六年级奥数专题抽屉原理Word文档格式.docx

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把367个元素放到366个抽屉中,至少有一个抽屉中有2个元素,即至少有两个学生的生日是同一天。

平年一年有365天,闰年一年有366天。

把天数看做抽屉,共366个抽屉。

把367个人分别放入366个抽屉中,至少在一个抽屉里有两个人,因此,肯定有两个学生的生日是同一天。

练习1：

1、某校有370名1992年出生的学生,其中至少有2个学生的生日是同一天,为什么？

2、某校有30名学生是2月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天？

3、15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生？

例题2：

某班学生去买语文书、数学书、外语书。

买书的情况是：

有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有7种类型,把7种类型看成7个抽屉,去的人数看成元素。

要保证至少有一个抽屉里有2人,那么去的人数应大于抽屉数。

所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。

买书的类型有：

买一本的：

有语文、数学、外语3种。

买二本的：

有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。

买三本的：

有语文、数学和外语1种。

3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同的书,至少要去8位学生。

练习2：

1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。

有买一本的、二本的、三本或四本的。

问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？

3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？

例题3：

一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。

问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？

把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有1副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。

这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。

再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推。

把四种颜色看成是4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有一副就要摸出5只手套。

根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。

以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有

5+2+2=9（只）

答：

最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。

练习3：

1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。

问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？

2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。

颜色有白、黑、蓝三种。

问：

最少要摸出多少只袜子,才能保证有3双同色的？

3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。

每次从布袋中拿出一只袜子,最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？

例题4：

任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数,这是为什么？

一个自然数除以4的余数只能是0,1,2,3。

如果有2个自然数除以4的余数相同,那么这两个自然数的差就是4的倍数。

一个自然数除以4的余数可能是0,1,2,3,所以,把这4种情况看做时个抽屉,把任意5个不相同的自然数看做5个元素,再根据抽屉原理,必有一个抽屉中至少有2个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是4的倍数。

所以,任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数。

练习4：

1、任意6个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是5的倍数,这是为什么？

2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数？

3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中,必有两个数之差为n的倍数。

例题5：

能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同？

由图29-1可知：

所有空格中只能填写1或2或3。

因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×

5=5,最大是3×

5=15。

从5到15共有11个互不相同的整数值,把这11个值看承11个抽屉,把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素,只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。

因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5,最大是15,从5到15共有11个互不相同的整数值。

而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个,所以,这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

练习5：

1、能否在6行6列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？

2、证明在8×

8的方格表的每个空格中,分别填上3,4,5这三个数中的任一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。

3、在3×

9的方格图中（如图29-2所示）,将每一个小方格涂上红色或者蓝色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。

这是为什么？

答案：

练1

1、1992年共有366天,把它看成是366个抽屉,把370个人放入366个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个人,因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。

2、2月份最多有29天,把它看作29个抽屉,把30名学生放入29个抽屉,至少有一个抽屉里有两个人,因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。

3、一年有12个月,把12个月看作12个抽屉,把15个小朋友放入12个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个小朋友,因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。

练2

1、买书的类型中买一本的有4种,买二本的有6种,买三本的有4种,买4本的有一种,共有4+6+4+1＝15种情况。

把种15种情况看出15个抽屉,要保证有两位同学买到相同的书,至少要去16位学生。

2、从三周图书种任意借2本,只有6种情况。

要保证有两个所借的图书属于同一种,至少要7个学生。

3、玻璃珠子的颜色有三种,要保证有2个同色,最少应取出4只珠子。

练3

1、思路同例3,最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。

2、把三种颜色看作3个抽屉,要保证有一双同色的就要摸出4只袜子,这时拿出1双同色的后,3个抽屉中还剩2只袜子。

以后,只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。

因此,要保证有3双同色的,最少要摸4+2+2＝8只袜子。

3、袋中有三种袜子时。

每次从袋中拿出一只袜子,有可能拿出8只都是同一颜色。

在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子,最少要取3只。

因此,最少要拿出8+3＝11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。

练4

1、一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4,把这5种情况看做5个抽屉,6个不同的自然数放入这5个抽屉,必有一个抽屉中至少有两个数,这两数的余数是相同的,所以它们的差一定是5的倍数。

2、一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7,把这8种情况看做8个抽屉,要保证至少有两个数的差是8的倍数,就要保证至少有1个抽屉里有两个数,根据抽屉原理,要取9个不同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数。

3、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n－1,把这n种情况看作n个抽屉,把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去,则必有一个抽屉中有两个数,这两个数的余数相同,则它们的差一定能被n整除,也就是n的倍数。

练5

1、不可能。

因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6,最大是18。

从6到18共有13个不同的整数值,而6行、6列及两条对角线上的各个数的和共有14个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

2、因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24,最大是40。

从24到40共有17个互不相同的整数值,而8行、8列及两条对角线上的各个数的和共有18个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

3、每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色,每列3个方格的土色就有2×

2×

2＝8种不同情况,把这8种情况看做8个抽屉,根据抽屉原理,9列中至少有两列的土色方式是相同的。

第三十周抽屉原理

（二）

在抽屉原理的第

（2）条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式：

元素总数=商×

抽屉数+余数

如果余数不是0,则最小数=商+1；

如果余数正好是0,则最小数=商。

幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。

把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。

则364=120×

3+4,4＜120。

根据抽屉原理的第

（2）条规则：

如果把m×

可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具。

1、一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。

2、把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。

3、把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球？

布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。

最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样？

把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。

根据抽屉原理第

（2）条,要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。

即2×

4+1=9（个）球。

列算式为

（3—1）×

4+1=9（个）

1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。

最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？

2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块,它们的形状、大小都一样。

当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块？

3、一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。

至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同？

某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。

活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。

问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？

参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个小组的有6个类型,只参加三个组的有4种类型,参加四个组的有1种类型。

把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=3×

15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。

1、某班有37个学生,他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。

其中至少有几位同学订的报刊相同？

2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。

某班有52名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？

3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问：

在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？

从1至30中,3的倍数有30÷

3=10个,不是3的倍数的数有30—10=20个,至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。

1、在1,2,3,……49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除？

2、从1至120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？

3、从1至36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是5的倍数？

将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过11张,试证明：

找少有七名同学得到的卡片的张数相同。

这题需要灵活运用抽屉原理。

将分得1,2,3,……,11张可片看做11个抽屉,把同学人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。

而400÷

66=6……4（张）,即每个周体都有6个元素,还余下4张卡片没分掉。

而这4张卡片无论怎么分,都会使得某一个抽屉至少有7个元素,所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。

1、把280个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过10个。

证明：

无论怎样分,至少有6只猴子得到的桃一样多。

2、把61颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放5颗棋子。

至少有5个格子中的棋子数目相同。

3、汽车8小时行了310千米,已知汽车第一小时行了25千米,最后一小时行了45千米。

一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。

1、把40名小朋友看做40个抽屉,将125件玩具放入这些抽屉,因为125＝3×

40+5,根据抽屉原理,可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具,所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。

2、把三个笔盒看做3个抽屉,因为16＝5×

3+1,根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。

3、把盒子数看成抽屉,要使其中一个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少应比抽屉个数的（7－1）倍多1,而25＝4×

（7－1）+1,所以最多方子4个盒子里,才能保证至少有一个盒子里有7个球。

1、最少应取出（3－1）×

5+1＝11个球

2、至少取出（4－1）×

3+1＝10块木块。

3、如果没有两张王牌,至少要取（4－1）×

13+1＝40张,再加上两张王牌,至少要摸出40+2＝42张,才能保证其中必有4张牌点数相同。

1、小学六年中最多有2个闰年,共366×

2+365×

4＝2191天,因为13170＝6×

2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。

2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个组的有6种类型,只参加三个字的有4种类型,参加四个组的有1种类型。

把4+6+4+1＝15种类型看作15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46＝15×

3+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。

3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1＝7种,因为37＝5×

7+2,所以其中至少有6位学生订的报刊相同。

1、在1～50中,5的倍数有50÷

5＝10个,不是5的倍数的就有50－10＝40个,至少要取出40+1＝41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。

2、在1～120中,4的倍数有120÷

4＝30个,不是4的倍数有120－30＝90个,正是要取出90+1＝91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。

3、差是5的两数有下列5组：

1、6,11、16,21、26,31、36；

2、7,12、17,22、27；

3、8,13、18,23、28、33；

4、9,14、19,24、29,34；

5、10,15、20,25、30、35。

要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数,最多只能从每组中各取1个数,即最多可以取5个数。

1、把11秒钟看做11个抽屉,把100米看作100个元素,因为100＝9×

11+1,所以必有1个抽屉里超过9米,即必有某一秒钟,他跑的距离超过9米。

2、如图答30－1,把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。

把它看作4个抽屉,5个点看作5个元素,则一定有一个小三角形内有2个点,这2个点之间的距离不超过1。

3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条,余下一个50×

40的长方形,它的面积为2000平方厘米,再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆,若剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话,那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。

因为×

32×

70的值就小于630×

3.15＝1984.52000,所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。