完整版耶鲁公开课博弈论笔记Word文档格式.docx

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背叛是两种策略之中的支配性策略。

因此，这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡，就是双方参与者都背叛对方，结果二人同样服刑2年。

协和谬误

20世纪60年代，英法两国政府联合投资开发大型超音速客机，即协和飞机。

该种飞机机身大、装饰豪华并且速度快，其开发可以说是一场豪赌，单是设计一个新引擎的成本就可能高达数亿元。

难怪政府也会被牵涉进去，竭力要为本国企业提供更大的支持。

　　项目开展不久，英法两国政府发现：

继续投资开发这样的机型，花费会急剧增加，但这样的设计定位能否适应市场还不知道；

但是停止研制也是可怕的，因为以前的投资将付诸东流。

随着研制工作的深入，他们更是无法做出停止研制工作的决定。

协和飞机最终研制成功，但因飞机的缺陷（如耗油大、噪音大、污染严重等）以及运营成本太高，不适合市场竞争，英法政府为此蒙受很大的损失。

　　在研制过程中，如果英法政府能及早放弃，本来可以使损失减少，但他们没能做到。

最后，英国和法国航空公司宣布协和飞机退出民航市场，才算是从这个无底洞中脱身。

这也是“壮士断腕”的无奈之举。

　　人们往往会陷入类似的误区：

一项工作的成本越大，对它的后续投入就越多。

其实不仅是在制造协和飞机这样的重大项目上，就是在日常的生活中，人们在决定是否继续做一件事情的时候，不仅是看它对自己有没有好处，而且也过于注意自己是不是已经在这件事情上面有过投入。

　　我们把那些已经发生、不可收回的支出，如时间、金钱、精力称为“沉没成本”。

沉没的意思是说，你在正式完成交易之前投入的成本，如果一旦交易不成，就会白白损失掉。

但如果对沉没成本过分眷恋，就会继续原来的错误，造成更大的亏损。

在第一节课中得出的五个结论：

1、不要选择劣势策略

2、理性选择导致次优结果

3、站在他人立场分析他们会怎么做

4、先弄清你想要的，才能得到你想要的

5、人人都是自私的

第二节、

囚徒困境的解决之道：

1、多次博弈；

2、设立规章制度，惩罚违规者；

3、思想教育（效果待定）。

博弈的要素：

参与者i；

策略S；

收益U。

符号的定义：

Si表示参与者i的策略。

S-i表示除参与者i以外其他人的策略。

Ui表示i的收益。

名词解释：

共同知识：

我知道这件事；

你也知道这事；

我知道你知道这事；

你知道我知道你知道这事这事；

此后循环。

案例：

老师在课堂上让每位学生从1-100中选择一个数字。

选择到最接近全班平均数的2/3的学生为胜利者。

学生共有50个左右。

胜利者平分奖金5美元。

解决方案：

step1、假设每个人都选择100，平均数100*2/3＝66.66。

所以不能选择67-100之间的数（严格劣势策略）。

现实中有两名学生选择了。

step2、剔除了step1中的严格劣势策略后，重复迭代，66*2/3＝44。

所以不能选择44-67之间的数（弱劣势策略）。

现实中有四名学生选择了。

step3、44*2/3＝29，所以不能选择29-44之间的数。

现实中有13个左右选择了30-34区间，。

选择这个数区间的学生想法是1-100平均数是50，50*2/3＝33，所以选择33附近的数可能比较接近。

这些学生低估了其同班同学的智商。

step4、29*2/3＝19，所以不能选择19-29之间的数。

现实中有12个选择了。

选择这个区间的学生就像螳螂捕蝉中的螳螂，却没有想到还有更多的黄雀在后。

...

...

这么一直迭代下去，理论上如果所有学生都是理性人。

平均数应当是1。

现实中有12个学生选择了1。

应该说选择了1的学生都看出了这个博弈的窍门。

但是他们的选择不是最接近平均数的。

因为在现实中不可能所有人都是理性人。

最终12是最接近平均数2/3的数。

有9人选择了这个数。

结论：

迭代剔除劣势策略是个好的方法，但在现实中不能过度迭代。

因为不是所有人都是理性人，而且不是所有人都有共同知识（概念见前述）。

应用案例：

中间选民定理

两个政治候选人，为了选举须确定自己的政治立场。

共有10个立场：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

第个立场都有10%选票。

两个候选人要在一系列的政治主张中选择一个。

规则：

选民会投票给观点最相近的候选人。

距离相等，该立场平分选票。

候选者希望选票最大化。

step1：

试证明:

S2优于S1。

比较1号候选人选择S1,S2其利益U1的大小。

当2号候选人选择1号策略S1时 

U1（1、1）[表示2号候选人选择S1，1号候选人选择S1]为50% 

<

U1（2、1）[表示2号候选人选择S1，1号候选人选择S1]为90%

当2号候选人选择2号策略S2时

U1（1,2）=10% 

<

U1（2,2）=50%

当2号候选人选择3号策略S3时

U1（1,3）=15% 

U1（2,3）=20%

当2号候选人选择4号策略S4时

U1（1,4）=20% 

U1（2,4）=25%

......

下面 

选择S2得票率都比S1大5%，所以S2严格优于S1。

同理S9优于S10。

step2：

试证明：

S3优于S2

剔除劣势策略S1，S10

U1（2,2）=50% 

U1（3,2）=80%

U1（2,3）=20% 

U1（3,3）=50%

U1（2,4）=25% 

U1（3,4）=30%

当2号候选人选择5号策略S5时

U1（2,5）=30% 

U1（3,5）=35%

选择S3得票率都比S2大5%，所以S3严格优于S2。

同理S8优于S9。

所以S2是弱劣势策略，以下同理可证S4优于S3，S5优于S4。

迭代剔除后将剩下S5，S6。

政治家为了赢得更多选票，尤其是大量关键的“中间选民”，会表现的趋中，各个政治家之间的差别会变得很小。

如美国选举时议题是：

0.3%的税收差别，给不给移民发驾照，同性恋能否结婚之类对生活不会有重大影响的事项。

缺陷：

在现实中每个立场的选民数非均匀分布；

非所有人都投票；

选民不只考虑政治立场，还有性格，甚至外貌；

政治候选人的口号与实际行动未必一致；

候选人不止两位。

第三节、

之前的几节课中，各个案例都是有严格劣势策略的。

接下来的几个案例中没有严格劣势策略，通过对这些没有严格劣势策略案例，可以模拟更复杂的现实情况，同时对数学的要求会加深。

S1=u,m,d 

S2=L,R 

表格中的数值为play1,2选择不同策略时的得分，两个玩家都想得到更高的得分。

在这个博弈中没有严格劣势策略，因为当play2选择不同策略时，play1的策略中没有一个是始终劣势于其他策略的。

我们可以用画图的方式来分析没有严格劣势策略时Play1应该如何选择策略的案例。

如图：

X轴P（r）表示、play2选择R策略的概率；

Y轴表示play1的预期得分。

当P（r）＝0时，就是说play2选择L策略。

play1选择u,m,d时的得分分别是5，1，3。

当P（r）＝100%时，就是说play2选择R策略。

play1选择u,m,d时的得分分别是0，4，2。

将这六个点分别在图中标出，然后连成直线。

就得出了三个函数：

U1（u,p（r））=5-5p（r）;

... 

...（play1选择u策略时，得分随play2选择R策略的概率变化而变化的函数）

U1（m,p（r））=3p（r）+1;

U1（d,p（r））=-2p（r）+4.

其中三条直线有三个交点，分别位于P（r）＝1/3；

1/2；

3/5 

三处。

从图中可以看出，Play1要得分最高，要根据Play2的P（r）不同分三段来选择策略。

当P（r）小于1/3时，应该选择u策略；

当P（r）大于1/3小于3/5时；

应该选择中间的线外外代表的策略d；

当P（r）大于3/5时，应该选择m策略。

上面这个案例是一个纯理论阐述，下面介绍足球比赛中点球时，射手应该如何选择的问题。

这个案例的数据是基于实际比赛中的统计数据。

点球

表格中前列数字表示射手射中球的概率，如4表示40%中球率。

L表示左，R表示右，M表示中。

用前例中的方法画图：

从图中可得出：

为得到最高的点球成功率，当P（r）<

50%时，应该射手应该选择踢左边；

当P（r）》50%时，应该射手应该选择踢右边；

表示踢中路成功率的那条线始终没有最高概率，所以射手最好不要选择踢中路。

这个模型的缺陷：

没有考虑射手踢球的习惯；

没有考虑守门员守中路的情况（考虑三个要素很复杂，而且中路是可以排除的严格劣势策略）；

没有考虑球速。

比赛中的真实概率数据：

最佳对策定义：

Ui（Si^,S-i）>

=Ui（Si`.S-i） 

或者 

Si^=Max 

Ui（Si,S-i）

Si^表示对手策略S-i的最佳对策。

Si`表示Playi的其它对策。

第四节、

例 

合伙人博弈：

2个股东都持有公司50%股份；

两者平分利润；

每个股东要选择为公司投入多少时间，用工作小时数代表双方策略Si=（0,4）[0~4是连续的数，而非只能选整数]，双方可以在0至4个小时之间选择。

这家公司利润：

4*[S1+S2+b*S1*S2] 

（0<

b<

1/4）;

{S1+S2可以表示两个股东工作时间的简单相加对利润的贡献，b*S1*S2可以表示由于两个股东相互协作对利润的贡献；

考虑到了这两个部分，所以这个公式可以很好的反映现实的情况}

所以，U1（s1,s2）=1/2[4*（S1+S2+b*S1*S2）]-S1的平方。

{S1的平方表示股东1的努力成本}

假设S2给定 

对U1（s1,s2）求导数U1（s1,s2）`=2（1+bS2）-2S1 

当U1（s1,s2）`=0时U1（s1,s2）值最大。

所以当S1=bS2+1时，U1（s1,s2）最大。

也就是S1的最佳策略（BR）。

同理S2＝bS1+1是S2的最佳策略。

[BR意为bestresponse]

给定b=1/4 

画出BR的函数图

在0<

S1<

1和2<

4这两个区间里play1没有最佳策略，所以play1不会选择这两个区间，从图上可以看出BR2（S2）只能选择红色一段。

同理BR1（S1）也只能选择红色一段。

将剩下的红色区间放大，并重复上一阶段剔除，如图：

在1<

5/4和3/2<

2这两个区间里play1没有最佳策略，所以play1不会选择这两个区间，从图上可以看出BR2（S2）只能选择红色一段。

不断重复以上过程，最终会得到两直线交叉的那一点：

S1=S2=1/（1-b）

1、在合伙中，个人的努力获得的边际效益不断减少，所以每个人都倾向于少工作；

2、协同程度减少，会使人减少努力。

在这个案例中S1=S2这个点就是著名的纳什均衡点（每个人都采用了各自最佳策略，或者说如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益）。