高中数学必修二复习资料Word文件下载.docx

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底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做

正棱锥。

3.2棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的

距离与顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在

底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

）（如上图：

SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形）

3.3侧面展开图：

正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

3.4面积、体积公式：

S正棱锥侧=1ch，S正棱锥全=1chS底，V棱锥=1S底h.

223

（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高）

4.圆锥

4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

4.2

圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径

之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②轴截面是等腰三角形；

如右图：

SAB

③如右图：

l2h2r2.

4.3圆锥的侧面展开图：

圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半

径的扇形。

4.4

2h

面积、体积公式：

S圆锥侧=rl，S圆锥全=r（rl），V圆锥=1r

r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）

5

.棱台

锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台

5.1正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；

③如右图：

四边形O`MNO,O`B`BO都是直角梯形

④棱台经常补成棱锥研究.如右图：

SO`M与SON,S`O`B`与SOB相似，注意考虑相似比.

5.2棱台的表面积、体积公式：

S全＝S上底＋S下底＋S侧，V棱台＝1（S＋SS`S`）h，（其

中S,S`是上，下底面面积，h为棱台的高）

6.圆台

6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，

底面与截面之间的部分叫做圆台.

6.2圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；

②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。

SO`A与SOB相似，注意相似比的应用.

6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；

6.4圆台的表面积、体积公式：

S全＝r2R2（Rr）l，

V圆台＝1（S＋SS`S`）h＝1（r2rRR2）h，（其中r，R为上下底面半径，h

33

为高）

7.球

7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫

做球体，简称球.

或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何

体叫做球体，简称球；

7.2球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

②rR2d2（其中，球心到截面的距离为d、

球的半径为R、截面的半径为r）

7.3

球与多面体的组合体：

球与正四面体，

球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

7.4球面积、体积公式：

S球4R2,V球34R3（其中R为球的半径）

（二）空间几何体的三视图与直观图

根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解

即可

1.投影：

区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图

形；

正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；

侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；

正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；

注：

（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；

侧视图画在

正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。

（简记

为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.

（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.直观图：

3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2斜二测法：

step1：

在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取xoy90）；

step2：

画直观图时，把它画成对应的轴o'

x'

o'

y'

，取x'

o'

45（or135），它

们确定的平面表示水平平面；

step3：

在坐标系x'

中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平

行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴

（或在y轴上）的线段长度减半。

结论：

一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍.

4

解决两种常见的题型时应注意：

（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.

（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能

看见的轮廓线和棱画成虚线。

二点、直线、平面之间的位置关系

（一）平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界

1.1三个定理与三个推论

公理1：

如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

用途：

常用于证明直线在平面内.

图形语言：

符号语言：

公理2：

不共线．．．的三点确定一个平面.图形语言：

推论1：

直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：

推论2：

两条相交直线确定一个平面.图形语言：

推论3：

两条平行直线确定一个平面.图形语言：

用于确定平面。

公理3：

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的

集合是一条直线（两个平面的交线）.

常用于证明线在面内，证明点在线上.

形语言，文字语言，符号语言的转化：

共面:

ab=A,a//b

异面:

a与b异面

1.空间直线的位置关系：

平行线的传递公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表述：

a//b,b//ca//c

等角定理：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角

相等或互补。

异面直线：

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：

连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平

面内不过此点的直线是异面直线。

P

符号语言：

PA与异面a

Aa

1）范围：

0,90；

（2）作异面直线所成的角：

平移法.

如右图，在空间任取一点O，过O作a'

//a,b'

//b，

则a'

b'

所成的角为异面直线a,b所成的角。

特别地，

找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到

另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，

形成异面直线所成的角.

l

2.直线与平面的位置关系：

lA

l//

1.线面平行：

①定义：

直线与平面无公共点

a//b

②判定定理：

aa//（线线平行线面平行）

b

a//

③性质定理：

aa//b（线面平行线线平行）

④判定或证明线面平行的依据：

（i）定义法（反证）：

ll//（用

ii）判定定理：

aa//“线线平行面面平行”（用

于证明）；

（iii）//a//“面面平行线面平行”（用于证明）；

a

ba

（4）ba//（用于判断）；

2

.线面斜交：

①直线与平面所成的角（简称线面角）：

若直线与平面

斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

【如

图】PO于O，则AO是PA在平面内的射影，

PAO就是直线PA与平面所成的角。

范围：

0,90，注：

若l或l//，则直线l与平面所成的角为0；

若

l，则直线l与平面所成的角为90。

3.面面平行：

//；

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么

两个平面互相平行；

a,b,abO,a//,b////【如下图①】

数学必修2第11页共31页

推论：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那

么这两个平面互相平行

a,b,abO,a'

a//a'

b//b'

//【如上图②】

判定2：

垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符

号表述：

a,a//.【如右图】a

3判定与证明面面平行的依据：

（1）定义法；

（2）

判定定理及推论（常用）（3）判定2

//

4面面平行的性质：

（1）a//（面面平行线面平行）；

（2）

aa//b；

（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的

平行线段相等。

【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平

面。

若任意a,都有la，且l，则l.

a,babO

ll（线线垂直线面垂直）

lalb

③性质：

（1）l,ala（线面垂直线线垂直）；

（2）a,ba//b；

④证明或判定线面垂直的依据：

（1）定义（反证）；

（2）判定定理（常

a//b//ab

用）；

（3）b（较常用）；

（4）a；

（5）a

aaa

ab

（面面垂直线面垂直）常用；

⑤三垂线定理及逆定理：

I）斜线定理：

从平面外一点向这个平面所引的垂线

II）三垂线定理及逆定理：

已知PO，斜线PA在平面内的射影为

OA，a，

①若aOA，则aPA——垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理；

3.2面面斜交

①二面角：

OBl,OAlAOB是二面角－l的平面角

AOB[0,180]

②作二面角的平面角的方法：

（1）定义法；

（2）三垂线

法（常用）；

（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定义：

若二面角l的平面角为90，则；

如果一个平面经过另一个平面的一条垂

线，那么这两个平面互相垂直.

a（线面垂直面面垂直）

（3）性质：

①若，二面角的一个平面

角为

aABa（面面垂直线

aAB

面垂直）；

A

二、基础题型（必懂）

1、概念辨析题：

（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选

法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练

掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模

型来进行判断。

你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必

须找出反例。

（3）相关例题：

课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：

例：

（09年北京卷）设m，n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，

给出下列四个说法：

①m,n//mn；

②//,//,mm；

③

m//,n//m//n

④,//，说法正确的序号是：

2、证明题。

证明平行关系，垂直关系等方面的问题。

（1）基础知识网络：

三、趋近高考（必懂）

1.（2010全国卷2理）已知正四棱锥SABCD中，

的体积最大时，它的高为

（A）1（B）3（C）

【答案】C

【解析】设底面边长为a，则高

，

设，则，当y取最值时，

或a=4时，体积最大，此时，故选C.

2.（2010陕西文）若某空间几何体的三视图如图所

示，则该几何体的体积是[B]

（A）2（B）1

SA23，那么当该棱锥

2（D）3

所以体积

，解得a=0

1

C）

D）

3.（2010辽宁文）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，

SAAB1，BC2，则球O的表面积等于

A）4

B）3

C）2

A.由已知，球O的直径为2RSC2，表面积为4R24.

4.（2010安徽文）一个几何体的三视图如

图，该几何体的表面积是

（A）372（B）360

（C）292（D）280

【答案】B

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，

其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

s2（10810282）2（6882）360.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知

道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表

面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5.（2010重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及

几何体体积的计算，属容易题

7.

（2010福建文）若一个底面是正三角形

三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等

（）

A．3B．2

C．23D．6

【解析】由正视图知：

三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以

底面积为

2423，侧面积为3216，选D．

8.（2010全国卷1文）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若

AB=CD=2则四面体,ABCD的体积的最大值为

（A）23（B）43（C）23（D）83

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距

离为h,则有V四面体ABCD1212h2h,当直径通过AB与CD的中点

323

时,hmax2221223,故Vmax43

max3

第二章平面解析几何初步

1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究

几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成

的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，

这条曲线叫做方程的曲线。

如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的直角坐标系；

（2）写出满足条件的

点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化简方程并确定未知数的取

值范围；

（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都

满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：

直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800

的正角，叫做它的倾斜角。

规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角

的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可

求直线方程。

4．直线方程的几种形式：

【必会】【必考】

（1）一般式：

Ax+By+C=0；

（2）点斜式：

y-y0=k（x-x0）；

（3）斜截式：

y=kx+b；

（4）截距式：

xy1；

（5）两点式：

xx1yy1；

x2x1y2y1

（6）法线式方程：

xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到

直线的距离）；

（7）参数式：

xx0tcos（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是

yy0tsin

定点P0（x0,y0）到动点P（x,y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正

负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：

若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，将l1绕它们的交点逆时

针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；

l1与l2所成的角中不超

过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=k2k1,tan

1k1k2

k2k1

=

6．平行与垂直：

若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。

且两者不重合，则l1//l2

的充要条件是k1=k2；

l1l2的充要条件是k1k2=-1。

7．两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）间的距离公式：

|P1P2|=（x1x2）2（y1y2）2。

8．点P（x0,y0）到直线l:

Ax+By+C=0的距离公式：

d|Ax0By0C|。

A2B2

9．直线系的方程：

若已知两直线的方程是l1：

A1x+B1y+C1=0与l2：

A2x+B2y+C2=0，则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ

（A2x+B2y+C2=0；

由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）

（A2x+B2y+C2）=0；

与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0（CC1）.

10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>

0，

则Ax+By+C>

0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<

0表示的区域为l

下方的部分。

11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：

（1）确定各变量，并以x和y

表示；

（2）写出线性约束条件和线性目标函数；

（3）画出满足约束条件

的可行域；

（4）求出最优解。

12．圆的标准方程：

圆心是点（a,b），半径为r的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，其参数方程为xarcos（θ为参数）。

ybrsin

13．圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>

0）。

其圆心为D,E，

22

半径为12D2E24F。

若点P（x0,y0）为圆上一点，则过点P的切线方程为

x0xy0yDx0xEy0yF0.①

0022

14．根轴：

到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），

这条直线叫两圆的根轴。

给定如下三个不同的圆：

x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,

2,3.则它们两两的根轴方程分别为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0;

（D2-D3）x+（E2-E3）y+（F2-F3）=0;

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0。

不难证明这三条

直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。

二、基础例题（必会）

1．坐标系的选取：

建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。

例1（经典例题）在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的

垂线与BC交于点E，求证：

∠ADB=∠CDE。

[证明]见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。

设点B，C坐标分别为（0,2a）,（2a,0），则点D坐标为（a,0）。

直线BD

方程为xy1，①直线BC方程为x+y=2a，②设直线BD和AE的斜

a2a

率分别为k1,k2，则k1=-2。

因为BDAE，所以k1k2=-1.所以k21，所以直

线AE方程为y12x，由

y2x,解得点E坐标为4a,2a

xy2a33

所以直线DE斜率为k332.因为k1+k3=0.

aa

所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。

例2（经典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上

滚动。

证明：

三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。

[证明]以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直

角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于BC边上