已知三角函数值求角PPT课件.ppt
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正弦、余弦函数和正切函数的图像和性质,知识回顾,时,,时,,时,,时,,增函数,减函数,增函数,减函数,对称轴:
对称中心:
对称轴:
对称中心:
奇函数,偶函数,1.正切函数的性质:
定义域:
值域:
周期性:
正切函数是周期函数,周期是,奇偶性:
奇函数,单调性:
对称中心是,对称性:
已知直角三角形中两条直角边的差是7cm,斜边的长是13厘米,求较小锐角的个三角函数。
解:
设较小直角边为x可得x2+(x+7)(x+7)=1313解得x=5所以sinA=5/13cosA=12/13tanA=5/12,如果将所给角的范围扩大,问题应该怎么处理?
1.3.3已知三角函数值求角,sin=y/r,cos=x/r,tan=y/x,知识与能力,过程与方法,会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示角。
当x为特殊的三角函数值时,会求符号arcsinx,arccosx,arctanx的值。
使学生更加深刻地认识函数与方程的关系。
培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。
情感态度与价值观,通过本节的学习,让学生认识到事物间是相互联系、相互依存的关系,抓住了事物间的内在联系,就能更加清楚地认识事物的有序结构。
已知三角函数的值求角,重点,难点,符号arcsinx,arccosx,arctanx所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。
1、利用arcsinx所表示角的意义求值,解唯一,角的范围决定解的个数,例1.
(1)已知,且,求x;,
(2)已知,且,求x的取值集合.,可知符合条件的角有且只有一个,即,于是,所以x的集合是,根据正弦函数的图像的性质,为了使符合条件sinx=a,在这个闭区间上,符合条件sinx=a(-1a1),其中x-/2,/2,且a=sinx。
(-1a1)的角x有且只有一个,的角x,叫做实数a上网反正弦,记作arcsina,,即x=arcsina,,例2、已知余弦值和正切值,求角,已知cosx=-2/2,且x0,2),求x的取值集合。
解:
因为余弦函数值是负值,所以x是第二或第,cos(/4+)=-cos/4=-2/2,三象限的角,由,cos3/4=-cos/4=-2/2,可知,所求符合条件的第二象限的角x=3/4,又由,2、已知余弦值和正切值求角,因此,所求角x的取值集合为3/4、5/4,x只有唯一值与之对应。
可知,在区间0,2内符合条件的第三象限的角,x=/4+=5/4,由此可以看出,函数y=cosx在区间0,2)上,,对y(-1,1)的任意一个值,有两个角x与之,对应,如果考虑自变量x在整个定义域(-,),上取值,那么对区间-1,1上的任意一个值y,,arccos(-2/2),2-arccos(-2/2),在区间0,上符合条件cosx=y(-1y1),的角x,记为,x=arccosy,所以,以上的例子的集合就可以表示为,例3、
(1)已知cosx=-0.7660,且x0,求x;,
(2)已知cosx=-0.7660,且x0,求x的取值的集合,解
(1)cosx在x0,是减函数,且cosx=-0.7660,满足条件的角有且只有一个,x属于(/2,),又cos(x)=-cosx=-0.7660,-x=2/9(=40),即x=-2/9=7/9,
(2)已知cosx=-0.7660,且x0,2,求x的取值集合,解:
cosx=-0.76600x是第二或第三象限角。
又cos(+2/9)=cos(-2/9)=cos7/9=-cos2/9=-0.7660,x=+2/9=11/9或x=-2/9=7/9,x的取值集合为7/9,11/9,根据余弦函数的图像的性质,为了使符合条,的角x,叫做实数a的反余弦,,记作arccosa,即x=arccosa,其中x0,,且a=cos。
件cosx=a(-1a1)的角x有且只有一个,,在这个闭区间上符合条件cosx=a(-1a1),
(2)已知cosx=-0.7660,且x0,2,求x的取值集合,解:
cosx=-0.76600x是第二或第三象限角。
又cos(+2/9)=cos(-2/9)=cos7/9=-cos2/9=-0.7660,x=+2/9=11/9或x=-2/9=7/9,x的取值集合为7/9,11/9,也可以写作,例4、已知tanx=-3/3,且x(-/2,/2).求x的值,数,所以正切值等于=-3/3的角x有且只有一个由,,解:
因为正切函数在区间(-/2,/2)上是增函,tan(-/6)=-tan/6=-3/3,可知所求的角x=-/6.,一般的,如果tanx=y(yR),且x(-/2,/2),那么对每一个正切值y,在开区间(-/2,/2)内,有且,只有一个角x,使tanx=y,记为,X=arctanyx(-/2,/2),例5、已知tanx=1/3,且x(-/2,/2),求x(精确到0.1),
(2)已知tanx=1/3,且x(-/2,/2),求x的取值集合,解:
(1)tanx在x(-/2,/2)是增函数,且tanx=1/3,符合条件的角有且只有一个x=1826(或/10),
(2)tanx=1/30,x是第一或第三象限角。
x0,2x=/10或/10+,x的取值集合/10,11/10,根据正切函数图像的性质,为了使符合条件,tanx=a(aR)的角x有且只有一个,我们选择,(-/2,/2)作为基本的范围。
在这个区间上,符合条件tanx=a(aR)的角,x,叫做实数的反正切,记作arctana,即x=arctana,,其中x(-/2,/2),且a=tanx。
已知角x的一个正弦函数值求角x,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值范围来确定,这个范围在题目中是给定的。
如果在这个范围内已知三角函数值的角不止一个,其解法可分为以下几个步骤:
(1)确定角x所在的象限;,
(2)若函数值为正,先求出对应的锐角;若函数值为负,先求出与函数值的绝对值对应的锐角;(3)根据x所在的象限,得出0-2间的角x:
若x在第一象限,则x=;若x在第二象限,则x=-;若x在第三象限,则x=+;若x在第四象限,则x=2-.(4)如果要求适合条件的所有的角,则利用终边相同的角的表达式写出.,结论,1、arcsina中,-1a1,-/2arcsina/2,,2、在-/2arcsina/2中,有唯一的一个角,与实数a对应,3、sin(arcsina)=a,a-1,1,4、arccosa中,-1a1,0arccosa,,5、在0arccosa中,有唯一的一个角与实数,6、cos(arccosa)=a,a-1,1,7、arctana中,a-/2arctana/2,,8、在-/2arctana/2中,有唯一的一个角与,9、tan(arctana)=a,aR,a对应,实数a对应,1、表示什么意思?
表示上正弦值等于的那个角,即角,,故,4、已知,求x,5、已知,求x的取值集合,6、已知,求x的取值集合,7、若,则x的值(),8、若集合且,则x的值为,B,1、已知求x。
解:
(1)根据正切函数,是单调增函数和,2、略,练习A(60页),