步步高必修3高中数学复习资料第三章 313.docx
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步步高必修3高中数学复习资料第三章313
3.1.3 概率的基本性质
学习目标
1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率.
知识点一 事件的关系与运算
思考 一粒骰子掷一次,记事件A＝{出现的点数大于4},事件B＝{出现的点数为5},则事件B发生时,事件A一定发生吗？
答案 因为5>4,故B发生时A一定发生.
梳理 1.对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作B⊇A（或A⊆B）.与集合类比,如图所示.
不可能事件记作∅,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B⊇A,且A⊇B）,那么称事件A与事件B相等,记作A＝B.
2.关于事件的运算,有下表：
定义
表示法
事件的运算
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B（或A＋B）
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B（或AB）
知识点二 互斥与对立的概念
思考 一粒骰子掷一次,事件E＝{出现的点数为3},事件F＝{出现的点数大于3},事件G＝{出现的点数小于4},则E∩F是什么事件？
E∪F呢？
G∩F呢？
G∪F呢？
答案 E∩F＝不可能事件,E∪F＝{出现的点数大于2}.
G∩F＝不可能事件,G∪F＝必然事件.
梳理 互斥事件和对立事件
互斥事件
定义
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
符号
A∩B＝∅
图示
注意事项
例如,在掷骰子试验中,记C1＝{出现1点},C2＝{出现2点},则C1与C2互斥
对立事件
定义
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
符号
A∩B＝∅,A∪B＝Ω
图示
注意事项
A的对立事件一般记作
知识点三 概率的基本性质
思考 概率的取值范围是什么？
为什么？
答案 概率的取值范围在0～1之间,即0≤P（A）≤1;由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0～1之间,因而概率的取值范围也在0～1之间.
梳理 概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围为[0,1].
（2）必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
（3）概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥,
则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
特别地,若A与B为对立事件,则P（A）＝1－P（B）.
P（A∪B）＝1,P（A∩B）＝0.
1.若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.（ × ）
2.若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件.（ √ ）
3.若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.（ √ ）
类型一 事件关系的判断
例1 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各10张）中,任取一张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
解
（1）是互斥事件,不是对立事件.
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
（2）既是互斥事件,又是对立事件.
理由是：
从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
（3）不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
反思与感悟
（1）要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件的并事件是否为必然事件,从而可判断是否为对立事件.
（2）考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行分析.
跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（ ）
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.
类型二 事件的运算
例2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1＝{出现1点},事件C2＝{出现2点},事件C3＝{出现3点},事件C4＝{出现4点},事件C5＝{出现5点},事件C6＝{出现6点},事件D1＝{出现的点数不大于1},事件D2＝{出现的点数大于3},事件D3＝{出现的点数小于5},事件E＝{出现的点数小于7},事件F＝{出现的点数为偶数},事件G＝{出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题：
（1）请举出符合包含关系、相等关系的事件;
（2）利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
考点 事件的包含关系
题点 事件的包含关系
解
（1）因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等,即C1＝D1.
（2）因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2＝C4∪C5∪C6（或D2＝C4＋C5＋C6）.
同理可得,D3＝C1＋C2＋C3＋C4,E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6,F＝C2＋C4＋C6,G＝C1＋C3＋C5.
反思与感悟 事件间运算方法
（1）利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
（2）利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练2 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A＝{3个球中有一个红球,两个白球},事件B＝{3个球中有两个红球,一个白球},事件C＝{3个球中至少有一个红球},事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：
（1）事件D与事件A,B是什么样的运算关系？
（2）事件C与事件A的交事件是什么事件？
考点 事件的包含关系
题点 事件的包含关系
解
（1）对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D＝A∪B.
（2）对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A＝A.
类型三 用互斥、对立事件求概率
例3 甲、乙两人下棋,和棋的概率是
乙获胜的概率为
求：
（1）甲获胜的概率;
（2）甲不输的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
解
（1）“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为1－
－
＝
.
（2）方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P（甲不输）＝
＋
＝
.
方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P（甲不输）＝1－
＝
故甲不输的概率为
.
反思与感悟
（1）只有当A,B互斥时,公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）才成立;只有当A,B互为对立事件时,公式P（A）＝1－P（B）才成立.
（2）复杂的互斥事件概率的求法有两种：
一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率的加法公式计算;二是间接求解,先找出所求事件的对立事件,再用公式P（A）＝1－P（
）求解.
跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A＝“抽到一等品”,事件B＝“抽到二等品”,事件C＝“抽到三等品”.已知P（A）＝0.65,P（B）＝0.2,P（C）＝0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A.0.20B.0.39C.0.35D.0.90
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而P（A）＝0.65,∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 C
解析 A中的两个事件能同时发生,故不互斥;同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥;D中两个事件是对立的,故选C.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（ ）
A.0.42B.0.28
C.0.3D.0.7
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3,故选C.
3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是（ ）
A.A＋B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件,也是对立事件
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析
由于A,B,C,D彼此互斥,且由P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1,知A＋B＋C＋D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为
乙夺得冠军的概率为
那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
＋
＝
.
5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：
（1）他乘火车或飞机去的概率;
（2）他不乘轮船去的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解 设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥.
（1）P（A＋D）＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7.
（2）P＝1－P（B）＝1－0.2＝0.8.
1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之两个事件对立,它们一定互斥.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
（1）将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;
（2）先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.
一、选择题
1.袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个白球与都是白球
B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个红球与一个白球一个黑球
D.至少有一个红球与红、黑球各一个
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 C
解析 直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
2.一箱产品有正品4件、次品3件,从中任取2件,有如下事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”;
②“至少有1件次品”和“都是次品”;
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”;
④“至少有1件次品”和“都是正品”.
其中互斥事件有（ ）
A.1组B.2组
C.3组D.4组
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 B
解析 对于①,“恰有1件次品”就是“1件正品,1件次品”,与“2件都是次品”显然是互斥事件;
对于②,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是次品”可能同时发生,因此这两个事件不是互斥事件;
对于③,“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”,与“至少有1件次品”不是互斥事件;
对于④,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是正品”显然是互斥事件,故①④是互斥事件.
3.若A,B是互斥事件,P（A）＝0.2,P（A∪B）＝0.5,则P（B）等于（ ）
A.0.3B.0.7
C.0.1D.1
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 A
解析 ∵A,B是互斥事件,
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5,
∵P（A）＝0.2,∴P（B）＝0.5－0.2＝0.3.
故选A.
4.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有（ ）
①恰有一名男生和全是男生;
②至少有一名男生和至少有一名女生;
③至少有一名男生和全是男生;
④至少有一名男生和全是女生.
A.①③④B.②③④
C.②③D.①④
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 ①是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事件.至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.
5.下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）;③若事件A,B,C两两互斥,则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1;④事件A,B满足P（A）＋P（B）＝1,则A,B是对立事件.其中错误命题的个数是（ ）
A.0B.1
C.2D.3
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 对立事件首先是互斥事件,故①正确;只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式,故②不正确;概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,故③不正确;对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事件A＝{正面为奇数},B＝{正面为1,2,3},则P（A）＋P（B）＝1.而A,B不互斥,故④不正确.
6.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为（ ）
A.0.09B.0.97
C.0.99D.0.96
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.
7.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 D
解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,其中4位同学都选周六的概率为
4位同学都选周日的概率为
故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－
－
＝
＝
故选D.
8.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为
.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A＋
（
表示事件B的对立事件）发生的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 C
解析 由题意知,
表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件
互斥,由概率的加法计算公式可得P（A＋
）＝P（A）＋P（
）＝
＋
＝
＝
.
9.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：
办理业务所需的时间Y/分
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时,据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（ ）
A.0.28B.0.3
C.0.15D.0.31
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 D
解析 第三个顾客等待不超过4分钟包括：
①第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,
②第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客办理业务用时2分钟,
③第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客办理业务用时3分钟,
④第一个顾客办理业务用时2分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,
⑤第一个顾客办理业务用时2分钟,且第二个顾客办理业务用时2分钟,
⑥第一个顾客办理业务用时3分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,
且这些事件彼此是互斥的,
故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P＝0.1×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.3＋0.4×0.1＋0.4×0.4＋0.3×0.1＝0.31.
二、填空题
10.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案
解析 由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为
故所求概率P＝1－
＝
.
11.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球（小球除编号外完全相同）,甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案
解析 设a,b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意,摸球试验共有36种不同的结果,满足a＝b的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P＝1－
＝
.
12.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为
则参加联欢会的教师共有________人.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1－
＝
.再由题意,知
n－
n＝12,解得n＝120.
三、解答题
13.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
（1）命中9环或10环的概率;
（2）至少命中8环的概率;
（3）命中不足8环的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解 记事件“射击一次,命中k环”为Ak（k∈N,k≤10）,则事件Ak之间彼此互斥.
（1）设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.28＋0.32＝0.6.
（2）设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
（3）设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P（C）＝1－P（B）＝1－0.78＝0.22.
四、探究与拓展
14.对一批产品的长度（单位：
毫米）进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25）上的为一等品,在区间[15,20）和[25,30）内为二等品,在区间[10,15）和[30,35]内为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为（ ）
A.0.09B.0.20
C.0.25D.0.45
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 D
解析 由题意可知,除去一等品和三等品就是二等品,故可用对立事件的概率公式求解.由图可知抽得一等品的概率为0.06×5＝0.3,抽得三等品的概率为（0.02＋0.03）×5＝0.25,故抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
15.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
（1）求有4人或5人外出家访的概率;
（2）求至少有3人外出家访的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解
（1）设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,
P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝0.3＋0.1＝0.4.
（2）至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以由对立事件的概率可知,P＝1－P（A）＝1－0.1＝0.9.
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