中考数学系统复习 第四单元 第13讲 角相交线与平行线8年真题训练练习.docx

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中考数学系统复习第四单元第13讲角相交线与平行线8年真题训练练习

第四单元　图形的初步认识与三角形

第13讲　角、相交线与平行线

命题点1　角及角的计算

1.（2017·河北T3·3分）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（C）

A　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

2．（2011·河北T2·2分）如图，∠1＋∠2等于（B）

A．60°B．90°C．110°D．180°

3．（2012·河北T14·3分）如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝52°．

命题点2　平行线的性质与判定

4．（2015·河北T8·3分）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（C）

A．120°B．130°C．140°D．150°

5．（2018·河北T11·2分）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（A）

A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°

6．（2013·河北T19·3分）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝95°.

重难点1　以方向角为背景的角的计算

　有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．

（1）如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；

（2）如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．

图1

图2

【自主解答】解：

（1）根据题意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°.

∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°.

∵BM∥AD，∴BM∥EG.

∴∠ECB＝∠CBM＝25°.

∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.

（2）过点C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°.

∵AD∥BE，∴BE∥CM.

∴∠BCM＝∠CBE＝50°.

∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°.

【变式训练1】（2018·石家庄裕华区模拟）如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（A）

A．80°B．90°C．100°D．105°

【变式训练2】（2018·邢台模拟）海平面上，有一灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（A）

A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4

用方向角描述方向时，一般先以参照点画“十字”，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．

若AB∥CD，则

对于图1有：

∠BED＝∠B＋∠D；

对于图2有：

∠B＋∠D＋∠BED＝360°；

对于图3有：

∠B＝∠BED＋∠D；

对于图4有：

∠B＝∠D＋∠BED.

重难点2　以三角板和直尺为背景的角的计算

　有一个直角三角板与一把直尺，将它们按图所示的位置摆放．

1．将直角三角形的直角顶点放在直尺的一条边上．

（1）（2018·十堰）如图1，若∠1＝28°，则∠2的度数是（C）

A．62°B．108°C．118°D．152°

（2）（2018·唐山路北区模拟）如图2，若∠1＝42°，求∠2的度数．以下排乱的推理过程：

①∵∠1＝42°；②∵a∥b；③∴∠3＝90°－42°＝48°；④∴∠2＝48°；⑤∴∠2＝∠3.推理步骤正确的顺序是（B）

A．①③②④⑤B．①③②⑤④

C．①⑤②③④D．②③①④⑤

2．将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．

（1）（2018·绵阳）如图3，如果∠2＝44°，那么∠1的度数是（C）

A．14°B．15°C．16°D．17°

图3

（2）（2018·枣庄）如图4，若∠1＝20°，则∠2的度数为（D）

A．20°B．30°C．45°D．50°

图4

【变式训练3】（2018·淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（C）

A．35°B．45°C．55°D．65°

【变式训练4】（2018·海南）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（A）

A．10°B．15°C．20°D．25°

利用平行线的性质，结合直角三角板的特殊角，把已知角与未知角转移成有同一个顶点的直角或平角，或把未知角转化到含有已知角的三角形中，利用三角形内角和定理或外角推论是解决这类问题的通法．

重难点3　平行线的判定

　一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．

（1）如图1，α＝15°时，DE∥BC；

（2）请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．

　　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3

【自主解答】解：

当α＝60°时，BC∥DA.

∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°.

∴∠DAC＋∠C＝180°.∴BC∥DA.

当α＝105°时，BC∥EA.

∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°.

∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B.

∴BC∥EA.

【变式训练5】（2018·唐山乐亭县模拟）如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述哪个正确（C）

A．L1和L3平行，L2和L3平行B．L1和L3平行，L2和L3不平行

C．L1和L3不平行，L2和L3平行D．L1和L3不平行，L2和L3不平行

【变式训练6】　（2018·河北模拟）如图，下列条件不能判断AD∥BC的是（A）

A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4

C．∠7＝∠8D．∠5＋∠4＋∠1＋∠8＝180°

已知角的大小，判断两直线平行时：

（1）先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么角；

（2）再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行．

有些复杂图形，识别角的位置关系易产生错误，故应牢记“三线八角”的基本模型．

重难点4　点到直线的距离或两平行线的距离

　定义：

如图，直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（C）

A．2B．3C．4D．5

提示：

如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1，a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1，b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1，M2，M3，M4，一共4个．

【变式训练7】如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：

①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；③“距离坐标”是（a，a）（a为非负实数）的点有4个．其中正确的有（B）

A．0个B．1个C．2个D．3个

到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上，同时满足两个条件的点通常为分别满足两个条件的两条直线交点．

容易考虑不全，仅仅得到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的一条直线上，从而造成丢解．

1．（2018·冀卓模拟）下列图形中，MN的长为点M到直线a的距离的是（C）

2．（2018·长沙）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（D）

3．（2018·邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为（D）

A．20°B．60°C．70°D．160°

4．（2018·郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（D）

A．∠2＝∠4B．∠1＋∠4＝180°

C．∠5＝∠4D．∠1＝∠3

5．（2018·广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（B）

A．∠4，∠2B．∠2，∠6

C．∠5，∠4D．∠2，∠4

6．（2018·天门）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝1∶2，则∠DBC的度数是（D）

A．30°B．36°C．45°D．50°

7．（2018·德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（A）

A．图1B．图2C．图3D．图4

8．（2018·保定莲池区模拟）如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（B）

A．100°B．80°C．50°D．20°

9．【分类讨论思想】（2018·铜仁）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（C）

A．1cmB．3cmC．5cm或3cmD．1cm或3cm

10．（2018·昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为150°42′．

11．（2018·北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c＝－1．

12．（2018·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°．

13．（2018·湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为∠A＋∠ABC＝180°或∠C＋∠ADC＝180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE（任意添加一个符合题意的条件即可）．

14．（2018·潍坊）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（C）

A．45°B．60°C．75°D．82.5°

15．（2018·恩施）如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为（A）

A．125°B．135°C．145°D．155°

16．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75.5°．

17．（2018·贵港）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M.若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为70°．

18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，

第一次操作：

将纸带沿EF折叠成图b；则∠CFE＝156°；

第二次操作：

沿纸带BF折叠成图c；则∠CFE＝108°；

第三次操作：

将纸带沿EF折叠，第四次操作：

沿BF折叠得到的∠CFE的度数是60°；

如果按照这样的方式再继续下去，直到不能为止，那么先后一共的次数7．