数学秋季精英版教案 5年级5 包含与排除Word格式.docx

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2．让学生感知集合图的产生过程，培养学生的建模意识和能力。

教学重点、难点

重点：

找出重复部分，合理进行排除。

难点：

三个量两两重复问题。

教学准备

动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

上课之前给大家带来一个小故事《理发师的困惑》，想知道理发师有什么困惑吗？

大家仔细听一听：

某理发师正给一位客人理发，就听一声门响，“叔叔，我和我爸爸要剃头”，又一声门响，“师傅给我和我父亲剃个头”。

这时理发师抬头一看，很纳闷！

！

同学们，你们知道理发师为什么纳闷吗？

因为只有三个人！

为什么只有三个人，问题出在哪里？

（学生思考）

生：

因为两对父子中，有一个人在一组中是别人的爸爸，在另一组中又是别人的儿子。

如果用四个手指来表示三人的关系，怎样表示？

将其中两个手指头并在一起，表示一个人。

播放导入

其实这个小故事就运用了我们以前学过的一些简单的包含与排除的知识。

但随着知识范围的扩大和同学们年龄的增长，大家还要进一步学习比较复杂的包含与排除知识。

揭示课题：

包含与排除。

二、自主探究

（一）教学例一

（注意：

由于此题涉及到等差数列求和公式，建议老师们可以等上完6讲与7讲之后讲此题或此讲）

例1：

同学们知道：

12=1，22=4，32=9……中，1，4，9……叫做“完全平方数”。

在1—200的自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？

（1）师生合作，确定解题思路

看完题目后，你有什么想法？

怎么求出剩下的自然数的和？

能直接求吗？

为什么？

能直接求出来，但数字太多了，计算量很大。

那么怎么计算比较简单一些呢？

可以先求出200个自然数的总和，再减去1—200中，完全平方数的和。

同学们的想法非常好，那么你们会求1-200的和吗？

（运用等差数列求和的方式求出200个数的总和。

）

教师给出公式：

…

＝

（2）学生尝试完成解答。

（3）交流汇报结果。

答案：

1+2+3+…+200=（1＋200）×

200÷

2=20100

…＋

=1015

20100-1015=19085

答：

剩下的自然数的和是19085。

（4）教师引导小结。

当我们遇到像例一这样较复杂的计算时，可以运用“排除”的思路，将题目中不符合条件的部分先排除掉后求出问题。

（板书：

排除）

（二）教学例二

刚才的题目我们是运用了排除的思想解决的。

但老师这儿还有一道题目，大家一定见过吧。

例2：

50人参加测验，答对第一题的有40人，答对第二题的有31人，两题都答对的有25人。

那么两题都没答对的有多少人？

（1）学生读题后，理解题意

这次测验有几道题目？

学生的测试结果有几种情况？

这次测验有2道题目，学生的测试结果有以下几种情况：

只答对第一题；

只答对第二题；

两题都答对；

两题都不对。

那么答对第一题的包括哪几种情况？

答对第一题包括只答对第一题和两题都答对；

答对第二题包括只答对第二题和两题都答对。

（2）尝试画出示意图②

同学们，现在老师要考考大家了，你能根据题目的条件画出示意图吗？

（选举一名代表板演）

问：

你打算怎么解决问题？

生:

先求出至少答对一题的人数，再用总人数减去至少答对一题的人数。

哦，那么至少答对一题的有多少人呢？

40+31=71（人）因为其中有25人被算了两次，还要减去25。

然后用总人数减去至少答对一道题的人数就得两题都没答对的人数。

（3）学生尝试完成解答

（4）讲解。

讲解以学生为主，重点说出解题思路，重复、排除。

至少答对一题的人数：

40+31-25=46（人）

两题都没答对的人数：

50-46=4（人）

两题都没答对的有4人。

（5）教师小结

本题是典型的包含与排除问题，也是我们学过的比较简单的一类。

在解决这类问题时，我们不妨借助示意图来解题，有时通过画图，你会发现问题如此简单。

下面我们就来试试看吧。

（三）教学例三

例3：

在1～500这500个的整数中，能被3整除，或能被7整除的整数有多少个？

（1）学生读完题后从简单情况出发理解题意

1～500共500个数，为方便大家理解，我们先来看1～30的情况。

（2）学生用枚举法解决

1～30能被3整除的数：

3、6、9、12、15、18、21、24、27、30.

1～30能被7整除的数：

7、14、21、28；

那么能被3整除，或能被7整除的整数有：

10＋4－1＝13（个）

因为21被算了2次。

（3）尝试画出示意图

你能根据题意画出示意图吗？

观察图，你发现了什么？

对我们解决问题有何帮助？

1～500的整数中，能被3整除的数的个数加能被7整除的数的个数，再求出能同时被3和7整除（即能被21整除）的数的个数，最后相减就行了。

老师非常高兴，因为同学们在想问题的时候考虑的非常全面。

通过理解我们发现，能同时被3和7整除，即能被21整除的数被重复算了1次，要从中排除掉重复算的这些数。

（4）学生完成解答并选取代表讲解。

能被3整除的数的个数加上能被7整除的数的个数减去能被21整除的数的个数就是要求的总个数。

500÷

3=166（个）……2

7=71（个）……3

21=23（个）……17

166+71-23=214（个）

能被3或能被7整除的数有214个。

（4）教师小结

包含与排除类问题，有时题目中没有告诉我们重复算的部分，这就要求我们思考问题要全面，不忽视题目中给我们的任何隐藏条件。

三、巩固提高

（一）拓展问题1

1.在1～1000这1000个的整数中，能被3整除，或能被4整除的整数一共有多少个？

（1）指名学生上台板演，其他学生独立完成

（2）汇报交流

（二）拓展问题2

2.前锋小学五

（2）班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？

（三）拓展问题3

3.某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：

英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。

四、课堂小结

同桌相互说说本节课所学习的收获，相互之间讨论一下，同桌之间互相提问，加深对本节课知识点的学习。

第二课时

一、过渡语

同学们在第一节课上表现的非常好，思考问题很全面。

可是包含与排除的问题可不仅仅就是前面几个例题那么简单哦，我们来看看下面的一种题型吧。

二、呈现问题

（一）教学例四

例4：

五

（1）班期中考试，语文得100分的有9人，数学得100分的有14人，其它科都没有得100分的。

班会上，班主任老师说：

“这次期中考试，谁得了100分，请站起来。

”

你想一想，站起来的人最多有多少个，最少有多少个？

（1）学生小组讨论

想一想，小组讨论，什么情况下站起来的人最多？

什么情况下站起来的人最少？

教师巡视，发现学生在讨论时的思维闪光点。

（2）汇报讨论交流的成果

要使得100分的人尽量多，你是怎么想的？

那么语文和数学同时得满分的人要尽量的少，因为减去重复的数字小，剩下的人才多。

也就是没有一个人数学和语文同时得100分。

那么站起来的最多有多少人？

9+14=23（人）

那么站起来的人最少是什么情况？

……

（3）学生完成解答，并同桌相互讲解。

要使站起来的人数最多，就要使语文、数学同时得100分的人数最少；

要使站起来的人数最少，就要使语文、数学同时得100分的人数最多。

当没有人语文和数学同时得100分时，站起来的人最多，最多有：

语文得100分的人数学也都得了100分，站起来的人最少，最少有：

14+9-9=14（人）

站起来的人最多可能有23人，最少可能有14人。

（二）例五教学

到目前为止，我们遇到的题目都是两个量之间出现重复现象，但在实际生活中，还会出现多个量之间相互重复，我们先来了解一下吧。

例5：

某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：

至少参加一个组的有多少人？

（1）学生读题，小组合作尝试在书上的图中标出相关数据

同学们，图中的各个部分表示的是什么，你们知道吗？

题目要求至少参加一个组的有多少人，在图上是哪部分？

请学生描述。

（3）小组讨论

这部分的人数等于将参加三个组的人数加起来的和吗？

小组讨论

（4）汇报成果

同学们，老师提出的问题，你们发现了答案了吗？

里面有重复算的部分，其中三个组都参加的人被算了三次。

如果两两重复的部分被减去一次，最后中间的部分就被减了三次，就被减没了，那么还需要加一次。

11+8+12-5-3-4+1=20（人）

至少参加一个组的有20人。

涉及到三个量时，要求总和，你发现了规律吗？

画出韦恩图后与求面积的方法一致，保证每部分面积都只被算一次。

让我们带着刚发现的小技巧去闯关吧。

三、拓展问题

（一）拓展问题4

4．50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50依次报数；

再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，问：

现在面向老师的同学还有多少名？

（1）学生尝试独立完成

现在面向老师的是哪些同学？

从未转动的或转动两次的。

那么哪些同学从未转动或转动了两次？

从未转动的既不是4的倍数又不是6的倍数；

转动两次的既是4的倍数，又是6的倍数。

50以内4的倍数：

50÷

4＝12（个）……2

50以内6的倍数：

6＝8（个）……2

50以内[4,6]的倍数：

12＝4（个）……2

50以内是4或6的倍数的数：

12＋8－4＝16（个）

因为是4或6的倍数的数都转动过，那么从未转动过的有

50－16＝34（人）

报数是[4,6]的倍数转动两次，所以转动过的的有4人面向老师。

面向老师的学生共有：

34＋4＝38（人）

（二）拓展问题5

5．在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？

（1）师生合作，解决问题

这道赫那道题类似？

你能根据题意画出图形吗？

（2）学生尝试解答

1～1000中：

能被2整除的有500个数，能被3整除的有333个数，能被5整除的有200个数；

能被[2,3]整除的有166个数，能被[2,5]整除的有100个数，能被[3,5]整除的有66个数；

能被[2,3,5]整除的有33个数。

500+333+200-166-100-66+33=734（个）

1000-734=266（个）

（三）拓展问题6

6．某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：

这个班有多少名学生？

17+18+15-6-6-6+2+4=38（名）

这个班有38名学生。

三、全课总结

今天我们学习了比较复杂的包含与排除问题，你有什么新的收获？

分享给你的同桌吧！

1.会画文氏图，根据图解题

2.计算三个量两两重复的问题

教材及练习答案：

例题

19085

4人

214个

最多23人最少14人

20人

拓展练习

1．333＋250－83＝500（个）

2．24＋18－11＋5＝36（人）

3．12＋10－3＋26＝45（人）

4．1～50中，4的倍数有12个，6的倍数有8个；

[4,6]的倍数有4个

12＋8－4＝16（名）

50－16＝34（名）

34＋4＝38（名）

5．能被2整除的有500个，能被3整除的有333个，能被5整除的有200个，能被6整除的有166个，能被10整除的有100个，能被15整除的有66个，能被30整除的有33个。

所以：

500＋333＋200－166－100－66＋33＝734（个）

1000－734＝266（个）

6．17＋18＋15－6－6－6＋2＋4＝38（名）