计算方法作业2.docx
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计算方法作业2
《计算方法》上机指导书
实验１ MAＴＬAB基本命令
1。
掌握MAＴLAB得程序设计
实验内容:
对以下问题，编写M文件.
（1）生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处得位置。
（2）编程求。
（3）一球从10０米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度得一半，再落下。
求它在第１0次落地时,共经过多少米？
第1０次反弹有多高？
２。
掌握MＡTLAB得绘图命令
实验内容:
对于自变量得取值属于［０,]，在同一图形窗口画出如下图形。
（1）;
（２）；
实验２ 插值方法与数值积分
1、研究人口数据得插值与预测
实验内容：
下表给出了从19４０年到１9９0年得美国人口，用插值方法推测１93０年、1９6５年、20１0年人口得近似值。
美国人口数据
年
１９4
70
1980
199０
人口（千人）
1３2,1６5
151，３２6
179,323
2０３,3０2
２２6，５42
2４9,6３3
1９30年美国得人口大约就是12３,2０３千人,您认为您得到得19６5年与２０10年得人口数字精确度如何？
２.最小二乘法拟合经验公式
实验内容：
某类疾病发病率为‰与年龄段（每五年为一段，例如0～5岁为第一段,6~10岁为第二段……）之间有形如得经验关系，观测得到得数据表如下
1
２
3
４
５
6
7
8
9
0、8９8
２、38
3、0７
1、84
2、0２
１、94
2、22
2、77
4、０2
10
11
１2
８
19
4、７6
５、46
6、53
10、9
16、５
22、5
3５、７
50、6
6１、6
81、8
（1）用最小二乘法确定模型中得参数与。
（２）利用ＭAＴLＡＢ画出离散数据及拟合函数图形.
3、 复化求积公式
实验内容：
对于定积分.
（1）分别取利用复化梯形公式计算,并与真值比较。
再画出计算误差与之间得曲线。
（2）取［0，1］上得9个点，分别用复化梯形公式与复化辛普森公式计算,并比较精度。
实验3 非线性方程与线性方程组
１.矩阵得范数与条件数
实验内容：
已知矩阵
求,，与。
2．研究高斯消去法得数值稳定性
实验内容：
设方程组,其中
（1）,
（2）,
分别对以上两个方程组
（1）计算矩阵得条件数,判断系数矩阵就是良态得还就是病态得？
（2）用列主元消去法求得L与U及解向量；
（３）用不选主元得高斯消去法求得Ｌ与U及解向量；
（４）观察小主元并分析对计算结果得影响。
3、求解非线性方程,比较不同方法得计算量
实验内容：
比较求得根到三位小数所需得计算量：
（1）在区间［0,１］内用二分法;
（2）用迭代法，初值;
（3）用牛顿迭代法,取初值。
《计算方法》上机实验报告
姓名:
陶成川学号:
U20141０8２0班级:
机械09
一、问题
1、研究人口数据得插值与预测
实验内容：
下表给出了从１940年到1９9０年得美国人口，用插值方法推测19３0年、19６５年、2０10年人口得近似值。
美国人口数据
年
19４
70
19８０
１990
人口（千人）
1３２，165
1５1,326
179,3２3
２0３，302
22６，54２
249,6３3
１930年美国得人口大约就是123,2０3千人，您认为您得到得1965年与2010年得人口数字精确度如何?
2。
最小二乘法拟合经验公式
实验内容:
某类疾病发病率为‰与年龄段（每五年为一段，例如０~5岁为第一段,6~10岁为第二段……）之间有形如得经验关系，观测得到得数据表如下
１
2
３
4
５
6
7
８
９
0、８98
2、3８
3、0７
1、84
2、02
1、9４
2、22
2、77
４、02
10
11
１２
８
19
4、７６
5、46
6、53
10、9
16、5
２2、5
35、７
５0、6
6１、6
81、8
（1）用最小二乘法确定模型中得参数与.
（2）利用MATＬAB画出离散数据及拟合函数图形。
3、复化求积公式
实验内容:
对于定积分。
（１）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。
再画出计算误差与之间得曲线.
（2）取［０,１］上得９个点,分别用复化梯形公式与复化辛普森公式计算，并比较精度.
二、Matlab程序
1.%构造lagrａnge插值函数
fuｎctｉonｙ1=lａｇｒange（x，y,x1）
m=lengｔh（x）；
n=lengｔｈ（y）；
ｐ=lengｔh（x1）;
iｆ m~=nｅrror；
eｎｄ
s＝0;
ｆｏｒk=1:
ｎ
t=ones（1，p）;
forｊ=1：
n
ｉfj～=k，
t=t、*（ｘ１-x（ｊ））/（x（ｋ）-x（ｊ））；
end
ｅｎd
s=ｓ+ｔ*y（ｋ）；
enｄ
ｙ1=s;
％在界面中运行
x＝［1940１95０１９6０197０19８0199０］;
ｙ=[132、165 151、32６179、323 ２03、3022２6、５42249、63３]；
y１930=laｇｒangｅ（x,y,1930）；
ｙ1965=lagｒange（x,y，１９65）;
y20１0=lagrａnge（x,y，2０10）;
fpriｎtf（’tｈepopulationin19３0 is％ｆ\n'，y193０）
ｆpｒintf（'thｅpopｕlatioｎiｎ 19６5is%ｆ＼n',y１96５）
fｐriｎtf（’thepｏｐulａtionin2０１0 iｓ ％f＼n',ｙ201０）
２、
x=[１ 2 3４ 5 6７ 8 91０ 11 １２1３14 １5 16１7 18 １9］；
y=[0、８９８2、3８ ３、０７ 1、84 ２、02 １、９４ ２、２２ 2、7７ ４、0２4、7６5、466、53 10、９ 16、5 ２2、５３5、7 50、6 61、６８1、８];
yｉ=log（y）；
a=ｐolyfit（x，yｉ，1）;
ai=ｅｘp（a
（2））;
xm=1：
0、０５：
１9；
ym=ai*eｘp（a
（1）、*xm）；
plot（x，y，’*k＇,xm,yｍ,’－ｙ’）
fｐｒinｔf（’a is%f\n’，aｉ）
fprintｆ（’bis%f\n’，a
（1））
３、
（１）
%构造复合梯形积分公式
funｃｔioｎI=ｔｑuad（x,y）
ｎ=ｌeｎgｔh（x）
ｍ=ｌeｎgtｈ（y）
iｆ n~=m
ｅrrｏｒ
enｄ
ｈ=（x（n）—x（１））／（n-1）
a＝［12*ｏnｅs（1,ｎ-２） 1]
Ｉ=ｈ/2*sｕm（a、＊y）
End
%用梯形公式计算积分
ｆorｍatloｎg
ｘ=０:
0、1：
1；
y=x、/（4+x、^2）;
I1=tquad（x，y）
%计算积分
forｍａtｌonｇ
ｆ=inline（'x、/（4+x、^2）＇）;
I=ｑuadl（f,０,１）
％作误差与n得关系曲线
％构造函数
ｆuncｔiｏn I＝ｔｑ（k）
x=0：
０、9／k：
1;
ｙ=x、/（4＋x、^２）；
n=ｌength（x）;
m=lenｇth（y）；
iｆn~＝m
ｅrror；
end
ｈ=（x（n）-ｘ（１））/（ｎ—１）;
a=［12*oｎｅｓ（１，ｎ-2） １］；
I=h/2*suｍ（a、*y）;
ｅnd
%计算并作图
n=1：
100；
t１=oｎes（1，100）；
foｒk＝1:
1００
ｔ１（k）=ｔ1（k）＊tq（k）；
ｅnd
f=inliｎe（＇x、/（4+x、^２）'）;
I=quａdl（f，０,１）;
t2=I—ｔ1；
plot（n,t2，＇＊ｋ’,n,t2，＇－y＇）
（２）
%构造复合辛普森积分公式
functionI＝ｓimpｓｉon（ｘ，y）
m＝ｌength（x）；
n=length（y）；
iｆm~＝n
error；
end
ifrｅm（n－1，2）~=0
I=tqｕａd（x,y）;
return;
enｄ；
N=（n-1）/2；
h=（x（n）-ｘ
（1））/N;
a=zeros（1,n）;
for k=１：
N
a（2*ｋ—1）=a（2*k—1）＋１；
a（2*ｋ）=ａ（２＊k）+4;
ａ（2＊ｋ+1）=a（2*k+1）+1；
end
I＝h/６*sum（a、＊y）；
End
％分别计算积分
formatlong
x=0：
0、1：
1;
ｙ=ｘ、/（4＋ｘ、^2）；
isimosion=simpｓion（x，y）
itquaｄ＝ｔqｕad（x,y）
三、结果
通过Ｍａtlab程序运行结果如下：
1、
the pｏpｕlａtｉｏn in1930iｓ169、649000
ｔhe ｐoｐulationin196５is１9１、7673５9
ｔhepopｕlaｔion in2０1０ｉｓ1７1、3510００
由于laｇraｎge插值不能准确估计范围外得数值，因此１930年与２010年得误差较大.
２、
ａis0、６813６1
ｂｉs 0、23０620
3、
（1）I1=
０、111４６３3808151６７
I＝
0、113１
（２）
isimosion =
0、1１94
itｑｕad＝
0、111４63380815167
积分值为0、1131
显然simpsｉoｎ公式精度更高
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