弹性力学简明教程习题解答.docx
《弹性力学简明教程习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学简明教程习题解答.docx（48页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
弹性力学简明教程习题解答
【2-9】【解答】图2-17:
上（y=0）
左（x=0）
右（x=b）
l
0
-1
1
m
-1
0
0
fxs
0
gyh1
gyh
fys
gh1
0
0
代入公式（2-15）得
①在主要边界上
x=0,x=b上精确满足应力边界条件：
xx0
g（yh）,xyx0o；xxbg（yhj,Xyxbo；
②在小边界y
0上，能精确满足下列应力边界条件：
ygh,xy0
yy0D'xyy0
③在小边界y
uyh0,vyh0h2上，能精确满足下列位移边界条件：
yh2yh2
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板
厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：
Fs0,Fnggb,M0
由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
b
ykdxg^b
0yyh21
b
y‘xdx0
oyyh2
b
xyhdx0
oxyyh2
⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
i
m
fx（s）
fy（s）
h
72
0
-1
0
q
h
y2
0
1
-q1
0
②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：
负面上应力
与面力符号相反，有
h/2
h/2（xy）x°dX
h/2
（x）xodx
h/2x/x0
h/2
h/2（x）x°ydx
Fn
③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux|0,vx|
0这两个位移边界条件也可
改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示,
列平衡方程求反力:
Fx0,FnFnq-l
FNqil
Fn
Fy0,FsFsql0
qi
Ma0,MM'Fsl-ql2-qilh
22
q」h
由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，
h/2
h/2（
x）xidyFn
qil
Fn
h/2
h/2（
x）xiydyM
Fsl
ql2
2
h/2
h/2（
xy）xidyFs
qlFs
【2-10】【解答】由于h?
l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的
应力边界条件：
x
（a）上端面OA面上面力fx0,fyq
b
由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
b
b—
bx
qb
0
y
ndxfydx
y00y
qdx
0b
2
b
b—
bxb
0
y
cxdxfyxdx
y00y
q
0b2
xdx
b
0
yx
dx0
y0
qb2
12
（对OA中点取矩）
b
yy0dxFN
qb
0
2
b
yy0xdxM
qb2
0
12
b
0
xyy0dx0
y向为正，主矩为负，则
综上所述，在小边界
0A上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：
（1）平衡微分方程（2-2）；
（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fxfy0
xyx
y一o显然满足
‘x
（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（
2-21），有
22
等式左=22
xy
y=70=右
应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。
【解答】
（1）推导公式
在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为
1，高为h的矩形，其对中性
轴（Z轴）的惯性矩|
h3
—，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程
12
M（x）肿
2
药。
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:
21
3
xy
xy
3Fsx
2bh
4y2
h2
2
寮津h24y2。
4Ih
根据平衡微分方程第二式（体力不计）
xy
0得:
x
3qxyy"2.lh
根据边界条件yyh/2
3qxy
"2._ih
将应力分量代入平衡微分方程（2-2）
2
xy左6q.3"
lh3
2
cxy门
6q?
0
lh3
右满足
第二式
自然满足
将应力分量代入相容方程（2-23）
xyxy
12q-p12q.|h3
应力分量不满足相容方程。
故，该分量组分量不是图示问题的解答。
Fx，
【2-18【解答】
（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M（x）
横截面对中性轴的惯性矩为
Iz
h3/i2，根据材料力学公式
弯应力
M（x）y
Iz
哮xy；该截面上的剪力为Fsx
h
剪应力为
xy
Fs（x）S
biz
Fh,h/2y
1h3/122727
6F
y2
取挤压应力y
（2）将应力分量代入平衡微分方程检验
第一式：
左
12Fy0右第二式：
左=0+0=0=右
hh
该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程
左2（xy）0右满足相容方程
（4）考察边界条件
①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件（2-15）
l
m
fx
y
h上
2
0
-1
0
0
y
h上
2
0
1
0
0
代入公式（2-15），
得
yy
-h/20,
xyyh/2
0・
yyh/2
0,
yxyh/20
②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩
h/2
h/2（
x）xody
0x向面力主矢
h/2
h/2（
x）xoydy
o面力主矩
h/2
h/26Fh22
Fy向面力主矢
h/2（
xy）xody
r（y）dy
h/2h34
满足应力边界条件
③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩,
FnO,FsF,MFl
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效:
h/2
h/212F
h/2（x）x
idy
3lydy0h/2h3
Fn
h/2
h/212F2
（x）xh/2'x/x
iydy
3lydyh/2h3
Fl
M
h/2
2
h/26Fh2
h/2（xy）x
idy
3y
h/2h347
dy
f
满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
【3-4】【解答】⑴相容条件
不论系数a取何值，应力函数
⑵求应力分量
ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式（2-25）.
当体力不计时，将应力函数
代入公式（2-24），得
x6ay,y0,xyyx0
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力
左右边界上;
当a>0时，考察
x分布情况，注意到
xy0，
故y向无面力
左端：
£（x）x0
6ay
右端:
fx
6ay
（0y
h）
（xy）xl0
应力分布如图所示,
h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢,
主矩
主矢的中心在矩下边界位置。
即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e:
因为在A点的应力为零。
设板宽为b,集中荷载p的偏心距e：
（x）Abhb^
0eh/6
同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。
【3-5】【解答】
（1）
由应力函数
2
axy，
得应力分量表达式
x0,y2ay,xy
yx
2ax考察边界条件,
由公式（
2-15）
①主要边界,
上边界
②主要边界,
下边界
h
—上，面力为fx（y
2
h
h）
2ax
③次要边界,
左边界
（lx
（my
x向主矢:
主矩：
M
次要边界,
y向主矢:
主矩：
M
hh、
2，面力为fx（y2
2ax,
x=0上，面力的主矢，主矩为
h/2
h/2（x）x0dy0，y向主矢:
h/2
h/2（x）x°ydy0
右边界
Fy
h/2
x=l上，面力的主矢，主矩为
h/2
h/2（xy）xldy
h/2
h/2（2呗
Fy
向主矢:
2alh
yx）s
xy）s
fx（s）
fy（s）
匕）ah
2
h
fy（y-）ah
fy（y
h/2（xy）x0dy0
Fx
h/2
h/2（x）xldy0
h/2
h/2（x）xlydy0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢,
2
⑵bxy，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式
考察应力边界条件，主要边界，由公式
（2-15）得
在y-主要边界，上边界上，面力为
bh,fyy
在y-，下边界上，面力为
2
bh,fyy
在次要边界上，分布面力可按（2-15）
计算,
面里的主矢、
主矩可通过三个积分边界条件
求得:
在左边界x=0,面力分布为fxx0
0,fy
2by
面力的主矢、
主矩为
h
2
h
2
x°dy
Fy
h
2
h
2
xy
h
2
h
2
2byx0dy
Fy'
h/2
h/2（
x）x°ydy
x=l上，
面力分布为
h/2
h/2
主矩:
x6cxy,
2bl,fy
xy
Fx
h/2
2by,,,
面力的主矢、
主矩为
h/2
h/2
xxldy
h/2
h/22b|dy
2blhy
向主矢
xldy
h/2
h/2
h/2
2bydy0
h/2
ydyh/22blydy
3
cxy，将应力函数代入公式
2-24），
应力分量表达式
y0,xyyx3cY
考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（
2-15）
h—
①上边界y上’面力为f
-ch2,f
4
②下边界y=-上，面力为Lyh
22
3ch2,f
4
6cly,fyxI
3cy2
次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得:
仁x
0
0,f；
x03cy
2
面力的主矢、
主矩为
x向主矢:
Fx
h/2
h/2xxO
dy0
y向主矢:
h/2
h/2
3cy2dy
Fy
h/2xyx0
dy
h/2
主矩：
h/2
M
-h/2
xx0ydy
0
③左边界x=0上，面力分布为
Lch
4
④右边界xI上，面力分布为fxxl
面力的主矢、主矩为
x向主矢Fx
h/2
h/2
xxidy
h/2
h/26clydy0
h/2h/2213
y向主矢：
Fyyidy3cydych
yh/2yxI，h/2J）4
h/2h/2213
主矩：
Mxx丨ydy6clydyclh
h/2Xx1，，h/2，）2
弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示
【3-6】【解答】
（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
44
0，显然满足
yx
2—
422
xxy
（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式
12Fxy0
x.3，y0，xy
h
（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:
①在主要边界上（上下边界）上,
应精确满足应力边界条件式（
2-15），应
yyh/20,yxyh/20
因此，在主要边界y—上，无任何面力，即
2
fxy
0,fy
②在x=0,x=l的次要边界上，面力分别为:
x0：
-x0,-y亚1电
2hh
xl:
fx
12Fly-
3,fy
h
3F
2h
4y2
h2
因此，各边界上的面力分布如图所示:
【3-7】【解答】⑴
将应力函数
代入式
2-25）
12qy
h3
24qy
h3
代入（2-25），可知应力函数
满足相容方程。
（2）将
代入公式
（2-24），求应力分量表达式：
xyyx
fxX
6qx2y4qy33qy行覇，y
fyy
2（-3-
箒丁y2）
③在x=0,x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:
x=0上
x=l上
X向主矢：
h/2
h/2
FNi=
h/2
■dy
0,
Fg
h/2
fxdy0
y向主矢：
h/2
h/2
Fs二
h/2
fydy
F,
Fs2
h/2
fydyF
主矩：
M
h/2
h/2
1=
1-h/2
■yd
ly0,
m2
h/2
fxydyFl
（3）考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力:
①在主要边界
-（上面），应精确满足应力边界条件
2
2-15）
在主要边界
fxyh/2
在次要边界
yxyh/20,fyy
F面，也应该满足
0,fyyh/2
yxyh/2
0上，分布面力为
3qy4qy3
xx03
5hh
15
h/2
xy
-/2q
应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件
Fn
h/2_
h/2仙
h/2
h/2
3qy
咤dy
h3
Fs
h/2fydy
h/2y
h/2
h/2fxydy
h/2
h/2
3qy
"5h~
4qy3
ydy
④在次要边界X
l上，分布面力为
6ql2y4qy3
l卞
h3
3qy
5h
fy
xy
应用圣维南原理,
Fn
h/2
fx（X
h/2x
l）dy
h/2
h/2
6ql2yh3
4qy3
h3
^dy0
5h
Fs
h/2.
fy（X
h/2
l）dy
h/2
h/2
6ql蛍
h34
2
y
dyql
M'
h/2
fX（x
h/2x'
l）ydy
h/2
h/2
6ql2yh3
4qy3
h3
3qy.ydy5h
可写成三个积分的应力边界条件
【3-8】【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
（1）假定应力分量的函数形式。
6ql
h22
7y
1[2
2ql
根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力xy主要与截面的剪力有关,
而挤压应力x主要与横向荷载有关,
本题横向荷载为零，则
（2）推求应力函数的形式
0，体力fx0,f
g，代入公式（2-24）
正fxx0
对y积分，得——
y
（a）
yfx
（b）
其中fX,f1X都是X的待定函数。
（3）由相容方程求解应力函数。
将（b）式代入相容方程（2-25），得y①斗
dx4
X
dx4
（C）
多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
d4fx飞厂dx
d4f1x
32
0两个方程要求fxAxBxCx,f1x
Dx3Ex2
（d）
的表达式
fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在
中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。
将（d）式代入（b）式，得应力函数
yAx3
Bx2CxDx3
Ex2
（e）
（4）由应力函数求应力分量
（f）
2
fxX0
fyy
6Axy2By6Dx
2Egy
（g）
xy
——3Ax22Bx
xy
（h）
（5）考察边界条件
利用边界条件确定待定系数
B、
DE。
主要边界
0上（左）：
0,（
xy）x00
将（f），
（h）
代入
自然满足
主要边界
b上,
xy）x
（i）
自然满足
（xy）xb
q，将（h）式代入,
（xy）xb
3Ab22BbC
（j）
由式（i），
代入公式（
0（y）y0dx
6Dx
0
2Edx
3Db2
2Eb
0
（k）
b
b
2Db3
Eb2
0（
y）y°XdX
6Dx
0
2Exdx
0
（l）
b
2
3
2
（m）
yx）y
0dx0
3Ax2BxCdx
Ab
Bb
Cb0
（k），
（l），（m）
联立求得
在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:
（j），
D
E
0
Bb,C
b
0（
A卫b
g），（h）得应力分量
2qx
x°,yT
x
3
b
gy,
xy
【3-9】【解答】按半逆解法求解。
⑴将应力函数代入相容方程（
2-25）显然满足。
⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零,
y26Bxy，xyyx
x
A3Bx2
⑶考察边界条件:
在主要边界xb2上，精确满足公式（
2-15）
xxb/20,（xy）x
b/2
第一式自然满足，第二式为
32
A-Bb2
4
②在主要边界x=b/2上，精确满足式（2-15）
（a）
XXb/2
0,
xyxb/2
第一式自然满足，第二式为
A-Bb2
4
③在次要边界y=0上，可用圣维南原理,
（b）
写出三个积分的应力边界条件
b/2
b/2yy0dx0
满足
b/2
b/2yx
联立（a）（c）得系数
b/2
b/2
dx
代入应力分量表达式，得
0,
b/2
b/2
0xdx0满足
A3Bx2dx
Ab1Bb30
4
（c）
^xy,
b
xy
2q
b2
【3-10】【解答】采用半逆解法求解
（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足
（2）由应力函数求应力分量，代入公式（2-24）
（a）
2B6By6Dxy
0
xy
yx
A3Dy2
（3）考察边界条件
①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件
yy
xyyh/2
h/2
0,
0，满足
得A3Dh20
（b）
②在次要边界x=0上,
应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件
h/2
h/2
fn
h/2X0dy
Fn
h/2
2B6CydyFnBN
2h
h/2
h/2
2M
h/2xx0ydy
M
h/2
2B6CyydyMC厂
h
h/2
h/2
21
h/2xyx0dyFs
h/2
A
3Dy2dyFsAhDh3Fs
4
（c）
联立方程（b）（c）得
A
3Fs
D脊
2h
h3
最后一个次要边界xl上,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条
件下是必然满足的，故不必在校核。
将系数A、B、C、D代入公式（a）,得应力分量
【3-11】【解答】采用半逆解法求解
（1）检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数二Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三
次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
（2）由式（2-24）求应力分量
由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量:
2
（a）
（b）
（c）
—fxX2Cx6Dyy
2
2fyy6Ax2Bygyy
2
——2Bx2Cyxy
（3）考察边界条件：
由应力边界条件确定待定系数
①对于主要边界y0，其应力边界条件为:
y）y0
0（yx）y00
（d）
将式（d）代入式（b）,（c），可得
（e）
A0,B=0
②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件:
在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为,
lsin，mcos.由公式（2-15），得应力边界条件
sin
x）
yxtan
cos
yx）y
xtan
sin
xy）
yxtan
cos
y）y
xtan
（f）
将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得
C
gcot,D
2
g.2cot
3
（g）
将式（e）、（g）代入公式
（a）、（b）、
（c），得应力分量表达式：
X
gxcot
2gycot2
y
gy
xy
gycot
【3-12】【解答】按半逆解法求解。
2
（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为—（Ay3By2CyD）
2
x（Ey3Fy2
Gy）
A5B4
yy
106
Hy3
Ky2，
由§3-4可知，
必然满足相容方
程（2-25）
（2）应力分量
:
的表达式：
x
2
x
（6Ay2B）
2
x（6Ey
2F）
2Ay32By2
6Hy2K（a）
y
Ay3B
升级会员 