第3章现值的计算Word下载.docx
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NPV=C0+PV=C0+
3．1．2．为什么随着期限的增加，贴现因子递减
——对生钱机器的一点题外话
如果明天的一美元没有今天的一美元值钱，人们自然会想到后天的一美元将更不值钱。
换句话说，贴现因子DF2应该小于贴现因子DF1。
但如果不同时期的利率rt不同，此结论仍然一定成立吗？
假设r1为20%，而r2为7%，那么
DF1=
=0.83
DF2=
=0.87
后天收到的一元钱并显然不一定比明天得到的一元钱更不值钱。
然而上面的例子并不正确，否则谁要能按照这样的利率借进贷出，那他就能在一夜之间腰缠万贯了。
让我们看看这里的“生钱机器”是怎样工作的。
假设赫迈奥纳·
克拉芙特女士第一个洞察到其中的发财机会，她首先将1000美元放贷一年，获得20%的利息。
虽然这是一笔足以诱人心动的收益，但克拉芙特女士却找到了即刻获利的途径，于是她又再次投入交易。
事实上，她想到的是：
一年内她得到1200美元后，还可进行再投资。
虽然她不知道一年后的利率情况，但有一点却很清楚：
她到第二年末肯定能有1200美元，因为到时候她至少可以让资金保留在支票帐户上。
因此，下一步她要做的就是赶往银行，借入这1200美元资金的现值。
按照7%的利率，现值就是
=1048美元
这样，克拉芙特女士投资1000美元，借款1048美元，就可立即怀揣48美元的利润打道回府了。
如果这还不够刺激，想一想这样的操作还可立刻继续下去，这一次是从1048美元的投资开始。
事实上，只要147次交易，克拉芙特女士就将成为一位（税前）百万富豪。
当然，上面的故事纯属虚构，真实的资本市场中这样的机会不会长久。
任何一家银行，如果允许一年期存款利率为20%，两年期贷款利率却只要7%，那么，无论是期盼腰缠万贯的中小投资者，还是奔向亿万富豪的百万富翁就都会蜂拥而至，结果银行将只能很快破产关门。
不过，我们却可以从这个故事中吸取两点教训。
首先，明天的一美元价值决不能低于后天的一美元，换句话说，一年末得到的一美元的价值（CF1）一定要高于两年末得到的一美元的价值（CF2）。
与借出一个时段相比，资金借出两个时段必须要有一些额外的补偿:
（1+r2）2必须大于1+r１。
其次，我们领会到一条广泛达成的共识，这就是下面的总结性格言：
“没有生钱的机器”。
在一个规范有效的资本市场上，任何潜在的生钱机器都会消失于投资人的投机取巧，几乎是稍现即逝。
因此，我们要时刻警惕那些自诩为专家的高才，当心他们推销的“肯定赚钱”的投资机会。
稍后，在没有生钱机器的假设下，本书将证实几个证券定价的有用结论。
也就是说，我们将采取这样的论述方式，即“证券X与Y的定价应当满足如下关系——否则资本市场中将有生钱机器存在，市场不会处于均衡状态。
”
没有生钱机器并不表明未来不同时刻的利率完全相同，现金流的利率与到期日之间的关系就是所谓的利率的期限结构（termstructureofinterestrate）。
对利率期限结构的考察，我们留到第23章进行，现在还是简化这一问题，假设期限结构是“平坦的”——也就是说，无论现金流产生于何时，利率都是相同的。
这意味着我们可以将利率序列r1，r2，……，rt，等等，统统换作一种利率r，从而将现值公式简化为
3．1．3．减少劳苦的现值表
到目前为止，我们的例子都相当容易，可以手算解决。
真实的问题往往要复杂得多，需要利用特别设有现值计算程序的电子计算器，带有电子表格程序的个人微机，或者现值表来计算。
下面举一个较为复杂的例子来解释怎样使用现值表。
对你的写字楼工程（第2章开篇所述），你得到一些不利的消息。
建筑商告诉你楼房建成需要两年而非一年，随着时间的推移，还要有如下开支：
（1）当前投资100000美元（注意，价值50000美元的土地亦需现在投入）；
（2）一年后100000美元的建设费用；
（3）第二年年末，楼房交付使用时100000美元的最终付款。
此外，虽然有些耽搁，但你的房地产顾问依然坚持完工后的楼盘价值仍为400000美元。
上面的情况带来了新的现金预算：
时间
t=0
t=1
t=2
土地
–50000
建设费
–100000
收入
+400000
合计
C0=–150000
C1=–100000
C2=+300000
如果利率为7%，则净现值为
NPV=C0+
=–150000–
+
表3-1展示了计算净现值的过程。
贴现因子可以在书末的附表1中查到，找到以7%打头的列，前两行的数值顶上的为0.935，第二个为0.873。
这样，你就不用去计算1/1.07和1/（1.07）2，只要从现值表中选取需要的数据。
（注意：
7%列中的其他行给出了直到30年的贴现因子，表中的其他列则涵盖了从1%到30%的贴现率。
）
幸运的是，你的写字楼工程还不太糟糕，建筑商同意付款可以延期，这意味着建筑费用的现值低于前面的估计，一定程度上抵销了收入的延期。
表3-1显示，项目的净现值为18400美元——与第二章中估算的23800美元相比降得不多。
由于净现值大于零，你还是应将项目进行下去。
表3-1现值工作表
贴现因子
现金流
现值
1.0
–150,000
1
=0.935
–100,000
–93,500
2
=0.873
+300,000
+261,900
—————
总计=NPV=18,400
3．2．经验公式——永久年金与年金
有时候，虽然资产产生收入的期限不同，但其现值还是可以通过快捷方式非常容易地计算出来。
下面我们来看一些例子。
英国政府发行过许多证券，其中一类是所谓的永久年金（perpetuities），对这类证券，政府没有偿付本金的义务，只是每年都要支付一笔固定的报酬，永无终结。
永久年金的收益率等于其承诺的年支付额除以其现值:
收益率=现金流/现值
r=
显然，给定贴现率r和现金报酬C，将上式变形，我们就能得到永久年金的现值。
例如，某个可敬的绅士打算捐款赞助某商学院一个财务职位，如果他想在10%的利率条件下今后每年都能提供100000美元，那么他现在需要划拔的资金应为
永久年金的现值=
=1000000美元
3．2．1．增长型永久年金的现值
现在，假设我们的捐款人突然想到他的资助忽略了薪金的增长，薪金可能平均年增长4%，那么，捐款人不再是提供每年100000美元的永久年金，而是要在第一年捐款100000美元，第二年捐款1.04´
100000美元，……。
如果用g来表示薪金的增长率，则相应的现金流序列的现值就可计算如下：
幸运的是，对此几何级数求和，我们也有一个简单的公式。
假设r大于g，上面繁琐的计算公式就可简化为
增长型永久年金的现值=
因此，如果我们的捐款人打算每年提供的善款都能跟上薪金增长的节奏，那么现在他必须划出的资金数额就是
=1666667美元
3．2．2．年金的价值
年金（annuity）是在一定年份里，每年支付等额款项的资产，常见的年金有等额还款的房屋抵押贷款和分期付款的消费信贷等等。
年金价值的计算有一种简单的技巧，如图3-1所示。
图中第一行表现的是从第1年年末开始支付现金C的永久年金的价值，其现值为
资产
付款年份
永久年金（第1年末开始付款）
12……tt+1……
永久年金（第t+1年末开始付款）
（
第1年到第t年付款的年金
-（
图3.1从第1年到第t年产生现金流的年金等同于两种永久年金价值的差额。
第二行表现的是从第t+1年年末开始支付现金C的又一种永久年金，它在第t年年末的现值将为C/r，从而其现值为
从第t+1年开始，两种年金都产生现金流，它们之间的唯一差别就在于第一种年金从第1年到第t年也在生成现金流，也就是说，两种永久年金的差别就在于支付t年，每年支付额为C的年金。
因此，这种年金的价值应为两种永久年金价值的差额
年金的现值=C[
-
]
其中括号里表达的是所谓的年金因子（annuityfactor），它是每个时间间隔的期末支付1美元、支付t个时间间隔的年金以贴现率r贴现后的现值。
举例来说，如果上面说到的捐款人开始变得犹豫不决，想知道只捐款20年、每年捐出100000美元职位资助款时的成本，那么根据我们的公式不难求得
PV=100000[
-0.1
]=100000´
8514=851400美元
当然，我们也可以直接翻到书末的附录部分，通过查表（附表3）作答，表中给出了在t个时间间隔里，每期收入1美元的现值。
对我们的例子，t=20，利率r=0.10，因此我们可在10%所在列里由上往下找到第二十个数字，得到8.514，将8.514乘以100000美元，就得到我们所要的答案：
851400美元。
读者应该牢记，年金公式中第一笔资金发生在第一期的期末。
如果第一笔资金即刻偿付，对每一笔资金的贴现年份就应减少一年，这样现金就将增加（1+r）倍。
譬如，如果我们的捐款人计划的20年捐资立即开始，这笔资金的价值就将为851400美元´
1.10=936540美元。
即期支付的年金称做即期年金（annuitydue）。
我们应该时刻留心，注意利用这些公式来简化问题的求解。
例如，我们有时需要计算在年利率固定的情况下，每年得到一定收入，到t年末的累计终值。
此时，最简便的方法是先计算现值，再乘上（1+r）t就得到了终值。
因此，如果我们的捐款人想弄明白要是不把100000美元送给一无是处的学究，而是每年都进行投资，结果将有多大的财富，那么答案就是
终值=PV´
1.1020=851400´
6.727=573万美元
我们怎么知道1.1020等于6.727呢？
这也容易，查查书末的附表2：
“t期单位美元终值表”，答案也就出来了。
3．3．复利与现值
复利（compoundinterest）和单利（singleinterest）之间有着重要的区别，如果资金以复利投资，每期利息都将视作重新投资，在以后各期就将产生更多的利息，但如果投资仅以单利计息，利息就丧失了生息的权利。
表3.2比较了100美元分别以复利和单利的方式投资时的结果。
注意在单利的情况下，只有100美元的初始投资获得利息报酬，此时投资每年仅带来10美元的财富增长。
但在复利的情况下，第1年的初始投资获得10%的收益，年末得到的账面金额将是100´
1.10=110美元；
第2年这110美元将有10%的收益，从而第2年末的账面金额将是100´
1.102=121美元。
表3.2告诉我们，单利和复利计息，投资1期并无差异，投资2期差别不大，但投资20年或更多年份可就天壤地别了。
美国革命时期进行100美元的投资，如果以年复利10%计息，现在的价值就将超过1500亿美元，你是否盼望你的祖先能有这样的高瞻远瞩呢？
表3.2单利、复利计息时100美元投资的价值比较表
年份
单利
复利
初始金额
+利息=
期末金额
+利息=
100
+10=
110
110
120
+11=
121
3
130
+12.1=
133.1
4
140
+13.3=
146.4
10
190
200
236
+24=
259
20
290
300
612
+61=
673
50
590
600
10672
+1067=
11739
1090
1100
1252783
+125278=
l378061
2090
2100
17264116042
+l726411604=
18990527646
215
2240
2250
72116497132
+2116497l3=
79328146845
图3.2中上端的两条曲线比较了以10%的单利和以10%的复利投资100美元时的结果。
乍一看来，单利计息时资金的增长率保持不变，而复利时则是加速增长，但这只是视觉上的错误。
我们知道，复利计息时，我们的财富将稳定增长10%。
事实上，图3.3更为有用，其中数据以近对数的尺度标在图上，不变的复利增长率就表现为一条直线。
（P44）
美元
复利方式增长
（10%）
单利方式增长
以10%利率贴现
未来时间（年）
图3.2复利与单利比较图。
上端的两条上升曲线表现出100美元投资以单利和复利计息时的增长情况。
资金投资的时间越长，复利计息的好处越是明显。
最下端的曲线表明要想在10年后获得100美元，现在需要投资38.55美元。
反过来说，10年后100美元收入的现值是38.55美元。
财务问题通常是复利而非单利，因此，与财务人员交谈，除非特别声明，他们总会认为你是在说复利。
贴现是以复利进行的。
有些人觉得将问题“如果资金的机会成本为10%，10年后100美元收入的现值是多少？
”换为“利率为10%时，要想在10年后获得100美元，我现在需要投资多少？
”，直觉上很有帮助。
第一个问题的答案就是
=38.55美元
而对第二个问题的回答则是
投资额´
（1.10）10=100美元
投资额=
图3.2和3.3中最下端的曲线描绘了由初始投资38.55美元向其终值100美元的增长轨迹。
我们可以将贴现看作由终值到现值，沿图中底线的回归。
（P45）
美元（对数尺度）
图3.3除纵座标的尺度改为对数外，表现的情况与图3.2完全相同。
恒定的复利增长率意味着一条上升的直线。
此图告诉我们以单利计息投资，资金的增长率随着时间的推延，实际上是在下降。
关于复利间隔期的一点注记
到目前为止，我们有一个潜在假设，就是现金流都是发生在每年年末。
生活中有时确会这样，譬如，法国和德国的大多数公司的债券都是每年付息一次，但美国和英国更多的是半年付息一次。
在这些国家，投资者的第一次利息就能获得额外的6个月期的利息，结果，利率10%半年复利一次的100美元债券投资，6个月后将变成105美元，到年底就是1.05´
100=110.25美元。
换句话说，利率10%半年复利一次等同于年复利利率10.25%。
更一般地，利率r年复利m次的1美元投资到年末将变为[1+（r/m）]m，等同于年复利利率为[1+（r/m）]m-1。
20世纪60年代到70年代，储蓄贷款协会一直注意增加利息支付频率对投资者的吸引力，传统上，其存款利率是年复利利率。
政府过去常常限定可以对存户支付的最高年利率，但却不谈论复利间隔期。
当利率上限开始成为累赘时，储蓄贷款协会逐步实行半年复利，进而每月复利，这样，其等价的年复利利率先是上升至[1+（r/2）]2-1，后升到[1+（r/12）]12-1。
渐渐地，有公司推出连续复利利率（continuouslycompoundinterest），即将利息的支付想成是全年等额连续地进行。
就我们的公式而言，这就等同于让参量m趋向无穷。
看起来这会大大增加储蓄贷款协会的计算工作量。
其实不然，有人幸运地记起高中代数的内容，立即指出m趋向无穷时，[1+（r/m）]m趋向于（2.718）r，其中数值2.718——或所谓的e，就是自然对数的基底。
因此，以利率r连续复利，1美元的投资本利和累加起来到1年末就是er=（2.718）r，t年末就将增长到ert=（2.718）rt，书末附表4给出了ert的数值表。
下面我们来试着用用它。
例1：
假设你出资1美元，以11%（r=0.11）的利率连续复利投资1年（t=1），则1年末的价值为e0.11，你可以在附表4的第2行中查到其量值为1.116美元。
换句话说，以11%的利率连续复利投资恰好就是以11.6%的利率年复利投资。
例2：
假设你出资1美元，以11%（r=0.11）的利率连续复利投资2年（t=2），则投资的终值为ert=e0.22，你可以在附表4的第3行中查到e0.22的量值为1.246美元。
资本预算中，常常会遇到将一年之中的现金流看作等额发生而非年末发生更为合理，此时连续复利有着特别的价值。
不难利用前面的公式来处理这样的问题。
譬如，假设我们想要算出每年付款C的永久年金的现值，我们已经知道，如果是在年末付款，则现值是将付款额除以年复利利率r:
如果同样的付款额是全年等额支付，我们用的公式形式依然不变，但公式中的利率换成了连续复利利率。
例3：
假设年复利利率为18.5%，年末获得现金流100美元的永久年金的现值就是100/0.185=540.54美元。
如果现金流是连续收取，现值的计算就应当将100美元除以17%，因为17%连续复利与18.5%的年复利相同（e0.17=1.185）。
连续现金流的现值为100/0.17=588.24美元。
对任何其他的连续支付，我们总能利用我们计算年金价值的公式。
譬如，前面的慈善家考虑得更为周到，决定向一位年长的学究提供一套住房，为此，他必须每年支付100000美元，即刻开始付款，且在今后20年时刻等额付款。
前面我们采用的是年复利利率10%，现在我们就要用连续复利，利率为r=9.53%（e0.0953=1.10）。
为保证这笔开销，我们的慈善家需要划拔的资金额为：
PV=C（
-
´
=100000（
）=100000´
8.932=893200美元
当然，我们也可以利用附表5来简化上面的计算过程。
附表5告诉我们如果年复利的收益为10%，那么时刻付款1美元达20年的现值为8.932美元。
如果我们回头看看前面对年金的讨论，我们就会看到今后20年每年年末付款100000美元的现值为851406美元，因此，付款采用连续方式，这位慈善家需多花41800美元，较过去的付法多出5%。
财务管理中我们对现值常常只需毛估估，现值估计出现5%的偏差还是完全可以接受的。
从这个意义上说，我们假设现金流发生在期末还是期初，连续发生还是离散发生，通常都关系不大。
但对于有些精细的问题，我们倒确实需要关注资金流发生的精确步调。
3．4．名义利率与实际利率
如果你投资1000美元，在银行以10%的利率存款，银行对你的承诺是年底向你支付1100美元，但它对这1100美元能买卖多少东西却无半点承诺，这就要看当年的通货膨胀水平。
如果商品和服务的价格上升超过10%，从商品购买力的角度来看，你可就损失到家了。
反映一般物价水平的经济指标有不少，最知名的当属消费品物价指数（ConsumerPriceIndex），或CPI。
CPI度量普通家庭支出的货币水平，本年度到下一年度CPI的变化反映了通货膨胀水平。
图3.4显示1926年以来美国的通货膨胀率的变动情况。
经济大萧条时期，事实上发生的是滞涨（deflation），商品的平均价格在下降。
二战以后通货膨胀巅峰时比率高达18%，不过，这与1993年南斯拉夫的通货膨胀水平相比，可就微不足道，南斯拉夫当时最高的通货膨胀率几乎是每天60%。
经济学家有时会谈论当期货币（currentdollars）或名义货币（nominaldollars）与不变货币（constantdollars）或真实货币（realdollars）。
譬如说，你的1年期存款将给你带来1100美元的名义现金流，但如果商品价格当年上涨6%，那么每元钱明年将只能比今天少买6%的商品。
因此年末
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