概率论与数理统计习题及答案第一章.docx
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概率论与数理统计习题及答案第一章
概率论与数理统计》习题及答案
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A‘出现奇数点'；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A‘两次点数之和为10'，B‘第一次的点数，比第二次的点数大2'；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1'；
（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，
A‘通过汽车不足5台'，
‘甲盒中至少有一球'；
5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，
仅A发生；
A,B,C中至少有两个发生；
A,B,C中不多于两个发生；
（4）
A,B,C中恰有两个发生；
A,B,C中至多有一个发生。
解
（2）
（3）
（1）ABC
ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC；
（4）
AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；ABCUABCUABC；
（5）
3.一个工人生产了三件产品，以A（i1,2,3）表示第i件产品是正品，试
用A表示下列事件：
（1）没有一件产品是次品；
（2）至少有一件产品是次品；
ABUAcUBC或ABCUABCUABCUABC；
（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解
（1）AiAA3;
（2）A|UA2UA3；（3）AiA2A3UA]A2A3UA]A2A3；
（4）AA2uAAUa2a3。
在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
P（A）104250
R41260.504
一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）
5只全是好的的概率；
（2）
解
5只中有两只坏的的概率。
（1）设A‘5只全是好的’，则
C5
P（A）甞B0.662；
C40
（2）设B‘5只中有两只坏的’，贝U
P（B）C3cC3^B0.0354.
C40
.袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解
（1）设A‘最小号码为5'，则
词SCIENCB的概率是多少
解1设A'恰好排成SCIENCE
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
2
字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位
置中占两个位置，共有C2种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22
共3!
种，故基本事件总数为C7C53!
1260，而A中的基本事件只有一个，
1
P（A）c2d3!
1260
解2七个字母中有两个E,两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。
一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
n1!
n2!
L
对于本题有
1
P（A）卫
2!
2!
10.从0,1,2丄,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：
a'三个数字中不含0和5'A2
-4
7!
1
1260
'三个数字中不含0或5'A3
'三个数字中含0但不含5'.
7
15.
C；
解P（A）
P（A2）
G3
C130
G3
C130
Co
P（A2）
1P（A2）
C83
14
Co15，
1d14
G3。
15，
C82
7
G3030.
11.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成
堆各成一双’的概率.
P（A3）
n堆，每堆两只，求事件
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题,
（2n）!
不同的分法共
2!
2!
L2!
（2n）!
（2!
）n
'每堆各成一双’共有n!
种情况，故
P（A）
2nn!
12.设事件a与B互不相容，
P（AuB）
解P（Ab）1P（AUB）1P（A）P（B）0.3
因为A,B不相容，所以aB，于是
（2n）!
P（A）0.4,P（B）0.3，求P（AB）与
P（AUB）P（A）0.6
13.若P（AB）P（AB）且P（A）P,求P（B）.
解P（AB）1P（AUB）1P（A）P（B）P（AB）
由P（AB）P（AB）得
P（B）1P（A）1p
14.设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r，求P（AB）及P（AUB）
解P（AB）P（A）P（B）P（AUB）pqr
P（AUB）P（A）P（B）P（aB）P（A）1P（B）P（A）P（AB）
1qpqr1pr.
15
的概率。
解1
.设P（A）P（B）0.7，且A,B仅发生一个的概率为，求A,B都发生
由题意有
0.5P（ABAb）P（aB）P（Ab）
P（A）P（AB）P（B）P（AB）
0.72P（AB）,
所以
P（AB）0.1.
A,B仅发生一个可表示为AUBAB，故
0.5P（AUB）P（AB）P（A）P（B）2P（AB）,
所以
P（AB）0.1.
16.设P（A）0.7,P（AB）0.3,P（BA）0.2，求P（Ab）与P（AB）.
0.3P（AB）P（A）P（AB）0.7P（AB）,
所以
P（AB）0.4,
P（AB）0.6;
0.2P（B）P（AB）P（B）0.4.
所以
P（B）0.6
P（AB）1P（AUB）1P（A）P（B）P（AB）0.1
.设ABC，试证明P（A）P（B）P（C）1
［证］因为ABC，所以
P（C）P（AB）P（A）P（B）P（AUB）P（A）P（B）1
18
P（A）P（B）P（C）1.
.对任意三事件A,B,C，试证
P（AB）P（AC）P（BC）P（A）.
证]P（AB）P（AC）P（BC）P（AB）P（AC）P（ABC）
P（ABUAC）P{A（BUC）}P（A）.
证毕.
19
设A,B,C是三个事件，且P（A）P（B）P（C）
],P（AB）P（BC）0，
4
P（AC）
因为0
1
—，求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
P（AUBUC）
P（ABC）
P（AUBUC）
P（A）
P（AB）
31
20.随机地向半圆
0y
内任何区域的概率与区域的面积成正比,
P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）P（ABC）
0,所以P（ABC）0，于是
5
8
72ax
X2（a为正常数）内掷一点，点落在园
求原点与该点的连线与x轴的夹角小于
/4的概率.
解：
半圆域如图
2y.把长为
解1设A
'原点与该点连线与
由几何概率的定义
A的面积\丿半园的面积
x轴夹角小于
/4'
则0xa,0
a/2
212a-a2
12-a2
a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率
'三段可构成三角形’，又三段的长分别为
xya，不等式构成平面域
a/2
ya,
x,
S.
y，a
A发生0X旦，0
2
不等式确定S的子域
a
2
A，所以
A的面积
P（A）S的面积
设三段长分别为x,y,z，则0xa,0ya,
xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域
A发生x
22
随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过
1,试求x与
y之和不超过1,积不小于的概率.
解0X1,0y1，不等式确定平面域S.
上随机地投掷一根长1（1a）的针，求针与任一平行线相交的概率
解设A'针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种,
设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
a
为针与平行线的夹角，则
0x20
的一个区域S.
A发生x
故P（A）
不等式确定了平面上
L.
-sin
2
不等式确定S的子域A
-sind
2
2L
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