中考数学适应性训练试题.docx
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中考数学适应性训练试题
2019-2020年中考数学适应性训练试题
题号
一
二
三
总分
得分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
4．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是
A、100°B、90°C、80°D、70°
（4题）（5题）（7题）
5．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是
A、7，7B、8，7.5C、7，7.5D、8，6
6．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是
A、平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，若S△BDE∶S△CDE=1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为
A、B、C、D、
8．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是
①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根。
A、①②B、①③C、③D、①②④
9．已知，则函数和的图象大致是
ABCD
10．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一
动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点落在∠ADC的
角平分线上时，则点到BC的距离为
A、1或2B、2或3
C、3或4D、4或5
Ⅱ（主观卷）90分
二、填空题（每小题3分，18分）
11．据国家相关部委公布，xx年全国献血人数达到约130000000人次，将数据130000000用科学记数法表示为。
⌒
12．分解因式：
xy2﹣4x=。
13．如图，点O为BC所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=。
（13题）（16题）
14．在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共25个，其中白球有5个。
每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋子中随机摸出一个红球的概率是。
15．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为。
16．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要s能把小水杯注满。
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）
（1）计算：
（2）先化简再求值：
，其中。
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，9）。
（1）画出△ABC关于y轴对称的
△A1B1C1。
（2分）
（2）画出△A1B1C1向右平移8个单位
后得到的△A2B2C2。
（2分）
（3）直接写出△ABC上点M（x，y）在
上述变换过程中得到△A2B2C2上的对应点
M2的坐标。
（2分）
19．（7分）某商场经理对某一品牌旅游鞋近一个月的销售情况进行统计后，绘制了如下统计表与条形图：
尺码（码）
数量（双）
百分比（%）
36
60
30
37
30
15
38
a
b
39
40
20
40
c
5
41
10
5
（1）写出表中a，b，c的值；（3分）
（2）补全条形图；（2分）
（3）商场经理准备购进同一品牌的旅游鞋1500双，请根据市场实际情况估计他应该购进38码的鞋多少双？
（2分）
20．（9分）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯。
已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m。
矩形面与地面所成的角为。
李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方面。
（1）求每条踏板间的垂直高度。
（4分）
（2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？
请你通过计算判断说明。
（参与数据：
sin，cos，tan）（5分）
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF＝FC＝CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D。
（1）求证：
CD是⊙O的切线；（4分）
（2）若，求⊙O的半径。
（5分）
22．（10分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。
两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）。
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（4分）
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
（6分）
23．（11分）问题：
如图
（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系。
[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°。
根据“边角边”，可证△CEH≌，得EH=ED。
（3分）
在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是。
（3分）
[实践运用]
（1）如图
（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（4分）
（2）在
（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长。
（4分）
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。
其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。
当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？
（5分）
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBO=
5∶2，求K点坐标。
（4分）
九年级数学答案：
一、1、B2、A3、A4、C5、C6、B7、D8、C9、C10、A
二、11、1.3×10812、x（y+2）（y﹣2）13、28°14、15、816、5
三、17、
（1）
（2）解：
原式=
，
当时，原式=。
18、解：
（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）对应点M2的坐标（x+8，y）。
19、解：
（1）根据题意得：
60÷30%=200，
c=200×5%=10，
a=200﹣60﹣30﹣40﹣10﹣10=50；
×100%=25%，即b=25；
（2）补全条形统计图，如图所示：
（3）由
（1）可得38码的旅游鞋大约
占25%，故购进1500双旅游鞋中应购
进38码鞋375双．
20、解：
（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AB=AC，AE⊥BC于点E，∴，在Rt△AEC中，∵tan=，∴AE=EC·tan≈0.5×4.70=2.35，∴每条踏板间的垂直高度为：
（m）；
（2）设他站立在梯子的第n级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板hm。
由题意，得
，∵0.05≤h≤0.2，∴0.05≤≤0.2，解得2.74≤n≤3.19，∵n为整数，∴n=3。
答：
他站立在梯子的第3级踏板上安装比较方便。
21、解答：
（1）证明：
连结OC，如图，∵FC＝BC，∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：
连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵AF＝FC＝CB，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，
在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4．
22、
（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，解得：
，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴31﹣m＜2m，解得：
，∵m是正整数，∴m最小值=11，设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155，∵k＞0，
∴W随x的减小而减小，当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．
答：
购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
23、解：
根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD2+EB2=DE2；故答案为：
△CDE；勾股；AD2+EB2=DE2；
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴∠BAE=∠GAE，同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF=∠DAF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAF=∠BAD=45°；
（2）由
（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3，∵CE2+CF2=EF2，∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，解这个方程，得x1=6，x2=﹣1（舍去），∴AG=6，∴BD=
，
∴AB=6，∵MN2=MB2+ND2，设MN=a，则
，
所以a=，即MN=。
24、解：
（1）将A（，0）、B（4，0）两点坐标分别代入，
即，解得：
抛物线的解析式为：
（2）设运动时间为t秒，由题意可知：
过点作，垂直为D，易证∽，
OC=3，OB=4，BC=5，，，，
，对称轴
当运动1秒时，△PBQ面积最大，，最大为，
（3）如图，设
连接CK、BK，作交BC与L，由
（2）知：
，∵，∴
设直线BC的解析式为，∵
，解得：
直线BC的解析式为，
，
∵
即：
，解得：
坐标为或。
2019-2020年中考数学重难点专题讲座第一讲线段角的计算证明问题
【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。
大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。
城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。
剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。
可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。
第一部分真题精讲
【例1】（xx，崇文，一模）
如图，梯形中，，
．求的长．
【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。
所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。
这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作于于
，
四边形是矩形．
是的边上的中线．
在中，
【例2】（xx，海淀，一模）
已知：
如图，在直角梯形中，∥，，于点O，，求的长.
【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系（例如对角线平分某角）的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.
【解析】
过点作交的延长线于点.
∴.
∵于点,
∴.
∴.
∵，
∴四边形为平行四边形.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴
此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和△DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。
有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
【例3】（xx，东城，一模）
如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度
．
【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。
乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?
答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
【解析】
过点作的垂线交于点，交的延长线于点.
在梯形中，，是的中点，
∴
在和中，
∴.
∴
∵，∴.
在中，，
∴.
在中，
【总结】以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:
1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+一矩形
2、平移一腰，分梯形为平行四边形+三角形
3、延长梯形两腰交于一点构造三角形
4、平移对角线，转化为平行四边形+三角形
5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形
以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。
对于角度问题，其实思路也是一样的。
通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。
之前三道例题主要是和线段有关的计算。
我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】（xx，延庆，一模）
如图，在梯形中，，平分，过
点作，交的延长线于点，且，，，
求的长．
【思路分析】此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。
但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。
例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。
面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。
首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1，2，3以及角E的关系。
于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。
于是得解。
【解析】：
∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴梯形是等腰梯形
∴
∵，
∴
在中，
∵，
∴
【例5】（xx，西城，一模）
已知：
，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB
的两侧.
如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。
如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。
但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。
这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。
但是求PD时候就很麻烦了。
PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。
构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。
这样一来，得到了△PFA△AGE等多个RT△。
于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。
【解析】：
如图，作AE⊥PB于点E．
∵△APE中，∠APE=45°，，
∴
，
．
∵，
∴．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴．
如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）
，．
在Rt△PFG中，可得
，．
【总结】由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。
所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分发散思考
通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。
接下来我们自己动手做一些题目。
希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。
【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，
AD+BC=，且，求CD的长．
【思路分析】前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。
此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。
另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。
在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。
[解法见后文]
【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。
若求EF，因为BC已知，所以只需求出AD即可。
由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。
（解法见后）
【思考3】已知，延长到，使．取的中点，连结交于点．
⑴求的值；
⑵若，，求的长．
【思路分析】求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。
此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。
（解法见后）
【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．
【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。
有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。
将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。
本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。
（解法见后）
【思考5】如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．
【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。
本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。
尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。
（解法见后）
第三部分思考题答案
思考1
【解析】：
作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F．
则四边形ADFC是平行四边形，∴，DF=AC．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．∴
又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．
∴ΔBDF是等腰直角三角形
∴
在中，
∵，
∴，∴
思考2
【解析】：
延长BA，CD交于点H，连接HN，
因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°
所以HN=DN（直角三角形斜边中线性质）
∠NHD=∠NDH=60°
连接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下）
所以HM=3.5，NH=0.5AN=0.5
所以AD=1EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】⑴过点作，交于点．
∵为的中点
∴为的中点，
由，得，
，∴
∴
∴
∴
⑵∵，∴
又，∴
∵，∴．
思考4
【解析】：
延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．
则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．
因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．
因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．
在Rt△FCG中，由勾股定理得
，所以EF=5．
思考5
【解析】：
证明：
如图，连结、．
∵为的中位线，
∴，．
同理，．
∴，，
∴四边形为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜）
在和中，
，，，
即．
∴．
∴．
∴
∴四边形为菱形．
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