第三章模糊控制题.doc
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第2章模糊控制
3.1模糊控制的基本思想
研究和考虑人的控制行为特点，对于无法构造数学模型的对象让计算机模拟人的思维方式，进行控制决策。
将人的控制行为，总结成一系列条件语句，运用微机的程序来实现这些控制规则。
在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器。
3.2模糊集合的定义
模糊集合的定义：
给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射
都确定U的一个模糊集合A,称为模糊集合且的隶属函数。
的取值范围为闭区间[0,1]，接近1，表示x属于A的程度高；接近0，表示x属于A的程度低。
3.3常用的3种模糊集合的表示方法，
（1）Zadeh表示法
用论域中的元素xi与其隶属度按下式表示A，则
在Zadeh表示法中，隶属度为零的项可不写入。
（2）序偶表示法
用论域中的元素xi与其隶属度的构成序偶来表示且，则
在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。
（3）向量表示法
用论域中元素xi的隶属度构成向量来表示，则
在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。
3.4凸模糊集的定义
若A是以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为，如果对任意实数，都有
则称A为凸模糊集。
凸模糊集实质上就是其隶属函数具有单峰值特性。
3．5常见的4种隶属函数
（1）正态型
正态型是最主要也是最常见的一种分布，表示为
其分布曲线如图2-4所示。
图2-4正态型分布曲线
（2）三角型
（3）降半梯形
（4）升半梯形
3.6己知两个模糊向量分别如下所示，试求它们的笛卡儿乘积
x=[0.90.50.2]，y=[0.20.30.61]
解：
由定义，有
=ο
=
=
3．7模糊向量的内积与外积
设有1×n维模糊向量x和1×n维模糊向量y，则定义
为模糊向量x和y的内积。
与内积的对偶运算称为外积。
3.7模糊逻辑推理
1．简单模糊条件语句
对于上面介绍的广义肯定式推理，结论是根据模糊集合和模糊蕴含关系A→B的合成推出来的，因此可得如下的模糊推理关系
式中，R为模糊蕴含关系，“”是合成运算符。
它们可采用以上所列举的任何一种运算方法。
例2-7若人工调节炉温，有如下的经验规则：
“如果炉温低，则应施加高电压”，当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。
解：
设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为
X=Y={1,2,3,4,5}
A表示炉温低的模糊集合
B表示高电压的模糊集合
从而模糊规则可表述为：
“如果x是A，则y是B”。
设为非常A，则上述问题变为
“如果x是，则应是什么”。
为了便于计算，将模糊集合A和B与成向量形式
A=[10.80.60.40.2]，B=[0.20.40.60.81]
由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含关系Kc可用如下模糊矩阵来表示
当=“炉温非常低”=A2=[10.640.360.160.04]时
其中中的每项元素是根据模糊关系矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为
这时，推论结果仍为“高电压”。
2．多重模糊条件语句
1）使用“and”连接的模糊条件语句
在模糊逻辑控制中，常常使用如下的
广义肯定式推理结构
模糊推理关系
与前面不同的是，这里的模糊条件的输入和前提部分是将模糊命题用“and”连接起来
的。
一般情况下可以有多个“and”将多个模糊命题连接在一起。
模糊前提“x是A，则y是B”可以看成是直积空间X×Y上的模糊集合．并记为A×B，其隶属函数为
或者
时的模糊蕴含关系可记为A×B→C，其具体运算方法一般采用以下关系
结论z是，可根据如下的模糊推理关系得到
式中，R为模糊蕴含关系；“”是合成运算符。
它们可采用以上列举的任何一种运算方法。
2）使用“also”连接的模糊条件语句
在模糊逻辑控制中，也常常给出如下一系列的模糊控制规则
这些规则之间无先后次序之分。
连接这些子规则的连接词用“also”表示。
这就要求对于“also”的运算具有能够任意交换和任意结合的性质。
而求并和求交运算均能满足这样的要求。
根据Mizumoto的研究结果，当模糊蕴含运算采用Rc或Rp，“also”采用求并运算时，可得最好的控制结果。
假设第i条规则“如果x是Aiandy是Bi，则z是Ci”的模糊蕴含关系Ri定义为
Ri=（AiandBi）→Ci
其中“AiandBi”是定义在X×Y上的模糊集合Ai×Bi,Ri=（AiandBi）→Ci是定义在X×Y×Z上的模糊蕴含关系。
则所有n条模糊控制规则的总模糊蕴含关系为（取连接词“also”为求并运算）
输出模糊量z（用模糊集合表示）为
此处，或
3．模糊推理的性质
1）性质1
若合成运算“”采用最大—最小法或最大—积法，连接词“also”采用求并法．则“”和“also”的运算次序可以交换，即
2）性质2
若模糊蕴含关系采用Rc和Rp时，则有
例2-8己知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y,输出量为z，其输入/输出关系可用如下两条模糊规则描述：
R1：
如果x是A1andy是B1，则z是C1
R2：
如果x是A2andy是B2，则z是C2
现已知输入为x是andy是，试求输出量z。
这里x、y、z均为模糊语言变量。
解：
由于这里所有模糊集合的元素均为离散量，因此模糊集合可用模糊向量来描述，模糊关系可用模糊关系矩阵来描述。
（1）求每条规则的模糊组合关系Ri=（AiandBi）→Ci（i=1,2）
若此处AiandBi采用求交运算，蕴含关系采用最小运算Rc，则
为便于下面进一步的计算，可将A1×B2的模糊关系矩阵表示成如下的向量
同理可得
2）求总的模糊蕴含关系R
3）计算输入量的模糊集合
（4）计算输出量的模糊集合
最后求得输出量z的模糊集合为
2.3.1模糊控制系统的组成
模糊控制系统由模糊控制器和控制对象组成，如图2-9所示。
图2-9模糊控制系统的组成
2.3.2模糊控制器的基本结构
模糊控制器的基本结构，如图2-9虚线框中所示。
它主要包括以下四个部分。
1．模糊化（fuzzyfication）
模糊化的作用是将输入的精确量转换成模糊化量。
其输入量包括外界的参考输入、系统的输出或状态等。
模糊化的具体过程如下；
（1）首先对这些输入量进行处理，以变成模糊控制器要求的输入量。
例如，常见的情况是计算e=r-y和（式中，r表示参考输入；y表示系统输出；e表示误差）。
有时为了减小噪声的影响，常常对进行滤波后再使用，如可取；
（2）将上述已经处理过的输入量进行尺度变换，使其变换到各自的论域范围；
（3）将已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理，使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合来表示。
2．知识库（knownledgebase）
知识库中包含了具体应用领域中的知识和要求的控制目标制规则库两部分组成。
它通常由数据库和模糊控制规则库两部分组成。
（1）数据库主要包括各语言变量的隶属函数，尺度变换因子及模糊空间的分级数等。
（2）规则库包括了用模糊语言变量表示的一系列控制规则。
它们反映了控制专家的经验和知识。
3．模糊推理（fuzzyreasoning）
模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力程是基于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的。
4．清晰化（defuzzyfication）
清晰化的作用是将模糊推理得到的控制量（模糊量）变换为实际用于控制的清晰量。
它包含以下两部分内容：
（1）将模糊的控制量经清晰化变换，变成表示在论域范围的清晰量；
（2）将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变成实际的控制量。
2.3.3模糊控制的基本原理
1．一步模糊控制算法
模糊控制的基本原理可由图2-10表示，首先把误差信号E的精确量进行模糊量化变成模糊量，误差E的模糊量可用相应的模糊语言表示，得到误差E的模糊语言集合的一个子集（实际上是一个模糊向量）。
再由和模糊控制规则（模糊关系）根据推理的合成规则进行模糊决策，得到模糊控制量为
（2—3—1）
式中，为一个模糊量。
图2-10模糊控制原理框图
为了对被控对象施加精确的控制，还需要将模糊量转换为精确量，即非模糊化处理（亦称清晰化）。
得到了精确的数字控制量后，经数模转换变为精确的模拟量送给执行机构，对被控对象进行控制。
模糊控制算法的四个步骤：
（a）根据本次采样得到的系统的输出值，计算所选择的系统的输入变量；
（b）将输入变量的精确值变为模糊量；
（c）根据输入变量（模糊量）及模糊控制规则，按模糊推理合成规则计算控制量（模糊量）；
（d）由上述得到的控制量（模糊量）计算精确的控制量。
2．模糊自动控制系统的工作原理
（1）确定模糊控制器的输入变量和输出变量
（2）选择描述输入变量及输出变量的语言值的模糊子集，如
{负大，负小，0，正小，正大}
（3）用语言描述模糊控制规则，如可归纳如下：
（a）若e负大，则u正大；
（b）若e负小，则u正小；
（c）若e为零，则u为零；
（d）若e正小，则u负小；
（e）若e正大，则u负大。
上述控制规则也可用英文写成如下形式：
（a）ife=NBthenu=PB
or
（b）ife=NSthenu=PS
or
（c）ife=Othenu=O
or
（d）ife=PSthenu=NS
or
（e）ife=PBthenu＝NB
（4）写出模糊控制规则的矩阵形式
模糊控制规则实际上是一组多重条件语句，它可以表示为从误差论域X到控制量论域Y的模糊关系。
如根据多重模糊条件语句
将模糊关系写为
（5）模糊决策
即求解出模糊控制器的控制量
（6）将控制量的模糊量转化为精确量
如按照隶属度最大原则
画出一维模糊控制器的动态响应域，并依次说明其与传统PID的哪些作用相对应
图2-12一维模糊控制器的动态响应域
模糊控制器的设计包括哪几项内容？
答：
（1）确定模糊控制器的输入变量和输出变量（即控制量）；
（2）设计模糊控制器的控制规则；
（3）确立模糊化和非模糊化（又称清晰化）的方法；
（4）选择模糊控制器的输入变量及输出变量的论域并确定模糊控制器的参数（如量化因子、比例因子），
（5）编制模糊控制算法的应用程序；
（6）合理选择模糊控制算法的采样时间。
1．模糊控制器的结构设计
模糊控制器的结构设计是指确定模糊控制器的输入变量和输出变量的个数。
通常将模糊控制器输入变量的个数称为模糊控制的维数。
图2-13模糊控制器的结构
2．模糊控制规则的设计涉及哪些方面的内容
答：
（1）选择描述输入和输出变量的词集
（2）定义各模糊变量的模糊子集
（3）建立模糊控制器的控制规则
常见的模糊条件语句及其对应的模糊关系R概括如下：
（a）“若A则B”（即ifAthenB）
R=A×B（2—3—6）
例句：
“若水温偏低则加大热水流量。
”
（b）“若A则B否则C"（即ifAthenBelseC）
（2—3—7）
例句：
“若水温高则加些冷水，否则加些热水。
”
（c）“若A且B则C”（即ifAandBthenC）
（2—3—8）
这条语句还可以表述为，
“若A则若B则C”（即ifAthenifBthenC）
（2—3—9）
例句：
“若水温偏低且温度继续下降，则加大热水流量。
”
（d）“若A或B且C或D则E”（即ifAorBandCorDthenE）
（2—3—10）
例句：
“若水温高或偏高且温度继续上升快或较快，则加大冷水流量。
”
（e）“若A则B且若A则C”（即ifAthenBandifAthenC）
（2—3—11）
这条语句还可以表述为：
“若A则B、C”（即ifAthenB，C）
例句，“若水温已到，则停止加热水、停止加冷水。
”
（f）“若A1则B1或若A2则B2"（即ifA1thenB1orifA2thenB2）
（2—3—12）
例句：
“若水温偏高则加大冷水流量，或若水温偏低则加大热水流量。
”
这条语句还可以表述为：
“若A1则B1否则若A2则B2"（即ifA1thenB1elseifA2thenB2）
下面以手动操作控制水温为例，总结一下手动控制策略，从而给出一类模糊控制规则。
设温度的误差为E、温度误差的变化为CE，热水流量的变化为CU。
假设选取E及CU的语言变量的词集均为
{NB，NM，NS，NO，PO，PS，PM，PB}
选取CE的语言变量词集为
{NB，NM，NS，O，PS，PM，PB}
将操作者在操作过程中要遇到的各种可能出现的情况和相应的控制策略汇总为表2-4。
下面说明建立模糊控制规则表的基本思想。
首先考虑误差为负的情况，当误差为负大时，若当误差变化为负，这时误差有增大的趋势，为尽快消除已有的负大误差并抑制误差变大，所以控制量的变化取正大。
3．用图说明精确量的模糊化方法原理，并写出模糊化前后变量之间的对应关系
模糊化一般采用如下两种方法：
（1）把精确量离散化
一般情况，如果把[a，b]区间的精确量z，转换为[-n，+n]区间的离散量y——模糊量，其中n为不小于2的正整数，如图2-17所示，由及，易推出
即
对于离散化区间的不对称情况，如[-n，+m]的情况，上式变为
图2-17模糊化方法图示
（2）第二种方法更为简单，它是将在某区间的精确量x模糊化成这样的一个模糊子集，它在点x处隶属度为1，除x点外其余各点的隶属度均取0——单点模糊集。
4．模糊推理及其模糊量的非模糊化方法
（1）MIN—MAX一重心法
考虑以下模糊推理形式：
（2—3—16）
由前提“x0andy0”和各模糊规则“AiandBiCi（i=1,2,…,n”）可以得到推理结果为
（2—3—17）
其中，∧表示min。
（12—2—12）式的最终结论是由综合推理结果,,…,得到的，即
（2—3—18）
其中，∨表示max。
上述推理过程如图2-18所示。
模糊集合的“重心”可由下式计算
MIN—MAX—重心法是有名的Mamdani推理法，其实质是加权平均法，其加权系数为。
（2）代数积—加法—重心法
上述的MIN—MAX—重心法推理过程采用了min和max的强非线性运算，所以推理过程不够直观，用代数积取代min且用加法取代max更符合直观，这样就构成了代数积—加法—重心法。
由代数积—加法—重心法求结论的方法如图2-19所示。
各推理结果，由于采用代数积，则有
（2—3—20）
综合结果采用加法，则得
（2—3—21）
再根据（2—3—19）式求出模糊集合的重心值z0。
代数积—加法—重心法在综合时不是使用max运算，而是使用加法，因此它具有如下性质：
（a）利用代数积—加法—重心法，可以获得线性推理结果，可以实现PID控制，即PID控制是模糊控制的特殊情况。
（b）通常的模糊推理法是用于内插推理，而采用代数积—加法—重心法的模糊规则前件的隶属函数取正、负值时，可实现外插推理。
（c）采用代数积—加法—重心法时，同样的模糊规则可以使用几次，起到“强调效果”。
并且，模糊规则的后件可以用“负”的隶属函数表示，起到“抑制效果”。
（3）模糊加权型推理法
将式（2—3—16）中规则的结论变为形式，则有
（2—3—22）
其中是构成模糊集合的一个元素，而表示权重，并不表示的等级，应看作模糊规则自身的加权，可以将解释为模糊规则的“重视度”或“重要度”。
当时，模糊规则变为AiandBizi，称为简化推理法，具有计算简单、推理速度快的特点；当时，表示对模糊规则AiandBizi的强调；当时，表示对规则的抑制。
将事实“x0andy0”和各模糊规则的前件“AiandBi”的适合度定义为
（2—3—23）
则最终的结论z0可将规则后件z1，…，zn以及在各适合度h1，…，hn中带上权重，…，，由加权平均求得，即
（2—3—24）
（4）函数型推理法
将简化推理法规则的后件部分的常数zi扩展为函数，即为函数型推理法，
（2—3—26）
其中,函数是fi：
X×Y→Z的函数，为简单起见，一般常取为一次函数
（2—3—27）
最终的推理结论z0类同于简化推理法，即为
（2—3—27）
其中hi的定义同（2—3—23）式。
（5）加权函数型推理法
作为模糊加权型推理法的一般形式，将上述的函数推理法中的函数fi（x,y）附加以权函数，则变为如下形式的加权函数型推理法：
（2—3—28）
推理结论z0可由下式计算
（2—3—29）
一般情况，权重函数是：
X×Y→[0,∞）的非负函数，当时就还原为函数型推理法。
（6）选择最大隶属度法
选取模糊子集中隶属度最大的元素作为控制量，例如模糊子集为C，所选择的隶属度最大的元素应满足
I
若仅为一个，则选择该值作为控制量。
若有多个，且≤≤…≤，则取它们的平均值，或取[，]的中点（+）/2作为控制量。
（7）取中位数法
选取求出模糊子集的隶属函数曲线和横坐标所围成区域的面积平分为两部分的数，作为非模糊化的结果。
6．模糊控制查询表及算法流程图
图2-23模糊控制算法流程图
7．试由香农（Shannon）采样定理推导采样周期的上限为
并说明的含义。
①Fuzzy条件推理
在Fuzzy自动控制中，应用较多的是Fuzzy条件推理
Fuzzy条件语句的一般表达形式为：
“若……，则……，否则……”
其逻辑结构为：
这种逻辑结构可用图来表示，其中是论域x的Fuzzy子集，是论域Y的Fuzzy子集。
图中的阴影部分表示
这也是一种Fuzzy关系，它是XY的子集
即标为Fuzzy关系矩阵。
矩阵中各元素可按下式求得：
这样，当输入为时，就可求出输出为
==[]
e.g.1已知Fuzzy条件语句为“若x[轻]，则y[重]，否则y[不很重]”
如今x[很轻]，试问y将如何？
其中论域X=[]，Y=[]
解：
①先求Fuzzy矩阵=
=[10.2][（1-1）0.96]=0.20=0.2
=[0.21][（1-0.2）0]=0.20=0.2
②根据Fuzzy关系的合成，求输出
==[10.640.360.160.04]
=[0.360.40.60.81]
这表示=
用Fuzzy语言表示时，即是“y近似于[重]”。
作业3
e.g.2Fuzzy条件语句为“若x轻，则y重，否则y不很重”。
试问：
①若x是[重]时，y如何？
②若x是[很很重]时，y又如何？
解：
与上例同理，利用上例所得的Fuzzy关系矩阵可以推出：
1）若x是重时，即
时
则==[0.80.80.640.60.6]
此时表示，y的Fuzzy子集为=
即输出“y近似于[不很重]”
2）若x是[很很重]时，同理可推出的子集为
=
即输出“y近似于[较轻]”。
==[0.00160.02560.12960.40961]R
=
2.一个Fuzzy子集度量法
如果是论域U上的一个Fuzzy子集，对它本身，如果还想用海明距离来表征的话，必须先定义一个与最靠近的普通集合，用表示，其隶属函数，可按如下方式确定：
3-32
且定义为的线性Fuzzy度。
式中系数2是保证
欧式距离的定义如下：
（1）设和为论域U中的两个Fuzzy子集，其绝对欧式距离定义为：
相对欧式距离为
3-35
（2）现定义：
为“欧式Fuzzy度”
其中是和最贴近的普遍子集。
海明距离
21
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