高考浙江数学.docx
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高考浙江数学
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题
卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在
本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件A，B互斥，则P（AB）P（A）P（B）
若事件A，B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概
率Pn（k）Cknpk（1p）nk（k0,1,2,,n）
台体的体积公式V13（S1
S1S2S2）h
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表
示台体的高
柱体的体积公式VSh
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体
的高
锥体的体积公式V13Sh
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体
的高
球的表面积公式
S4R2
球的体积公式
V43R3
其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则ðUA=
1
A．B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，
5}
2．双曲线x2y2=1的焦点坐标是
3
A．（−
2
，0），（
2
，0）
B．（−2，0），（2，0）
C．（0，−
），（0，
）
D．（0，−2），（0，2）
2
2
3．某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是
A．2
B．4
C．6
D．8
4．复数
2
（i为虚数单位）的共轭复数是
1i
A．1+i
B．1−i
C．−1+i
D．−1−i
5．函数y=2|x|sin2x的图象可能是
A．B．
C．D．
2
6．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．设0ξ
0
1
2
P
1p
1
p
2
2
2
则当p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小
B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大
D．D（ξ）先增大后减小
8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），
设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为
θ3，则
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
π
9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足
b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A．
−1
B．
+1
C．2
D．2−
3
3
3
10．已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1a2a3
a4ln（a1a2a3）．若a11，则
A．a1a3,a2a4
B．a1a3,a2a4
C．a1a3,a2a4
D．a1a3,a2a4
非选择题部分（共110分）
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：
“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
”设鸡翁，鸡母，
xyz100,
鸡雏个数分别为x，y，z，则
1
当z81时，x___________，
5x3y
z100,
3
y___________．
xy0,
12
．若x,y满足约束条件2xy6,则zx3y的最小值是___________，最大值是
xy2,
3
___________．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=
7，b=2，A=60°，则sin
B=___________，c=___________．
3
1
8
14．二项式（
x
）的展开式的常数项是___________．
2x
x4,x
，当λ=2时，不等式f（x）<0的解集是___________．若
15．已知λ∈R，函数f（x）=
4x3,x
x2
函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________
个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
x2
17．已知点P（0，1），椭圆
+y2=m（m>1）上两点A，B满足AP=2
PB，则当m=___________
4
时，点B横坐标的绝对值最大．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（53，-54）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
5
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=13，求cosβ的值．
19．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，
∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：
AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
4
20．（本题满分15分）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等
差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
21．（本题满分15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：
y2=4x上存
在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y2=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
4
22．（本题满分15分）已知函数f（x）=
x−lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：
f（x1）+f（x2）>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：
对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
5
2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学·参考答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分40分。
1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.D9.A10.B
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算。
多空题每题6分，单空题每题4分，满分36
分。
11.8；11
12.−2；8
13.
21
;3
14.7
7
15.（1,4）;（1,3]（4,）
16.1260
17.5
三、解答题：
本大题共5小题，共74分。
18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（Ⅰ）由角的终边过点P（53,54）得sin54，所以sin（π）sin54.
（Ⅱ）由角的终边过点P（53,54）得cos53，
由sin（）135得cos（）1213.
由（）得coscos（）cossin（）sin，
所以cos5665或cos1665.
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空
间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
方法一：
（Ⅰ）由AB2,AA14,BB12,AA1AB,BB1AB得AB1A1B12
2，
所以A1B12AB12AA12.
故AB1A1B1.
由BC2，BB12,CC11,BB1BC,CC1BC得B1C1
5，
由ABBC2,ABC120得AC2
3，
6
由CC1AC，得AC1
13，所以AB12B1C12AC12，故AB1B1C1.
因此AB1平面A1B1C1.
（Ⅱ）如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.
由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，
由C1DA1B1得C1D平面ABB1，
所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.学科.网
由B1C1
得cosC1A1B1
6
sinC1A1B1
1
5,A1B122,A1C1
21
，
7
7
所以CD3，故sinCADC1D
39.
11AC113
因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是
1339.
方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
7
由题意知各点坐标如下：
A（0,
3,0）,B（1,0,0）,A1（0,
3,4）,B1（1,0,2）,C1（0,
3,1）,
因此AB1（1,
3,2）,A1B1（1,
3,2）,A1C1（0,2
3,3）,
由AB1A1B10得AB1A1B1.
由AB1A1C10得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.
（Ⅱ）设直线AC1与平面ABB1所成的角为.
由（Ⅰ）可知AC1（0,2
3,1）,AB（1,
3,0）,BB1（0,0,2）,
设平面ABB1的法向量n（x,y,z）.
nAB0,
3y0,
x
由
uuur即
0,
可取n（3,1,0）.
nBB0,
2z
1
uuur
|AC
n|
39
所以sin|cos
AC,n
|
uuur1
.
1
|AC1||n|
13
因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是
1339.
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力
和综合应用能力。
满分15分。
（Ⅰ）由a42是a3,a5的等差中项得a3a52a44，
所以a3a4a53a4428，
8
解得a48.
由a3a520得8（q1q）20，
因为q1，所以q2.
（Ⅱ）设cn
（bn1bn）an，数列{cn}前n项和为Sn.
S,n1,
解得cn4n1.
由cn1
SnSn1,n2.
由（Ⅰ）可知a2n1
，
n
所以b
b（4n1）（
1
）n1
，
n1
n
2
故bnbn1（4n5）（12）n2,n2，
bnb1（bnbn1）（bn1bn2）（b3b2）（b2b1）
（4n5）（12）n2（4n9）（12）n37123.
设Tn371211（12）2（4n5）（12）n2,n2，
12Tn3127（12）2（4n9）（12）n2（4n5）（12）n1
所以12Tn34124（12）24（12）n2（4n5）（12）n1，因此Tn14（4n3）（12）n2,n2，
又b11，所以bn15（4n3）（12）n2.
21．本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考
查运算求解能力和综合应用能力。
满分15分。
（Ⅰ）设P（x0,y0），A（14y12,y1），B（14y22,y2）．
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程
1
2
yy0
y
x0
即y22y0y8x0
y020的两个不同的实数根．
（
）2
4
4
2
2
所以y1y22y0．
9
因此，PM垂直于y轴．
y1y22y0,
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y1y28x0y02,
所以|PM|18（y12y22）x034y023x0，|y1y2|2
2（y024x0）．
3
因此，△PAB的面积S△PAB
1
32
（y02
|PM||y1y2
|
4x0）
2
．
2
4
因为x2
y02
1（x0），所以y02
4x04x02
4x04[4,5]．
0
4
0
因此，△PAB面积的取值范围是[62,15
10]．
4
22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用
能力。
满分15分。
（Ⅰ）函数f（x）的导函数f（x）21x1x，
由f（x1）f（x2）得
1
1
1
1
，
2
2x2
x1
x1
x2
因为x1x2，所以
1x1
1x212．
由基本不等式得12
x1x2
x1
x224
x1x2．
因为x1x2，所以x1x2256．
由题意得f（x）f（x）
lnx
lnx
1
ln（xx）．
x
x
xx
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
设g（x）
1
lnx，
x
2
则g（x）
1
（
4），
x
4x
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
g（x）
-
0
+
g（x）
2-4ln2
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
10
故g（x1x2）g（256）88ln2，
即f（x1）f（x2）88ln2．
（Ⅱ）令m=e（ak），n=（a1）21，则
k
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a
所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，
所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．
由
f（x）=kx+a得k
xlnxa．x
设
h（x）=
xlnxa，x
则
h′（x）=lnx2x1ag（x）1a，
x2x2
其中g（x）=
2xlnx．
由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至
多1个实根．
综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
11
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