北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》45相似三角形判定定理的证明同步练习及答案.docx
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北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》45相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
相似三角形判定定理的证明（典型题）
知识点1 证明相似三角形判定定理
图4－5－1
1．如图4－5－1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．如图4－5－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝（ ）
A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶2
图4－5－2
图4－5－3
3．如图4－5－3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
知识点2 相似三角形判定的综合应用
5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6m，则池塘的宽DE为（ ）
A．25mB．30mC．36mD．40m
图4－5－4
图4－5－5
6．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，该梯子的长是________．
7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：
AD·BC＝AC·BE.
图4－5－6
8．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：
△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
图4－5－7
9．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2＝AD·AEB．AD2＝AF·AB
C．AE2＝AF·ADD．AD2＝AE·AC
图4－5－8
图4－5－9
10．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．
11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．
图4－5－10
12．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.
（1）如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：
AC2＝AF·BE；
（2）如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF的长．
图4－5－11
13．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：
在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？
如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．
图4－5－12
14．如图4－5－13，已知直线l的函数表达式为y＝－
x＋8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出
（2）中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．
图4－5－13
详解
1．B 2.D
3．C [解析]由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，结合∠ADE＝∠EFC可得出∠B＝∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE＝BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝
DE，再根据CF＝BC－BF＝
DE＝6，所以DE＝10.
4．解：
已知：
如图，在△ABC中，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.
求证：
△ADE与△ABC相似．
证明：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
过点D作DF∥AC交BC于点F，
又∵DE∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，
∴
＝
＝
，
∴
＝
＝
.
而∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC.
5．C.
6．4.4m
7．证明：
∵AD⊥BD，AE⊥BE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.
在△ACD和△BCE中，
∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，∴
＝
，
∴AD·BC＝AC·BE.
8．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.
（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝
＝13，AD＝AB＝12.
∵F是AM的中点，∴AF＝
AM＝6.5.
∵△ABM∽△EFA，∴
＝
，
即
＝
，∴EA＝16.9，
∴DE＝EA－AD＝4.9.
9．B
10．7.
11．解：
∠ABD＝∠ACE.理由如下：
∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB∶AD＝AC∶AE，
即AB∶AC＝AD∶AE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.
12．解：
（1）证明：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B.
∵∠BEC＝∠ACE＋∠A，∠ACF＝∠ACE＋∠ECF，∠ECF＝∠A，
∴∠ACF＝∠BEC，
∴△ACF∽△BEC，∴
＝
，
∴AC2＝AF·BE.
（2）∵∠A＝60°，AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠ECF，
∴∠ACE＝∠FCB.
又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE，∠F＝∠ABC－∠FCB，∴∠ECB＝∠F.
又∵∠ABC＝∠A，
∴△ACF∽△BEC，
∴
＝
，∴AF＝
，
∴BF＝AF－AB＝
.
13．解：
存在．
①若△PCD∽△APB，则
＝
，即
＝
，解得PD＝2或PD＝12；
②若△PCD∽△PAB，则
＝
，即
＝
，解得PD＝5.6.
∴当PD的长为2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
14．解：
（1）在y＝－
x＋8中，
当x＝0时，y＝8；
当y＝0时，x＝6.
故点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．
（2）在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.
由题意易知BQ＝2t，AQ＝10－2t，AP＝t.
在△AOB和△AQP中，∠BAO＝∠PAQ，
第一种情况：
当
＝
时，△APQ∽△AOB，
即
＝
，解得t＝
；
第二种情况：
当
＝
时，△AQP∽△AOB，
即
＝
，解得t＝
.
故当t为
或
时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．
（3）∵以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似，
∴当t＝
时，
＝
，解得PQ＝
；
当t＝
时，
＝
，解得PQ＝
.
故当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是
或
.
4.5相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1.下列语句正确的是（）
A.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则⊿ABC和⊿A′B′C′不相似;
B.在⊿ABC和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B′=10,则⊿ABC∽⊿A′B′C′;
C.两个全等三角形不一定相似;
D.所有的菱形都相似
2.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且
＝
，AE＝BE，则有（ ）A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
（3题）（4题）
3．已知：
如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.三角形三边之比为3:
5:
7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为（）
A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm
5.可以判定
∽
，的条件是（）
A.∠A=∠
=∠
B.
，且∠A=∠
C.
且∠A=∠
D.以上条件都不对
二、填空题
6.已知一个三角形三边长是6cm，7.5cm，9cm，另一个三角形的三边是8cm，10cm，12cm，则这两个三角形（填相似或不相似）
7.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________
8.四边形ABCD∽四边形A,B,C,D,∠A=70度，∠B,=108度，∠C,=92度则∠D=_______
9.在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使⊿CBF∽⊿CDE，则BF的长为________
三、计算题
10.已知：
如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
求证：
⊿ADQ∽⊿QCP．
11.⊿ABC中,AD、CE是中线,∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.
参考答案
一、选择题
1.B2.B3.C4.B5.D
二、填空题
6.相似7.728.∠D=9009.1.8
三、10.证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC=
BC=
CD，DQ=
CD，即：
DQ:
PC=2:
1
QC:
AD=2:
1加上直角相等可证相似。
11.等腰三角形。
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