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,如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。

由于O2、O1为定点，故P必为一个定点。

潘存云教授,渐开线,2.齿廓曲线的选择,理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线（仅用于钟表）和变态摆线。

（摆线针轮减速器），近年来提出了圆弧和抛物线。

渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。

本章只研究渐开线齿轮。

摆线,变态摆线,圆弧,抛物线,渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。

潘存云教授,93渐开线的形成及其特性,1、渐开线的形成和特性,条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹,2、渐开线的特性,渐开线上任意点的法线切于基圆,切点B点为曲率中心，BK为曲率半径。

渐开线起始点A处曲率半径为0,BK发生线，,发生线,基圆rb,kAK段的展角,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,渐开线形状取决于基圆,基圆内无渐开线。

当rb，变成直线。

离中心越远，渐开线上的压力角越大。

定义：

啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角k。

coskrb/rk,顺口溜：

弧长等于发生线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。

潘存云教授,为使用方便，已制成函数表待查。

3、渐开线函数,tgk=BK/rb,k=tgk-k,上式称为渐开线函数，用invk表示：

kinvk,4、渐开线方程（极坐标方程）,=rb（k+k）/rb,tgk-k,kinvk,tgk-k,rk=rb/cosk,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,要使两齿轮作定传动比传动，则两轮的齿廓无论在任何位置接触，过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点。

两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。

i12=1/2=O2P/O1P=const,工程意义：

i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。

两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点。

在位置K时同样有此结论。

1.渐开线齿廓满足定传动比要求,94渐开线齿廓的啮合特性,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,2.齿廓间正压力方向不变,N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线,由渐开线的性质可知：

啮合线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。

该特性对传动的平稳性有利。

啮合线与节圆公切线之间的夹角，称为啮合角,实际上就是节圆上的压力角,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,3.运动可分性,O1N1PO2N2P,由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。

实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。

故传动比又可写成：

i12=1/2=O2P/O1P,=rb2/rb1,基圆半径之反比。

基圆半径是定值,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,一、外齿轮,1.名称与符号,齿顶圆da、ra,齿根圆df、rf,齿厚sk任意圆上的弧长,齿槽宽ek弧长,齿距（周节）pk=sk+ek同侧齿廓弧长,齿顶高ha,齿根高hf,齿全高h=ha+hf,齿宽B,分度圆人为规定的计算基准圆,表示符号：

d、r、s、e，p=s+e,法向齿距（周节）pn,=pb,95渐开线齿轮各部分的名称和尺寸,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,2.基本参数,模数m,齿数z,出现无理数,不方便为了计算、制造和检验的方便,分度圆周长：

d=zp,称为模数m。

模数的单位：

mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。

齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。

于是有：

d=mz，r=mz/2,人为规定：

m=p/只能取某些简单值，,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,0.350.70.91.752.252.75（3.25）3.5（3.75）第二系列4.55.5（6.5）79（11）14182228（30）3645,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,分度圆压力角,得:

iarccos（rb/ri）,由rbricosi,定义分度圆压力角为齿轮的压力角：

对于同一条渐开线：

ri,i,b0,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,由d=mz知：

m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。

规定标准值：

20,由dbdcos可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。

称m、z、为渐开线齿轮的三个基本参数。

对于分度圆大小相同的齿轮，如果不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。

是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。

或rbrcos，,arccos（rb/r）,dbdcos,某些场合采用14.5、15、22.5、25如航空齿轮。

潘存云教授,齿轮各部分尺寸的计算公式：

齿顶高：

ha=ha*m,齿根高：

hf=（ha*+c*）m,全齿高：

h=ha+hf,齿顶圆直径：

da=d+2ha,齿顶高系数:

ha*,齿根圆直径：

df=d-2hf,顶隙系数:

c*,分度圆直径：

d=mz,=（2ha*+c*）m,=（z+2ha*）m,=（z-2ha*-2c*）m,正常齿：

ha*1短齿制：

ha*0.8,正常齿：

c*0.25短齿制：

c*0.3,（顶隙c=c*m）,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,基圆直径：

法向齿距：

标准齿轮的含义：

一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了。

=mzcos,=db/z,=mcos,=pcos,统一用pb表示,m、取标准值，ha*、c*取标准值，且e=s的齿轮,db=dcos,pn=pb,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,二、齿条,特点：

齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1）压力角处处相等，且等于齿形角，,2）齿距处处相等:

p=m,其它参数的计算与外齿轮相同,如：

s=m/2e=m/2,z的特例。

齿廓曲线（渐开线）直线,ha=ha*mhf=（ha*+c*）m,pn=pcos,为常数。

潘存云教授,1）轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。

2）dfdda,三、内齿轮,3）为保证齿廓全部为渐开线，,，dad-2ha,dfd+2hf,结构特点：

轮齿分布在空心圆柱体内表面上。

不同点：

要求dadb。

潘存云教授,96渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚,设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。

一般表达式：

si=CC=ri,=BOB-2BOC,Si=ri,其中：

i=arccos（rb/ri）,顶圆齿厚：

Sa=（sra/r）-2ra（inva-inv）,节圆齿厚：

S=（sr/r）-2r（inv-inv）,基圆齿厚：

Sb=（srb/r）+2rbinv,=cos（s+mzinv）,=scos+2rcosinv,=（sri/r）-2ri（invi-inv）（9-7）,=（s/r）,=（s/r）-2（,-2（i-）,invi,-inv）,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,pb1pb2,pb1pb2,pb1=pb2,不能正确啮合!

不能正确啮合!

能正确啮合!

一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。

渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？

m1m2,从外观看齿1比齿2小,m1m2,外观齿1比齿2大,97渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：

1.正确啮合条件,pb1=pb2,将pb=mcos代入得：

m1cos1=m2cos2,因m和都取标准值，使上式成立的条件为：

m1=m2，1=2,结论：

一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。

潘存云教授,对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：

1）理论上齿侧间隙为零,2）顶隙c为标准值。

储油用,此时有：

a=ra1+c+rf2,=r1+ha*m,=r1+r2,为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。

s1-e2=0,c=c*m,+c*m,+r2-（ha*m+c*m）,=m（z1+z2）/2,2.中心距a及啮合角,

（1）中心距a及啮合角,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,重要结论：

acos=acos,作者：

潘存云教授,因此有：

=,两轮节圆总相切：

a=r1+r2,=r1+r2,两轮的传动比：

i12=r2/r1,r1=r1r2=r2,=r2/r1,非标准装时，两分度圆将分离，此时有：

aa,rr,标准安装时节圆与分度圆重合。

N1N2线与VP之间的夹角，称为啮合角，即节圆压力角。

基圆不变：

rb1rb2=（r1+r2）cos,且：

rb1rb2=acos,=acos,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,节线与分度线不重合,作者：

潘存云教授,特别注意：

分度圆和压力角是单个齿轮就有的；

节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。

（2）齿轮齿条传动,标准安装：

N1N2线与齿廓垂直，且与基圆相切，故节点位置不变，有：

无穷远,r1=r1,r1=r1，节线与分度线重合;

非标准安装：

潘存云教授,3.一对轮齿的啮合过程,轮齿在从动轮顶圆与N1N2线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。

随着传动的进行，啮合点沿N1N2线移动。

在主动轮顶圆与N1N2线交点处B1脱离啮合。

主动轮：

啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。

B1B2实际啮合线,N1N2：

因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段-,N1、N2啮合极限点,阴影线部分齿廓的实际工作段。

理论啮合线段,B1-终止啮合点,B2-起始啮合点,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,4.连续传动条件,为保证连续传动，要求：

实际啮合线段B1B2pb（齿轮的法向齿距），,定义:

=B1B2/pb为一对齿轮的重合度,一对齿轮的连续传动条件是：

为保证可靠工作，工程上要求：

即：

B1B2/pb1,1,采用标准齿轮，总是有：

1故不必验算。

潘存云教授,重合度计算公式：

=B1B2/pb,（PB1+PB2）,=z1（tga1-tg）+z2（tga2-tg）/2,其中：

PB1B1N1-PN1,rb1tga1,z1mcos（tga1-tg）/2,PB2B2N2-PN2,rb2tga2,z2mcos（tga2-tg）/2,外啮合传动,-rb1tg,-rb2tg,/mcos,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,齿轮齿条传动：

PB1z1mcos（tga1-tg）/2,PB2h*am/sin,代入得：

=z1（tga1-tg）/2+h*a/cossin,B1B2/pb,（PB1+PB2）,/mcos,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,B1B2/pb,（PB1+PB2）/mcos,=Z1（tga1-tg）-Z2（tga2-tg）/2,PB2PN2-B2N2,rb2tg,-z2mcos（tga2-tg）/2,内啮合传动,PB1B1N1-PN1,a2,z1mcos（tga1-tg）/2同上,的物理意义：

表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。

-rb2tga2,-rb1tg,rb1tga1,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,=1.45,B1B2=Pb=1.45Pb,第一对齿在B2点进入啮合,第一对齿从B2运动到B3点时；

第一对齿从B3运动到B1点时；

第一对齿在B1点脱离啮合后；

只有第二对齿处于啮合状态。

当第二对齿从B4点运动到B3点时；

第三对正好在B2点进入啮合。

开始一个新的循环。

2,单齿啮合区长度：

L1Pb2

（1）Pb,

（2）Pb,双齿啮合区长度：

L22

（1）Pb,2,第二对齿在B2点恰好进入啮合。

第二对齿从B2运动到B4点时。

潘存云教授,98渐开线齿轮的切制,齿轮加工方法,成形法,盘铣刀,指状铣刀,铸造法,热轧法,冲压法,模锻法,粉末冶金法,切制法最常用,铣削,拉削,1.成形法铣削,范成法（展成法共轭法包络法）,插齿,滚齿,剃齿,磨齿,一、齿轮加工方法,二、齿廓切制的基本原理,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,指状铣刀加工,盘铣刀加工,铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。

适用于加工大模数m20的齿轮和人字齿轮。

潘存云教授,成形法加工的特点：

产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。

适于单件生产。

由db=mzcos可知，渐开线形状随齿数变化。

要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。

这在工程上是不现实的。

潘存云教授,齿轮插刀加工,i=0/=z/z0,2.范成法,2.1齿轮插刀,共轭齿廓互为包络线,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,Vrmz/2,2.2齿条插刀,插齿加工过程为断续切削，生产效率低。

齿条插刀加工时齿廓包络过程,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,滚刀,Vrmz/2,滚刀轴剖面相当于齿条,相当于齿轮齿条啮合传动,2.3齿轮滚刀,被加工齿轮,为什么滚刀要倾斜一个角度呢？

潘存云教授,设计：

潘存云,范成法加工的特点：

一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。

潘存云教授,三、用标准齿条型刀具加工标准齿轮,标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。

非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。

GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。

1.标准齿条型刀具,2.用标准齿条型刀具加工标准齿轮,加工标准齿轮：

刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。

加工结果：

sem/2,ha=h*am,hf=（h*a+c*）m,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,1.根切现象,图示现象称为轮齿的根切。

根切的后果：

削弱轮齿的抗弯强度；

2.根切的原因,使重合度下降。

四、渐开线齿廓的根切,PB2PN1不根切,刀具在位置1开始切削齿间；

在位置2开始切削渐开线齿廓；

在位置3切削完全部齿廓；

当B2落在N1点的下方：

PB2PN1,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,PB2=PN1不根切,刀具在位置1开始切削齿间；

当B2落在N1点之上：

PB2=PN1,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,结论：

刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点N1的右上方，必发生根切。

根切条件为：

PB2PN1,发生根切,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,3.渐开线齿轮不发生根切的最少齿数,极限啮合点N1的位置随基圆大小变动,当N1B2两点重合时，正好不根切。

不根切的条件：

在PN1O1中有：

在PB2B中有：

代入求得：

z2ha*/sin2,取=20,ha*=1，得:

zmin=17,即：

zmin2ha*/sin2,PN1PB2,=mzsin/2,PN1=rsin,PB2=ha*m/sin,不根切,刚好不根切,根切,齿条型刀具比齿轮型刀具更容易发生根切。

凡齿条刀不根切，则齿轮刀肯定不会发生根切，故只讨论齿条型刀具。

潘存云教授,标准齿轮的优点：

计算简单、互换性好。

当zzmin时，产生根切。

但实际生产中经常要用到zzmin的齿轮。

不适合aa的场合。

aa时，产生过大侧隙，且,小齿轮容易坏。

原因：

小，滑动系数大，齿根薄。

希望两者寿命接近。

为改善上述不足，就必须对齿轮进行变位修正。

99变位齿轮概述,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,一、加工齿轮时刀具的移位从避免根切引入,为避免根切，可径向移动刀具xm,x-为移距系数。

-移距,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,二、最小变位系数xmin,当zzmin时，为避免根切，刀具的齿顶线应移到N1或以下的位置：

N1Qha*m-xm,N1QN1Psin,xha*-zsin2/2,由zmin2ha*/sin2有：

得：

xha*（zmin-z）,刀具最小变位系数为：

xmin=ha*（zmin-z）,rsinsin,mzsin2/2,或xmha*m-N1Q,（sin2）/2ha*/zmin,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,1）由于刀具一样，变位齿轮的基本参数m、z、与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。

2）变位齿轮的齿顶高和齿根高与标准齿轮不同,三、变位齿轮的几何尺寸,齿根高：

hf=ha*mc*mxm,顶圆半径：

ra=r+ha=r+（ha*+x）m,齿顶高：

由毛坯大小确定，若保证全齿高不变，则有：

ha=（ha*+x）m,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,3）齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同,齿厚：

s=m/2,正变位：

齿厚变宽，齿槽宽减薄。

刀具节线,变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。

齿槽宽：

e=m/2,+2xmtg,2xmtg,负变位：

正好相反。

采用变位修正法加工变位齿轮，不仅可以避免根切，而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化，因而，可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度，以改善齿轮的传动质量。

且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用。

潘存云教授,910变位齿轮传动,1.正确啮合条件和连续传动条件,与标准齿轮相同，即：

m1=m2,1=2,2.中心距与啮合角,无侧隙啮合时：

s1=e2,故有：

ps1+e1,由任意圆齿厚公式得：

s1=s1r1/r1-2r1（inv-inv）,式中：

s1m（/2+2x1tg）,又ri/ri,=s2+e2,=s1+s2,s2=s2r2/r2-2r2（inv-inv）,，s2=e1,s2m（/2+2x2tg）,（rbi/cos）/（rbi/cos）,cos/cosi=1,2,本节讨论变位齿轮的啮合传动与设计问题,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,代入p=s1+s2得：

上式称无侧隙啮合方程。

分析：

若x1+x20,即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交。

aa,由acos=acos知：

则,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,中心距变动系数,无侧隙啮合时有：

为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙：

c=c*m,则两轮的中心距为：

如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使：

a=a,即：

y=x1+x2,构造函数f（）=x1+x2y则当=时有极小值x1+x2y,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,可以证明：

只要x1+x20,无侧隙和标准顶隙两个要求不能同时得到满足。

解决办法：

将轮齿削顶。

除了x1+x20之外，总有x1+x2y，即0,轮齿总要削顶。

称为齿顶高变动系数,则x1+x2y,，即aa。

潘存云教授,3.变位齿轮传动的类型,标准齿轮传动x1x20,等变位齿轮传动x1-x20,不等变位齿轮传动或角度变位。

零传动x1x20,正传动x1x20,负传动x1x20,变位齿轮传动类型,1.x1+x20，且x1x20,标准齿轮传动（变位齿轮传动的特例）,2.x1+x20，且x1-x20,等变位齿轮传动（高度变位齿轮传动）,有：

a=ay=0=0=r=r,小齿轮采用正变位，x10，大齿轮采用负变位，x20,安徽工程科技学院专用作者：

潘存云教授,两轮不产生根切的条件：

x1ha*（zmin-z1）/zmin,x2ha*（zmin-z2）/zmin,两式相加，设ha*1，则有：

x1+x22zmin-（z1+z2）/zmin,x1+x20,z1+z22zmin,优缺点：

可采用z1zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。

改善小齿轮的磨损情况。

相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。

没有互换性，必须成对使用，略有减小。

潘存云教授,3.x1+x20,不等变位齿轮传动（角度变位齿轮传动）,当x1+x20称正传动，当x1+x20称负传动。

b）负传动时有：

a0rr齿高降低m。

可以采用z1+z22zmin而不根切，结构紧凑。

其余