北师大版数学七年级下册1 两条直线的位置关系教案与反思Word文档格式.docx

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3．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

（二）对顶角、余角、补角

1．

（1）如图所示是一把剪刀的简易图，那么∠1与∠2的位置有什么关系？

它们的大小有什么关系？

能试着说明你的理由吗？

解：

∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2.理由：

因为∠AOB和∠COD都是平角，即∠1＋∠AOD＝180°

，∠2＋∠AOD＝180°

，等式两边同时都减去∠AOD，则∠1＝180°

－∠AOD，∠2＝180°

－∠AOD，即∠1＝∠2.

归纳总结：

在上图中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫对顶角．对顶角相等．

（2）在图中，∠1和∠AOD有什么数量关系？

∠1＋∠AOD＝180°

.

如果两个角的和是180°

，那么称这两个角互为补角.

类似地，如果两个角的和是90°

，那么称这两个角互为余角.

注意：

互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关．

2．下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是（　C　）

3．∠A与∠B互余，如果∠A＝36°

，那么∠B的度数为54度．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】

（教材P39“做一做”）如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2.

图1

将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°

，∠1＝∠2.在图2中：

图2

（1）哪些角互为补角？

哪些角互为余角？

（2）∠3与∠4有什么关系？

为什么？

（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？

【互动探索】

（引发学生思考）根据对顶角、余角、补角的定义分析解题．

【解答】

（1）互为补角的有：

∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠1与∠BOD，∠2与∠AOC，∠DN与∠CON.互为余角的有：

∠1与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4，∠2与∠3.

（2）∠3与∠4相等．理由：

因为∠3＝90°

－∠1，∠4＝90°

－∠2，

且∠1＝∠2，

所以∠3＝∠4.

（3）∠AOC＝∠BOD．理由：

因为∠AOC＝180°

－∠1，∠BOD＝180°

－∠2，且∠2＝∠1，

所以∠AOC＝∠BOD．

【互动总结】

（学生总结，老师点评）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角等．

【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°

，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．

（引发学生思考）根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．

【解答】由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°

因为O平分∠COE，

所以COE＝2∠AOC＝84°

由邻补角的性质，得∠DOE＝180°

－∠COE＝180°

－84°

＝96°

（学生总结，老师点评）解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图所示，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOD＝160°

，则∠BOC的大小为（　D）

A．20°

　B．60°

C．70°

　D．160°

2．如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2和∠4.

3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°

（1）若∠AOC＝36°

，求∠BOE的度数；

（2）若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．

（1）∠BOE＝180°

－∠AOC－∠COE＝180°

－36°

－90°

＝54°

（2）因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°

，所以∠BOD＝30°

.因为∠BOD＝∠AOC，所以∠AOC＝30°

，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°

＋30°

＝120°

4．若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数．

设这个角是x°

，则它的补角是（180°

－x°

），余角是（90°

）．根据题意，得180°

＝4（90°

），解得x＝60.所以这个角的度数是60°

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】我们知道：

两直线交于一点，对顶角有2对；

三条直线交于一点，对顶角有6对；

四条直线交于一点，对顶角有12对……

图1图2

图3

（1）10条直线交于一点，对顶角有________对；

（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有________对．

（1）如图1，两条直线交于一点，图中共有

＝2（对）对顶角；

如图2，三条直线交于一点，图中共有

＝6（对）对顶角；

如图3，四条直线交于一点，图中共有

＝12（对）对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有

＝90（对）；

（2）由

（1）得n（n≥2）条直线交于一点，对顶角的对数为

＝n（n－1）．

【答案】

（1）90　

（2）n（n－1）

（学生总结，老师点评）解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，发现数据的变化特征．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．对顶角相等．

2．如果两个角的和是180°

，那么称这两个角互为补角；

如果两个角的和是90°

，那么称这两个角互为余角．

3．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　垂　线

1．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直．

2．会画垂线，并在操作活动中探索、掌握垂线的性质．从实际中感知“垂线段最短”，并能运用到生活中解决实际问题．

会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质．

从生活实际中感知“垂线段最短”．

阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．

（一）垂线

1．观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？

它们有什么特殊的位置关系？

略

2．垂直的概念：

两条直线相交成四个角，如果有一个角是90°

，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

3．垂直的表示：

如图1，如果用AB、CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；

如图2，如果用l、m表示两条互相垂直的直线，可以记作l⊥m，其中点O是垂足．

（二）垂线段最短

1．

（1）如图1，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？

如果点A在直线l外呢？

（2）如图2，点P是直线l外一点，PO⊥l，O是垂足，A、B、C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？

（1）无论点A在直线l上，还是直线l外，过点A均只能画1条l的垂线．　

（2）PO最短．

①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各个点连结的所有线段中，垂线段最短．

2．如图，过点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.

（1）如图1，过点P画AB的垂线；

（2）如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；

（3）如图3，过点A画BC的垂线．

（引发学生思考）理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．

【解答】如图所示．

图1图2图3

（学生总结，老师点评）垂线的画法需要三步完成：

一落：

让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；

二移：

沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；

三画：

沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．

（二）垂线段

【例2】如图是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．

（引发学生思考）根据垂线的性质可解，即过点C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．

【解答】如图所示，过点C作AB的垂线段，垂足为E.沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．

（学生总结，老师点评）在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．

1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为C，若∠1＝50°

，则∠2的度数为（　A　）

A．40°

　B．50°

C．60°

　D．140°

2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　C　）

A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短

C．垂线段最短D．两点确定一条直线

3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（　A　）

A．2　B．3　

C．4　D．5

4．如图，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．

【例3】根据要求画图，并回答问题．

如图，直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB．

（1）过点O画直线MN⊥CD；

（2）若点F是

（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°

，求∠EOF的度数．

（1）根据题意画出直线MN即可；

（2）当点F在射线OM上时，根据垂直定义及同角的余角相等求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；

当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．

（1）如图所示．

（2）①当F在射线OM上时．

因为EO⊥AB，MN⊥CD，

所以∠EOB＝∠MOD＝90°

，

所以∠MOE＋∠EOD＝90°

，∠EOD＋∠BOD＝90°

所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°

②当F在射线ON上时，如图点F′.

因为MN⊥CD，

所以∠MOC＝90°

＝∠AOC＋∠AOM，

所以∠AOM＝90°

－∠AOC＝55°

所以∠BON＝∠AOM＝55°

所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°

＋55°

＝145°

即∠EOF的度数是35°

或145°

（学生总结，老师点评）本题考查了垂线的作法，角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．

垂线

【素材积累】

人生路上从来都不是一马平川，几时起几时落，浮浮沉沉，几时哭几时笑，悲悲喜喜，自信时我们相信自已的直觉，失意时，总是把感觉当成是错觉，而这些错觉会让人掉进一些人生漩涡，如果不看透，可能会危害你的人生。