四象限，

（1）求的值．

（2）若点（－2，）、（－1，）、（1，）都在双曲线上，试比较、、的大小．

【答案】

解：

（1）由已知条件可知：

此函数为反比例函数，且，∴.

（2）由

（1）得此函数解析式为：

．

∵（－2，）、（－1，）在第二象限，－2＜－1，∴．

而（1，）在第四象限，．

∴

类型四、反比例函数综合

4、已知点A（0，2）和点B（0，－2），点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．

【答案与解析】

解：

如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC⊥轴于点C．

∵A（0，2）、B（0，－2），

∴AB＝4．

又∵且，

∴，∴，∴．

又∵在曲线上，∴当时，；当时，．

∴P的坐标为或．

【总结升华】通过三角形面积建立关于的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．

举一反三：

【变式】已知：

如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC⊥轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．

【答案】

解：

由双曲线与正比例函数的对称性可知AO＝OB，

则．

设A点坐标为（，），而AC＝||，OC＝||，

于是，

∴，

而由得，所以，

所以反比例函数解析式为．