四年级高思奥数之加法原理与乘法原理含答案.docx
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四年级高思奥数之加法原理与乘法原理含答案
第15讲加法原理与乘法原理
内容概述
理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．
1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?
2．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?
3．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?
4．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：
运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?
5．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?
6．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？
7．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：
（1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?
8．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：
（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?
（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?
9．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?
10．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?
拓展篇
1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?
2．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?
3．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：
（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?
（2）如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?
（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?
4．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
5．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：
一共可以组成多少个不同的三位数?
其中有多少个不同的三位奇数?
6．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：
电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7.现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？
7．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法?
8．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：
（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?
（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?
9．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?
10．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?
11．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?
12．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：
（1）按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?
（2）按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?
超越篇
1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：
阿奇一共有多少种点菜方法?
2．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?
如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?
3．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法?
4．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?
5．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：
这只甲虫可以选择多少条不同的路线?
6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?
7．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：
这只甲虫有多少种不同的走法?
8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?
第15讲加法原理与乘法原理
内容概述
理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．
1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?
【分析】9+3+2=14
2．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?
【分析】3×20=60
3．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?
【分析】9×10×10=900
4．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：
运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?
【分析】7×6×5×4×3×2×1=5040
5．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?
【分析】3×2×1=6
6．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？
【分析】2×2×2×2=16
7．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：
（1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?
【分析】
（1）4×4×4×4=256
（2）4×3×2×1=24
8．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：
（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?
（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?
【分析】
（1）5+6+3=14
（2）5×6×3=90
9．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?
【分析】4×2+3=11
10．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?
【分析】56
拓展篇
1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?
【分析】4+3+2=9
2．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?
【分析】5×4×3=60
3．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：
（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?
（2）如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?
（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?
【分析】
（1）15+10+5=30
（2）15×10×5=750
（3）15×10+10×5+15×5=275
4．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
【分析】
3×3+2×4=17
5．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：
一共可以组成多少个不同的三位数?
其中有多少个不同的三位奇数?
【分析】
（1）4×3×2=24
（2）3×2=6
6．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：
电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7.现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？
【分析】
2×2×2×2×2=32
7．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法?
【分析】
4×3×2×2×2=96
8．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：
（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?
（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?
【分析】
（1）
（2）
9．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?
【分析】2×2×3×2×1=24
10．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?
【分析】4×3×2×1=24
11．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?
【分析】2×2×2×2×1=16
12．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：
（1）按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?
（2）按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?
【分析】
（1）5种
（2）108
超越篇
1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：
阿奇一共有多少种点菜方法?
【分析】2×3×（1+1+2+1+2+1）=48
2．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?
如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?
【分析】
（1）3×3×3×3=81
（2）3×3×3×3×4×3×2×1=1944
3．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法?
【分析】
4×3×2×2×2×2×2×2=768
4．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?
【分析】4×3×2×1+4×3×2+4×3×2+4×3=84
5．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：
这只甲虫可以选择多少条不同的路线?
【分析】66种
6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?
【分析】3×3+3×3+3×3=27
7．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：
这只甲虫有多少种不同的走法?
【分析】树形图法：
（略）
分类枚举法：
从A走3段到B，从A走4段到B
从A走5段到B，从A走6段到B，从A走7段到B，共69种
8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?
【分析】188
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