大学物理机械波练习习题思考题包括答案doc.docx
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大学物理机械波练习习题思考题包括答案doc
习题8
8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距
2.0m的两质点A与B，B点振动相位
比A点落后
，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。
6
解：
根据题意，对于
A、B两点，
21
，x2m，
2
6
而
x
24m，u
12m/s
T
8-2．已知一平面波沿
x轴正向传播，距坐标原点
O为x1处P点的振动式为
yAcos（t），波速为u，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何
解：
（1）设平面波的波动式为
yAcos[（t
x）0]，则P点的振动式为：
x1）
u
yP
Acos[（t
0]，与题设P点的振动式yP
Acos（
t
）比较，
x1
u
x
x1
有：
0
，∴平面波的波动式为：
y
Acos[
（t
）
]
；
u
u
（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：
y
Acos[（t
x
0]，则P点的振动式为：
）
u
yP
Acos[（t
x1）
0]，与题设P点的振动式yP
Acos（
t
）比较，
x1
u
x
x1）
有：
0
，∴平面波的波动式为：
yAcos[
（t
u
]。
u
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为
y
Acos（2
t
），试写出：
（1）该平面简谐波的表达式；
（2）B点的振动表达式（
B点位于A点右方d处）。
解：
（1）仿照上题的思路，根据题意，设以
O点为原
点平面简谐波的表达式为：
y
Acos[2
（t
x）
0]，则A点的振动式：
u
yAAcos[2（t
l）
0]
u
题设A点的振动式y
Acos（2
t
）比较，有：
2
l
0
，
l
x）
u
∴该平面简谐波的表达式为：
y
Acos[2
（t
]
u
u
（2）B点的振动表达式可直接将坐标
xd
l，代入波动方程：
l
d
l
]
Acos[2
（t
d
yAcos[2（t
u
）
）]
u
u
8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，
t
1s时的波形如图所示，
且周期T
3
为2s。
（1）写出O点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出A点的振动表达式；
（4）写出A点离O点的距离。
解：
由图可知：
A0.1m，
0.4m，而T
2s，则：
u
/T
0.2m/s，
2
2
5
，∴波动方程为：
y
0.1cos（t
5
x0）
，k
T
O点的振动方程可写成：
yO
0.1cos（
t
0）
由图形可知：
t
1s时：
yO
0.05，有：
0.05
0.1cos（
0）
考虑到此时dyO
3
5
3
0，∴
0
，
（舍去）
dt
3
3
那么：
（1）O点的振动表达式：
y
0.1cos（
t
）；
O
3
（2）波动方程为：
y
0.1cos（t
5
x
）；
（3）设A点的振动表达式为：
3
yA
0.1cos（
t
A）
由图形可知：
t
1s时：
yA
0，有：
cos（
3
A）0
dyA
3
5
7
0，∴
（或A
）
考虑到此时
A
6
dt
6
∴A点的振动表达式：
yA
0.1cos（t
5），或yA0.1cos（t
7）；
6
6
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到
A的振动方程为：
yA
0.1cos（t
5
xA
），与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：
5
3
7
t
5
xA
，所以：
xA
t
3
0.233m。
6
30
8-5．一平面简谐波以速度
u
0.8m/s沿x轴负方向传播。
已知原点的振动曲线如图所示。
试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。
解：
这是一个振动图像！
由图可知
A=，设原点处的振动方程为：
yO
5
103cos（
t
0）。
（1）当t
0时，yO
t0
2.5
10
3，考虑到：
dyO
t0
0，有：
0
，
dt
3
当t1时，yOt1
0
dyO
0，有：
，
5
，考虑到：
dt
t1
3
，
2
6
∴原点的振动表达式：
yO
5
103cos（5
t
）；
6
3
（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：
y
5
103cos（5
t
kx
）
6
3
而k
5
1
24
，∴y
5
10
3cos（
5
t
24
x
）；
u
6
0.8
25
6
25
3
（3）位相差：
2
x
x
25
3.27rad
。
k
24
8-6．一正弦形式空气波沿直径为
14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为
9.0103J/（sm），频率为300Hz，波速为300m/s。
问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量
解：
（1）已知波的平均强度为：
I9.0103J/（sm），由I
wu有：
I
9.0
10
3
10
5
3
w
300
3
J/m
u
wmax
2w
6
105J/m3；
（2）由WwV，∴Ww1d2
w1d2u
4
4
3
105J/m3
4
（0.14m）21m
4.62
107J。
8-7．一弹性波在媒质中传播的速度
u
103m/s，振幅A
1.0
104m，频率
103Hz。
若该媒质的密度为
800kg/m3，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）
1分钟内垂直通过面积
S4.0
10
4m2的总能量。
解：
（1）由：
I
1u
A2
2，有：
1
2
I
10
3
800（10
4
2
3
2
5
2
2
）（2
10
）1.58
10W/m；
104m2
（2）1分钟为60
秒，通过面积S
4.0
的总能量为：
W
ISt
1.58
105
4
10460
3.79
103J
。
8-8．S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，
它们的间距为d5
/4，
S2质点的振动比
S1超前
2，设S1的振动方程为
y10
2
t，且媒质无
Acos
T
吸收，
（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；
（2）分别写出S1与S2左、右侧的
合成波动方程。
解：
（1）如图，以S1为原点，有振动方程：
?
?
x
2
S1
S2
y10
t，
Acos
T
Acos（2
2
则波源S1在右侧产生的行波方程为：
y1
t
x），
T
Acos（2t
由于S2质点的振动比S1超前
2，∴S2
的振动方程为
y20
），
设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：
T
2
y2
2
t
2
x
），由于波源S2的坐标为5
/4，代入可得振动方程：
Acos（
T
y20
Acos（2
t
2
5
），与y20
Acos（2
t
）比较，有：
2。
T
4
T
2
∴y2
Acos（2
t
2
x
2
）Acos（2
t
2
x）。
T
T
可见，在S1与S2
之间的任一点
x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，
合成波为：
y
y1
y2
2Acos2
xcos2
t，为驻波；
T
Acos（2t
2
（2）∵波源S1在左侧产生的行波方程为：
y1'
x），
Acos（2
2
T
（2
2
与y
2
t
x）叠加，有：
左
y1'
y2
）；
T
y
2Acos
T
t
x
（3）设波源S2在其右侧产生的行波方程为：
y2
'
Acos（2
t
2
x
'），
T
代入波源S2的坐标为5
/4，可得振动方程：
y20
'
Acos（2
t
2
5
'），
2
T
4
与y20'
y20
t
）比较，有：
'
3
Acos（
2
。
T
∴y2'
Acos（2
t
2
x
3
）Acos（2
t
2
x
）。
T
T
与y1
Acos（2
t
2
x）叠加，有：
y右
y1
y2'
0。
T
0。
表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为
8-9．设S1与S2为两个相干波源，相距
1波长，
S1比S2的位相超前
。
若两波
4
2
在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问
S1、S2连线上在S1外
侧各点的合成波的强度如何又在
S2外侧各点的强度如何
解：
（1）如图，S1、S2
连线上在S1外侧，
o
S1
S2
2
2
?
?
∵
（r2
r1）
，
r1
r2
2
1
2
4
∴两波反相，合成波强度为
0；
（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧，
∵
2
1
2
（r2
'r1'）
2
（
）
0，
S1
S2
2
?
?
r2'o
4
∴两波同相，合成波的振幅为
2A，
r1'
合成波的强度为：
I（2A）2
4A2
4I0。
8-10．测定气体中声速的孔脱（
Kundt）法如下：
一细棒的中部夹住，一端有盘D
伸入玻璃管，如图所示。
管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，
移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。
若已知棒中纵波的频率
，量度
相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。
试证：
u
2d。
证明：
根据驻波的定义，相邻两波节（腹）间距：
x，再根据已知条件：
量度
2
相邻波节间的平均距离
d，所以：
d
，那么：
2d，
所以波速为：
u
2d。
2
8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。
S为声源，
D为声音探测器，如耳或话筒。
路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。
干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。
求：
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。
解：
根据驻波的定义，相邻两波节
（腹）间距：
x
2
，
相邻波节与波腹的间距：
x
，可得：
4
x
6.6cm。
4
u
340
（1）声音的速度在空气中约为
340m/s，所以：
（
）。
6.6
102
5151Hz
（2）∵I
A2，Imin
（A1
A2）2，Imax
（A1
A2）2，依题意有：
（A1
A2）2
100
A1
20
A1
2
。
（A
A）2
900
A2
，那么
A2
1
10
1
2
8-12．绳索上的波以波速v
25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形
成驻波，且除端点外其间有
3个波节。
设驻波振幅为0.1m，t0时绳上各点均
经过平衡位置。
试写出：
（1）驻波的表示式；
（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。
解：
根据驻波的定义，相邻两波节（腹）间距：
x，如果绳的两端固定，那么
2
两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有
3个波节，可见两端点之间有
四个半波长的距离，
x
4
2
2，则：
d4
2
2
，波长：
1m
，又
∵波速u25m/s，∴
2
u
50（）。
又已知驻波振幅为
0.1m
，
t
0
Hz
时绳上各点均经过平衡位置，
说明它们的初始相位为
，
关于时间部分的余弦函
2
数应为cos50
t
2
），所以驻波方程为：
y0.1cos2
xcos（50
t
2）；
（
（2）由合成波的形式为：
y
y1
y2
2
x
cos2
t，
2Acos
可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：
y1
0.05cos（50
t
2
x）
y2
0.05cos（50
t
2
x
）。
8-13．如图所示，三个频率相同，振动方向相同（垂直纸面）
的简谐波，在传播过程中在
O点相遇；若三个简谐波各自单
O
1
独在S12
3
的振动方程分别为
y1
Acos（
t
、S和S
），
1
2
y2
Acos
t和y3
2Acos（t
）；且S2O
4，
S1
S2
S3
2
S1O
S3O
5
（为波长），求O点的合振动方程（设传播过程中各波振幅不变）
解：
每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O点的振动方程可写成
1
A2
y1
A1cos（
t
）
A1
2
y2
A2cos
t
O/4
y3
A3cos（t
1
y
π）
2A
A3
2
其中A1A2
A，A3
2A．
在O点，三个振动叠加．利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程
y2Acos（t
1
）
4
1
答案：
y2Acos（
t
）。
4
8-14．试计算：
一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为
3Hz，求波源移动的速度vs
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