五年级美国大联盟第一阶段-数论专题含题目翻译解析完整版Word文件下载.docx
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positiveintegers
greatestcommonfactor
leastcommonmultiple
two－digitmultiples
bedivisibleby
thesumof
美元
整数
积
1美分
因数
一位数
5美分
倍数
加
10美分
偶数
减
25美分
奇数
乘
质数
除
合数
连续的
【参考答案】
平方根
至少
一百万
正整数
最大公因数
最小公倍数
两位数的倍数
被……整除
总和
导学一：
组合种类
知识点讲解1、简单列举
有些题目，因其所求的答案有多种，用算式不容易表示，需要采用一一列举的方法解决。
这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况，最终达到解答整个问题的方法叫做列举法（枚举法）。
用列举法解题时需要掌握以下三点：
（1）列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章地罗列；
（2）根据题意，按照范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏；
（3）排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
*运用列举法（枚举法）解题关键：
要正确分类。
例题
1.[单选题][简单的排列、组合][难度：
★★★]WhatisthemaximumvalueofchangethatyoucanhaveinUScoins（pennies,nickels,dimes,andquarters）withoutbeingabletogivesomeoneexactchangeforaone－dollarbill？
A）$0.90 B）$0.99 C）$1.19 D）$1.29
【参考答案】C
【题目解析】翻译：
如果你不能准确地把一美元兑换成零钱，你能兑换的美元硬币（1美分便士、五美分硬币、十分硬币和25美分硬币）的最大价值是多少？
解析：
因为你所拥有的美元硬币不能兑换为1美元（即100美分），所以你所有的硬币价值之和不能是100美分。
因为4个25美分硬币＝100美分，所以25美分硬币最多只能有4－1＝3（个）。
因为5个10美分硬币＋2个25美分硬币＝100美分，所以10美分硬币最多只能有5－1＝4（个）。
因为1个5美分硬币＋3个25美分硬币＋2个10美分硬币＝100美分，所以5美分硬币最多只能有0个。
因为5个1美分硬币就是5美分，而上面说了不能有5美分硬币。
所以1美分硬币最多只能有5－1＝4
（个）。
所以加起来价值总和为25×
3＋10×
4＋5×
0＋1×
4＝119（美分），即1.19美元。
故选C。
我爱展示
★★★]Withoutusingpennies,howmanydifferentcombinationsofcoins（nickels,dimes,quarters）willmake30cents？
A）3
B）4
C）5
D）6
如果不使用1美分的硬币，有多少不同的硬币组合（只使用5美分、10美分、25美分）可以达到30美分？
①含有25美分的：
25＋5＝30。
共1种。
②含有10美分的：
10×
3＝30；
2＋5×
2＝30；
10＋5×
4＝30。
共3种。
③含有5美分的：
5×
6＝30。
共有1＋3＋1＝5种。
知识点讲解2、画示意图
★★★★]Al,Barb,Cal,Di,Ed,Fred,andGregparticipatedinachesstournament.Eachplayermustplayeachofhissixopponentsexactlyonce.Sofar.Alhasplayed1match.Barbhasplayed2matches.Calhasplayed3matches.Dihasplayed4matches.Edhasplayed5matches,andFredhasplayed6matches.HowmanymatcheshasGregplayedatthispoint?
A）1
B）3 C）5 D）7
【参考答案】B
Al,Barb,Cal,Di,Ed,Fred和Greg参加了象棋比赛。
每个球员必须与他的六个对手各打一场。
到目前为止。
艾尔打了1场比赛。
巴布打了2场比赛。
卡尔打了3场比赛。
迪已经打了4场比赛。
埃德打了5场比赛，弗雷德打了6场。
到目前为止，格雷格参加了多少场比赛？
这道题我们可以画示意图去表示目前的赛况，可以直观地看到G比赛了3场。
故选B。
知识点讲解3、加乘原理
（1）加乘原理的概念
1）生活中常有这样的情况：
在做一件事时，有几类不同的方法，在县体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的。
那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。
2）还有这样的一种情况：
就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。
（2）加乘原理的应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：
1）加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等
于各类方法数之和。
2）乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各方法数的乘积。
3）在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
（3）加乘原理的运用范围
1）加法原理运用的范围：
完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：
“加法分类，类类独立”。
2）乘法原理运用的范围：
这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决。
“乘法分步，步步相关”。
1.[单选题][数与代数][难度：
★★★★]设n是任意自然数。
若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。
例如，若n＝1234321，则称n为回文数；
但若n＝1234567，则n不是回文数。
请问在10000和100000之间有多少个回文数？
A）900 B）1000 C）1100 D）1200
【参考答案】A
【题目解析】万位只能填1~9共9个数字，千位和百位可以填0~9共10个数字，所以这样的回文数有9×
10＝900
故选A。
1.[枚举法][难度：
★★★★]由数字0、1、3、9可以组成多少个无重复数字的自然数？
【参考答案】49个
【题目解析】首先对可以组成的自然数进行分类：
一位数、两位数、三位数和四位数。
再依次进行加乘原理的运用。
一位数：
只能有0、1、3、9共4个自然数。
两位数：
十位有1、3、9共3种可能，个位有4－1＝3种可能。
所以一共是3×
3＝9（个）。
三位数：
百位有1、3、9共3种可能，十位有4－1＝3种可能，个位有3－1＝2种可能。
3×
2
＝18（个）。
四位数：
千位有1、3、9共3种可能，百位有4－1＝3种可能，十位有3－1＝2种可能，个位只有2－1＝1种可能。
2×
1＝18（个）。
综上所述，一共有4＋9＋18＋18＝49（个）。
导学二：
因数和倍数
知识点讲解1、因数和倍数
（1）因数和倍数的意义
如果整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）得到整数c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。
（2）因数和倍数的个数特点
一个自然数a（0除外）的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个自然数a（0除外）的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（3）注意
为了方便，在研究因数和倍数的时候，一般不包括0。
1.[单选题][因数和倍数的意义][难度：
★★★]Jonhasacertainnumberofpens.Ifhedistributedthemevenlyamong4students,hewouldhave3left.Ifhedistributedthemevenlyamong5students,hewouldhave4left.TheminimumnumberofpensthatJoncouldhaveis
A）14 B）17 C）19 D）24
乔恩有一定数量的钢笔。
如果他把它们平均分配给4个学生，还剩下3支；
如果把它们平均分给5个学生，还剩下4支。
那么乔恩的钢笔最少有多少支？
平均分给4个学生还差一支，平均分给5个学生也差一支，所以最少有4×
5－1＝19（支）。
故选C。
2.[单选题][找一个数的倍数的方法][难度：
★★★★]Myfavoritenumberhas6differentfactors.Iftheproductofall6factorsis123,whatisthesumofthefactorsofmyfavoritenumber？
A）24 B）28 C）32 D）36
我最喜欢的数字有6个不同的因数。
如果这6个因数的乘积是123,那么我最喜欢的数字的因数的和是多少？
该数字有6个不同的因数，其中2个因数相乘都等于这个数。
设6个因数为a、b、c、d、e、f，则ab
＝cd＝ef，又因为它们乘积是123，即ab·
cd·
ef＝12×
12×
12，所以ab＝12，即这个数就是12。
12的因
数有1、12、2、6、3、4，它们的和为28。
1.[单选题][枚举法;
计数方法][难度：
★★★]ABizz－Numberisapositiveintegerthateithercontainsthedigit3orisamultipleof3.Whatisthevalueofthe10thBizz－Number？
A）24 B）27 C）30 D）31
一个比兹数是指一个包含数字3或是3的倍数的正整数。
那么第十个比兹数的值是多少？
解析：
这些数从3开始有：
3、6、9、12、13、15、18、21、23、24，第十个为24。
知识点讲解2、公因数和公倍数
（1）公因数（也叫公约数）
1）定义：
如果两个数或者多个数中都可以拆出某个相同的因数时，我们就把这个相同的因数叫做这几个数的公因数，也就是这几个数公有的因数。
2）最大公因数：
其中它们的公因数有可能存在多个，我们把最大的那个叫做最大公因数。
如：
12和16的因数中都有1、2、4，我们就把1、2、4叫做12和16的公因数，其中最大的是4就叫做12和16的最大公因数。
3）互质数：
当两个数的公因数只有1的时候，我们就说这两个数是互质数。
比如：
3和5的公因数只有1、11和13的公因数也只有1，这种都是互质数。
要注意的是互质数是一对数，不能讲3是互质数，只能说3和5是互质数。
4）如何求解两数的最大公因数？
方法有两种：
一种是通过短除法，一种是分解质因数法。
（2）公倍数
两个或者多个数公有的倍数我们叫做公倍数。
2）最小公倍数：
最小的公倍数叫做最小公倍数。
4和6他们的倍数当中都有12、24以及36等等，这些我们都叫做4和6的公倍数。
其中12是最小的一个，我们叫做4和6的最小公倍数。
3）如何求解两数的最小公倍数？
一般采用短除法和分解质因数法。
1.[单选题][因数、公因数和最大公因数][难度：
★★★]Thegreatestcommonfactoroftwonumbersis3.Theproductofthesetwonumbersmustbedivisibleby
A）6 B）9 C）12 D）18
两个数的最大公因数是3。
这两个数的积必须被（
）整除。
A＝3a，B＝3b，AB＝3×
ab，AB一定有因数9，故这两个数的积必会被9整除。
2.[单选题][公倍数和最小公倍数][难度：
★★★]Howmanytwo－digitmultiplesof10arealsomultiplesof12?
A）4 B）3 C）2 D）1
【参考答案】D
10的两位数的倍数有（
）个也是12的倍数？
10的倍数也是12的倍数，即求10、12的公倍数，利用短除法求得10、12的最小公倍数是60，同时要满足是“两位数”，所以只有60满足条件。
故选D。
3.[单选题][公倍数和最小公倍数][难度：
★★★]Theleastcommonmultipleof8and12isthegreatestcommonfactorof120and
A）80 B）124 C）144 D）180
8和12的最小公倍数是120和（
）的最大公因数。
8和12的最小公倍数为24，120＝24×
5，因为24是120和它到最大公因数，所以这个数是24的倍数，但不能是5的倍数。
所以这个数可以是24×
6＝144。
1.[单选题][排列组合综合;
公倍数和最小公倍数][难度：
★★★]Forhowmanydifferentpairsofunequalpositiveintegerslessthan10istheleastcommonmultipleofthenumberslessthantheirproduct?
A）6 B）7 C）8
D）9
小于10的不同的两个数字配对，要求每对数中的两个数字的最小公倍数小于两数的乘积，问满足条件的配对有多少个？
小于10的数字有：
1、2、3、4、5、6、7、8、9。
满足条件的配对不能是互质数，所以满足条件的配对有：
2和4、2和6、2和8、3和6、3和9、4和6、4和8、6和8、6和9。
共9种。
2.[单选题][因数和倍数的意义;
★★★]下面哪个数是11,111,111和
111,111,111,111的公约数？
A）111 B）1111 C）11111
D）111111
【题目解析】11,111,111中有8个1，111,111,111,111中有12个1，因此它们的公因数有4个1，即1111。
知识点讲解3、求一个数的因数的数量
若一个数分解因数后为x＝am×
bn，x的因数个数为：
（m＋1）×
（n＋1）。
（1）我们知道8的因数有4个：
1、2、4、8。
而1＝20，2＝21，4＝22，8＝23。
观察发现：
在m＝0、1、2、3的时候，为8的因数。
因数个数为3＋1＝4（个）。
（2）同样地，243＝3×
3＝35，其因数个数为5＋1＝6（个）。
1.[单选题][因数的个数与和][难度：
★★★]Howmanypositiveoddfactorsdoes25×
35×
55have？
A）25 B）36 C）125
D）216
25×
55有多少个因数？
（5＋1）×
（5＋1）＝216。
★★★]Whichoftheintegersbelowhasexactly5positivedivisors？
A）16 B）49 C）64 D）100
下面的整数中，哪个数有5个正因数？
16＝24，49＝72，64＝26，100＝22×
52。
只有A选项的因数个数为4＋1＝5（个）。
2.[单选题][找一个数的倍数的方法;
因数的个数与和][难度：
★★★]Ofthefollowing,whichexpressionhasthegreatestnumberoffactorsthataremultiplesof2018？
A）2018×
12 B）20182 C）20192 D）20192019
以下的（
）的因数个数最多，并且是2018的倍数。
首先只有A、B选项的数字是2018的倍数，因2018×
12÷
2018＝12，20182÷
2018＝2018。
接下来看2018×
12和20182的因数个数，因为2018＝2×
1009，所以：
A：
2018×
12＝2×
1009×
3＝23×
31×
10091，其因数个数为（3＋1）×
（1＋1）×
（1＋1）＝16
（个）。
B：
20182＝2×
1009＝22×
10092，其因数个数为（2＋1）×
（2＋1）＝9（个）。
A选项的2018×
12因数个数最多，并且是2018的倍数。
知识点讲解4、能被X整除的数的特征
（1）能被2整除的数的特征
整数的末位是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
（2）能被4整除的数的特征
如果一个数的末两位能够被4整除，那么这个数就能够被4整除。
如9856中的末两位”56”，56÷
4＝14，能够被4整除，所以9856能够被4整除，即9856是4的倍数。
（3）能被8整除的数的特征
如果一个数的末三位能够被8整除，那么这个数就能够被8整除。
如5248中的末三位”248”，248÷
8＝31，能够被8整除，所以5248能够被8整除，即5248是8的倍数。
（4）能被16整除的数的特征
能同时被2和8整除，即末位是0、2、4、6、8，以及这个数的末三位能够被8整除，同时符合这两个条件数，就能被16整除。
1.[单选题][整除特征和性质][难度：
★★★]Whichofthefollowingleavesaremainderof2whendividedby4？
A）2014 B）2015 C）2016 D）2017
下面的数中，哪个数除以4余2？
将2014、2015、2016和2017先减去2，分别得到2012、2013、2014和2015。
再根据“能被4整除的数的特征”辨别，知道只有“2012”的“12”能够被4整除，即2012能够被4整除。
★★★]Whichofthefollowingnumbersisnotdivisibleby8？
A）123168 B）234236 C）345424 D）456624
下面的数中，哪个不能被8整除？
末尾三位数如果能被8整除，则是8的倍数。
只有B选项的末三位“236”不能被8整除，故选B。
2.[单选题][整除特征和性质][难度：
★★★]Howmanyintegerslessthan2017aredivisibleby16butnotby4？
A）0 B）126
C）378 D）504
有多少个小于2017的整数能被16整除而不能被4整除？
16是4的倍数，能被16整除的数也一定能被4整除。
所以这样的数字的数量为0。
导学三：
质数和合数
知识点讲解1、质数的因数个数特点
（1）质数和合数的定义
1）质数：
有且只有1和它本身的两个因数的数。
即质数只有2个因数。
2）合数：
除了1和它本身，还有别的因数的数。
（2）质数和合数的特点
1）0和1既不是质数，也不是合数；
2）2是最小的质数，也是唯一的偶数；
3）4是最小的合数。
例
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