浙江专版高考数学 仿真卷3.docx

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浙江专版高考数学仿真卷3

（浙江专版）2019年高考数学仿真卷3

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．定义集合A＝{x|f（x）＝}，B＝{y|y＝log2（2x＋2）}，则A∩∁RB＝（　　）

A．（1，＋∞）　　　B．[0,1]

C．[0,1）D．[0,2）

B　[由2x－1≥0得x≥0，即A＝[0，＋∞），由于2x>0，所以2x＋2>2，

所以log2（2x＋2）>1，即B＝（1，＋∞），

所以A∩∁RB＝[0,1]，故选B.]

2．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2＋b2

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[a2＋b2

3．已知复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（　　）

A．2B.

C．－2D．－

D　[＝＝＝－i，由题设可得＋＝0，解得b＝－，故选D.]

4．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是（　　）

图1

A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面间的距离为

B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变

C．与12条棱都相切的球的体积为π

D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任

意一点，则|MN|的最小值是

D　[平面ACB1与平面A1C1D都垂直于BD1，且将BD1三等分，故A正确；由于AB∥平面A1B1C1D1，所以动点P到平面A1B1C1D1的距离是定值，所以四面体PA1B1C1的体积不变，故B正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，为半径的球，所以体积为π，故C正确；对于选项D，设内切球的球心为O，则|MN|≥||OM|－|ON||＝－，当且仅当O，M，N三点共线时取“＝”，而－>－，故D错误．]

5．设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．[1,2]

C．（0,1]D．（1,2）

A　[函数g（x）＝f（x）－m在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y＝f（x）与直线y＝m在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得出0

6．已知F1，F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左，右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|＝a，则双曲线的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

C　[由题意可得点P的坐标为（b，a），又P在双曲线上，

故有－＝1，即＝，所以b2＝ac，

即c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，

解得e＝（负值舍去）．]

7．已知3tan＋tan2＝1，sinβ＝3sin（2α＋β），则tan（α＋β）＝（　　）

A.B．－

C．－D．－3

B　[由3tan＋tan2＝1得＝，

所以tanα＝.①

由sinβ＝3sin（2α＋β）得sin[（α＋β）－α]＝3sin[（α＋β）＋α]，展开并整理得，2sin（α＋β）cosα＝－4cos（α＋β）sinα，

所以tan（α＋β）＝－2tanα，②

由①②得tan（α＋β）＝－.]

8．已知f（x）＝2x2－4x－1，设有n个不同的数xi（i＝1,2，…，n）满足0≤x1

A．10B．8

C．6D．2

A　[由二次函数的性质易得f（x）＝2x2－4x－1在（0,1）上单调递减，在（1,3）上单调递增，且f（0）＝－1，f

（1）＝－3，f（3）＝5，则当x1＝0，xn＝3，且存在xi＝1时，|f（x1）－f（x2）|＋|f（x2）－f（x3）|＋…＋|f（xn－1）－f（xn）|取得最大值，最大值为|f（x1）－f（xi）|＋|f（xi）－f（xn）|＝|－1－（－3）|＋|－3－5|＝10，所以M的最小值为10，故选A.]

9．已知a，b为实常数，{ci}（i∈N*）是公比不为1的等比数列，直线ax＋by＋ci＝0与抛物线y2＝2px（p>0）均相交，所成弦的中点为Mi（xi，yi），则下列说法错误的是（　　）

A．数列{xi}可能是等比数列

B．数列{yi}是常数列

C．数列{xi}可能是等差数列

D．数列{xi＋yi}可能是等比数列

C　[设等比数列{ci}的公比为q.当a＝0，b≠0时，直线by＋ci＝0与抛物线y2＝2px最多有一个交点，不符合题意；当a≠0，b＝0时，直线ax＋ci＝0与抛物线y2＝2px的交点为，则xi＝－，yi＝0，xi＋yi＝－，此时数列{xi}为公比为q的等比数列，数列{yi}为常数列，数列{xi＋yi}为公比为q的等比数列；当a≠0，b≠0时，直线ax＋by＋ci＝0与抛物线y2＝2px的方程联立，结合韦达定理易得xi＝－，yi＝－，此时数列{yi}为常数列．综上所述，A，B，D正确，故选C.]

10．如图2，棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（　　）

图2

A．2（2＋）B．2（＋）

C．2（＋1）D．2（＋1）

B　[由于AC1＝4（定长），因此要求C1到平面α距离的最大值，只需求出AC1与平面α所成角的最大值．设AC1与平面ABCD所成的角为θ，则tanθ＝，因为平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，所以AC1在与平面α所成的角为θ＋30°的平面β内，且AC1与平面α，β的交线垂直时，AC1与平面α所成的角最大，最大值为θ＋30°，所以点C1到平面α的距离的最大值d＝AC1sin（θ＋30°）＝2（＋）．]

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上）

11.6展开式中的常数项为________．

　[设展开式的第（r＋1）项为常数项，即Tr＋1＝

C（）6－r·r＝Crx为常数项，

则6－3r＝0，解得r＝2，

所以常数项为T3＝C2＝.]

12．已知空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．

图3

8π　π　[由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上，下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π·1·2＋4π·12＝8π，体积为π·13＋π·12·2＝π.]

13．若直线x＝是函数f（x）＝sin2x＋acos2x的图象的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是________；函数f（x）的最大值是________．

π　　[由题设可知f（0）＝f，即a＝＋a·，解得a＝，所以f（x）＝sin2x＋cos2x，则易知最小正周期T＝π，f（x）max＝＝.]

14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X的期望为________．

　　[不放回地从6个球中取3个，概率为＝.由题意得有放回的取球3次，取到红球的分布列服从二项分布，且取球一次取到红球的概率为，所以取到红球次数的期望为3×＝.]

15．已知整数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是________，x2＋y2的最小值是________．

24　8　[画出可行域如图中阴影部分所示，易得当x＝8，y＝8时，2x＋y取得最大值，最大值是24.x2＋y2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x＋y－4＝0距离的平方，所以x2＋y2的最小值是8.]

16．已知向量a，b满足|a|＝2，向量b与a－b的夹角为，则a·b的取值范围是________．

2－≤a·b≤2＋　[如图，半径为的圆C中，|OA|＝2，∠OBA＝，设＝a，＝b，则＝a－b,b在上投影的最小值为－，最大值为＋1，

∴2－≤a·b≤2＋.]

17．已知函数f（x）＝x2－x－（x<0），g（x）＝x2＋bx－2（x>0），b∈R.若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为________．

－5＋40），所以f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，当且仅当方程x2＋x－＝x2＋bx－2有两个不同的正根，即（1－b）x2－（b＋1）x＋2＝0有两个不同的正根，

等价于

解得－5＋4

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD，∠DAB＝60°，CD⊥AD，CB⊥AB.

图4

（1）若2|CB|＝|CD|＝2，求△ABC的面积；

（2）若|CB|＋|CD|＝3，求|AC|的最小值．

[解]　

（1）由题意得A，B，C，D四点共圆，

所以∠DCB＝120°，2分

BD2＝BC2＋CD2－2CD·CBcos120°＝7，即BD＝，

∴AC＝＝，故AB＝＝，

S△ABC＝AB·BC＝.7分

（2）设|BC|＝x>0，|CD|＝y>0，则x＋y＝3，

BD2＝x2＋y2＋xy＝（x＋y）2－xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝⇒BD≥，

∴AC＝＝BD≥3，12分

当BC＝CD＝时取到．

所以|AC|的最小值为3.14分

19．（本小题满分15分）如图5，三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1＝60°，AA1＝A1D＝2，BC＝1.

图5

（1）证明：

直线MD∥平面ABC；

（2）求二面角BACA1的余弦值．

[解]　连接A1C，∵A1D⊥CC1，且D为CC1的中点，AA1＝A1D＝2，

∴A1C＝A1C1＝＝AC，

又BC＝1，AB＝BA1＝2，

∴CB⊥BA，CB⊥BA1，

又BA∩BA1＝B，∴CB⊥平面ABB1A1，

取AA1的中点F，则BF⊥AA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直，

以B为原点，BB1，BF，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

∴B1（2,0,0），C（0,0,1），A（－1，，0），A1（1，，0），C1（2,0,1），D（1,0,1），M.5分

（1）证明：

设平面ABC的法向量为m＝（x，y，z），

则m·＝－x＋y＝0，m·＝z＝0，取m＝（，1,0），

∵＝，m·＝－＋0＝0，

∴m⊥，又MD⊄平面ABC，∴直线MD∥平面ABC.9分

（2）设平面ACA1的法向量为n＝（x1，y1，z1），

＝（1，－，1），＝（2,0,0），

n·＝x1－y1＋z1＝0，n·＝2x1＝0，取n＝（0,1，），

又由

（1）知平面ABC的法向量为m＝（，1,0），

设二面角BACA1的平面角为θ，

∵二面角BACA1的平面角为锐角，

∴cosθ＝＝＝，

∴二面角BACA1的余弦值为.15分

20．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln2x－ax2.

（1）若f（x）在（0，＋∞）上的最大值为，求实数a的值；

（2）若a＝3，关于x的方程f（x）＝－x＋b在上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.

[解]　

（1）f′（x）＝－2ax＝，

当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无最大值．

当a>0时，由f′（x）>0得x∈，f（x）在x∈上单调递增；由f′（x）<0得x∈，f（x）在x∈上单调递减．

∴f＝ln2－＝，解得a＝2e－2.7分

（2）由f（x）＝－x＋b知ln2x－3x2＋x－2b＝0，

令φ（x）＝ln2x－3x2＋x－2b，

则φ′（x）＝－6x＋1＝＝.9分

当x∈时，φ′（x）>0，于是φ（x）在x∈上单调递增；

当x∈时，φ′（x）≤0，于是φ（x）在x∈上单调递减．

方程f（x）＝－x＋b在上恰有两个不同的实根，11分

则解得－ln2＋≤b<－.15分

21．（本小题满分15分）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（1,0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得·为定值？

如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．

[解]　

（1）∵e＝⇒a2＝4c2，

又焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切，

根据三角形面积公式得bc＝·⇒b2c2＝（b2＋c2），4分

即（a2－c2）c2＝a2⇒（a2－c2）＝3，

故c2＝1，a2＝4，b2＝3，

∴椭圆方程为＋＝1.6分

（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），

⇒（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，8分

则

若存在定点N（m,0）满足条件，

则有·＝（x1－m）（x2－m）＋y1y2

＝x1x2＋m2－m（x1＋x2）＋k2（x1－1）（x2－1）

＝（1＋k2）x1x2－（m＋k2）（x1＋x2）＋k2＋m2

＝－＋k2＋m2

＝，10分

如果要上式为定值，则必须有＝⇒m＝，12分

验证当直线l斜率不存在时，也符合．

故存在点N满足·＝－.15分

22．（本小题满分15分）已知数列{an}满足a1＝，都有an＋1＝a＋an，n∈N*.

（1）求证：

·n－1≤an≤·n－1，n∈N*；

（2）求证：

当n∈N*时，＋＋＋…＋≥＋＋＋…＋＋6.

[证明]　

（1）∵an＋1an＝a＋a≥0，∴an＋1与an同号．

∵a1>0，∴an>0.2分

∵an＋1－1＝a＋an－1＝（an－1）（a＋an＋3），

又a＋an＋3>0，∴an＋1－1与an－1同号．

∵a1－1<0，∴an<1，4分

∴an＋1－an＝an（a－1）≤0，则0

∴＝a＋∈.6分

当n≥2时，an＝a1···…·≤·n－1，7分

且an＝a1···…·>·n－1，8分

又·0≤a1≤·0，

∴·n－1≤an≤·n－1，n∈N*.9分

（2）∵－＝＝（1＋an），

又an＋1＋1＝（a＋2an＋3）＝（an＋1）（a－an＋3），

∴＝（a－an＋3）≥

＝.11分

当n≥2时，

an＋1＝（a1＋1）···…·≥·n－1，

又a1＋1＝·1－1，∴（an＋1）≥·n－1，12分

∴－

＝[（a1＋1）＋（a2＋1）＋…＋（an＋1）]≥

＝·＝6，

∴＋＋＋…＋≥＋＋＋…＋＋6.

15分