高中教育最新高中数学第二章平面向量本章复习教案.docx

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高中教育最新高中数学第二章平面向量本章复习教案

——教学资料参考参考范本——

【高中教育】最新高中数学第二章平面向量本章复习教案

______年______月______日

____________________部门

本章复习

知识网络　　　　　

教学分析　　　　　

向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．

数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．

将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．

学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．

向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．

充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．

三维目标　　　　　

1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．

2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．

3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．

重点难点　　　　　

教学重点：

向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．

教学难点：

向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．

课时安排　　　　　

2课时

第1课时

导入新课　　　　　

思路1.（直接导入）前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．

思路2.（问题导入）由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？

向量是怎样进行代数运算的？

又是怎样进行几何运算的？

你对向量的哪种运算掌握得最好？

由此展开全章的复习．

推进新课　　　　　

向量的概念、运算及其综合应用．

活动：

本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：

几何表示法为，a（手写时为），坐标表示法为a＝xi＋yj＝（x，y）．有哪些特殊的向量：

a＝0|a|＝0.向量a0为单位向量|a0|＝1.相等的向量：

大小相等，方向相同．a＝b（x1，y1）＝（x2，y2）等等．

指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：

运算

类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的加法

1.平行四边形法则

（共起点构造平行四边形）

2．三角（多边）形法则

（向量首尾相连）

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）

a＋b＝b＋a

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

＋＝

向量的减法

三角形法则

（共起点指向被减）

a－b＝（x1－x2，y1－y2）

a－b＝a＋（－b）

＝－

－＝

数乘向量

1.λa是一个向量，满足|λa|＝|λ||a|.

2．λ>0时，λa与a同向；

λ<0时，λa与a异向；

λ＝0时，λa＝0

λa＝（λx，λy）

λ（μa）＝（λμ）a

（λ＋μ）a＝λa＋μa

λ（a＋b）＝λa＋λb

a∥ba＝λb（b≠0）

向量的数量积

a·b是一个实数

1．a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝0

2．a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

a·b＝x1x2＋y1y2

a·b＝b·a

（λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）

（a＋b）·c＝a·c＋b·c

a2＝|a2|，|a|＝

|a·b|≤|a||b|

本章的重要定理及公式：

（1）平面向量基本定理：

e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

（2）两个向量平行的条件：

a∥b（b≠0）存在惟一的实数λ使得a＝λb；

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥bx1y2－x2y1＝0（b可以为0）．

（3）两个向量垂直的条件

当a、b≠0时，a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.

讨论结果：

①～③略．

例1已知a＝（1,2），b＝（－3,2），当k为何值时，

（1）ka＋b与a－3b垂直？

（2）ka＋b与a－3b平行？

平行时它们是同向还是反向？

活动：

向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？

让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．

解：

（1）ka＋b＝k（1,2）＋（－3,2）＝（k－3,2k＋2），

a－3b＝（1,2）－3（－3,2）＝（10，－4）．

当（ka＋b）·（a－3b）＝0时，这两个向量垂直．

由（k－3）×10＋（2k＋2）×（－4）＝0，解得k＝19，

即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．

（2）当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一实数λ，

使ka＋b＝λ（a－3b）．

由（k－3,2k＋2）＝λ（10，－4），得

这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组．

解这个方程组得k＝－，λ＝－，即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，

这时ka＋b＝－a＋b.

因为λ＝－<0，所以－a＋b与a－3b反向．

点评：

向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，先解出k＝－，然后再求λ.

变式训练

1．已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是（　　）

①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e

②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0

③xa＋yb＝0（其中实数x、y满足x＋y＝0）

④已知梯形ABCD中，＝a、＝b

A．①②　　　　　B．①③　　　　　C．②　　　　　D．③④

解析：

A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共线，则只有从A、B中进一步作出选择，若①不能使a、b共线，则应从C、D中进一步作出选择．首先判定①能否使a、b共线．由向量方程组可求得a＝－e，b＝－e.∴b＝10a.∴a、b共线，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b＝－a，故a、b共线，∴排除B，选择A.

答案：

A

2．设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线？

解：

方法一：

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，

∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj），

∴m＝－2，

即当m＝－2时，A、B、C三点共线．

方法二：

假设满足条件的m存在，根据题意可知：

i＝（1,0），j＝（0,1），∴＝（1,0）－2（0,1）＝（1，－2），

＝（1,0）＋m（0,1）＝（1，m）．

由A、B、C三点共线，即∥，

故1×m－1×（－2）＝0，解得m＝－2.

∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.

例2如图1，已知在△ABC中，＝a，＝b，＝c.若a·b＝b·c＝c·a.求证：

△ABC为正三角形．

图1

活动：

引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．

证法一：

由题意得a＋b＋c＝0，∴c＝－（a＋b）．

又∵b·c＝c·a，∴c·（a－b）＝0.

∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|.

同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.

∴△ABC为正三角形．

证法二：

由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.

∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.

而b·c＝c·a（已知），∴a2－b2＝b2－a2.

∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|.

同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.

∴△ABC为正三角形．

证法三：

如图2，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则＝a，＝－，

图2

∴＝a－c.

又∵a·b＝b·c，∴b·（a－c）＝0.

∴b·＝0.∴b⊥.

∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，

∴△ABC为正三角形．

证法四：

取的中点E，连结AE，则

＝（＋）＝（c－b），

∴·a＝（c－b）·a＝0.∴⊥a.∴AB＝AC.

同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．

点评：

本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.

变式训练

1．若·＋2＝0，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

答案：

A

2．在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形．

证明：

设＝a，＝b，＝c，＝d，

∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－（c＋d）．

两边平方，得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2，

又a·b＝c·d，

∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①

同理|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2.②

由①②得|a|2＝|c|2，|d|2＝|b|2，∴|a|＝|c|，|d|＝|b|，

即AB＝CD，BC＝DA.

∴四边形ABCD是平行四边形．

于是＝－，即a＝－c.

又a·b＝b·c，故a·b＝b·（－a），∴a·b＝0.∴⊥.

∴四边形ABCD为矩形．

点评：

要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直．为此我们可以从四边形边的长度和位置两方面的关系来进行思考.

例3已知a＝（，－1），b＝（，），且存在实数k和t，使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb且x⊥y.试求的最小值．

活动：

本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k与t之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．

解：

由已知，得|a|＝＝2，|b|＝＝1.

∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

∵x⊥y，∴x·y＝0，

即[a＋（t2－3）b]·（－ka＋tb）＝0.

化简，得k＝，∴＝（t2＋4t－3）＝（t＋2）2－，

即t＝－2时，有最小值－.

点评：

本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.

变式训练

1.如图3，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.

图3

解：

∵＝＋，＝＋，

∴由＋2＋3＝0，得

（＋）＋2（＋）＋3＝0.

∴＋3＋2＋3＝0.

又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，

由平行向量基本定理，设＝λ，＝μ，

∴λ＋3＋2＋3μ＝0.

∴（λ＋2）＋（3＋3μ）＝0.

由于和不共线，∴∴

∴＝－＝.∴＝＋＝2＝2a.

2．将函数y＝2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y＝－2x2＋4x＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．

解法一：

设平移向量a＝（h，k），则将y＝2x2按a平移之后得到的图象的解析式为y＝2（x－h）2＋k.

设M（m，n）和M′（－m，－n）是y＝－2x2＋4x＋2与y＝2（x－h）2＋k的两个交点，则解得或

　∴点（1,4）和点（－1，－4）在函数y＝2（x－h）2＋k的图象上．

∴

故所求解析式为y＝2（x＋1）2－4，即y＝2x2＋4x－2.

解法二：

将y＝2x2按向量a＝（h，k）平移，设P（x，y）为y＝2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′（x′，y′），

则故

∴y－k＝2（x－h）2是平移之后的函数图象解析式．

由消去y，得4x2－4（h＋1）x＋2h2＋k－2＝0.

又∵两交点关于原点对称，

∴x1＋x2＝0，即＝0，h＝－1.

又y1＋y2＝0，∴2x－4hx1＋2h2＋k＋2x－4hx2＋2h2＋k＝0.

∴2（x＋x）＋4（x1＋x2）＝－4－2k.

∴2（x1＋x2）2＋4（x1＋x2）－4x1x2＝－4－2k.

∵x1x2＝，x1＋x2＝0，

∴－4×＝－4－2k.

∴k＝－4.∴y＝2（x＋1）2－4，即y＝2x2＋4x－2.

课本复习题1～6.

1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？

2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

1．课本复习题7、8、9、10.

2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．

1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．

一、备用习题

1．下列四个等式中正确的是（　　）

A.＋＝0

B.＝－

C．a·b－b·a＝0

D．（＋）＋＋＋＝

2．若直线y＝2x按向量a平移得到直线y＝2x＋6，那么a（　　）

A．只能是（－3,0）B．只能是（0,6）

C．只能是（－3,0）或（0,6）D．有无数个

3．已知向量a＝（3,4），b＝（－3,1），a与b的夹角为θ，则tanθ等于（　　）

A.B．－

C．－3D．3

4．已知三个点M（－1,0），N（5,6），P（3,4）在一条直线上，P分的比为λ，则λ的值为（　　）

A.B.

C．2D．3

5．以A（2,7），B（－4,2），C（－1，－3）为顶点的三角形，其内角为钝角的是（　　）

A．∠AB．∠B

C．∠CD．不存在

6．平面上有三个点C（2,2）、M（1,3）、N（7，k），若∠MCN＝90°，那么k的值为…（　　）

A．6B．7

C．8D．9

7．有下列五个命题：

①若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；

②若a≠0，且a·b＝b·c，则a＝c；

③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；

④（a·b）c＝a（b·c）；

⑤若|a·b|＝|a||b|，则a∥b.

其中正确命题的序号是________．（请把你认为正确的命题的序号全部填上）

8．已知P（1，cosx），Q（cosx,1），x∈[－，]．

（1）若用f（x）表示向量与的夹角θ的余弦，求f（x）；

（2）若t＝cosx，将f（x）表示成t的函数φ（t），并求φ（t）的定义域．

参考答案：

1．D　2.D　3.C　4.C　5.B　6.B　7.⑤

8．解：

（1）∵＝（1，cosx），＝（cosx,1），与的夹角为θ，

∴f（x）＝cosθ＝＝＝.

（2）∵t＝cosx，∴φ（t）＝f（x）＝.

∵x∈[－，]，观察余弦曲线y＝cosx在[－，]上的图象可知，t＝cosx∈[－，1]，

∴函数φ（t）的定义域为[－，1]．

二、关于一题多解

培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．

通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．

一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．

第2课时

导入新课　　　　　

思路1.（直接导入）请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．

思路2.（投影导入）投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．

推进新课　　　　　

向量的坐标运算及其综合应用．

通过幻灯出示题目让学生思考讨论：

设向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解：

由题意得e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1，

∴（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＝2te＋（2t2＋7）e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.

∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，

∴2t2＋15t＋7<0，即－7

活动：

引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：

向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．

教师引导学生探究讨论：

对于两个非零向量a、b，若a与b的夹角θ为钝角，则a·b<0，反之，却不一定成立．因为当a·b＝|a||b|cosθ<0时，a与b的夹角也可能为π，因此，a与b的夹角为钝角a·b<0且a≠λb（λ<0），所以，正确的解答应在上述t的范围中去掉夹角为π的情形，即设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2）（λ<0），所以其中λ<0，解得t＝－.故所求实数t的取值范围为（－7，－）∪（－，－）．

比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，尽管由ab＝0a＝0或b＝0.又如|a·b|≤|a||b|，尽管|ab|＝|a||b|.再如（a·b）c≠a（b·c）