函数思想在中学数学中的应用Word文档格式.doc

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在变化过程中,有两个变量和.如果给定一个值,相应地就确定了一个值,那么我们称是的函数,其中是自变量,是因变量.

（2）集合说:

给定两个非空数集和,如果按照某个对应关系,对于中任何一个数,在集合中都存在唯一确定的数与之对应,那么就把对应关系叫做定义在上的函数,记作:

或.此时叫做自变量,集合叫做函数的定义域,集合{|}叫作函数的值域,习惯上称是的函数.

（3）映射说:

设,是两个非空数集,是到的一个映射,那么映射:

称为到的函数.

3.函数的本质

函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.

4.函数的性质

（1）有界性:

如果存在正数,对于函数定义域（或其子集）内的一切值,都有||成立,那么函数叫做在定义域（或其子集）上的有界函数,如果适合这个条件的正数不存在,那么称这个函数是无界的.

（2）单调性:

一般地,对于函数的定义域内的一个子集,如果对于任意的,,当时都有或,就称函数在数集上是增加的或减少的.

（3）奇偶性:

对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有成立,那么函数叫做奇函数;

如果都有成立,那么函数叫做偶函数.

（4）周期性:

设是定义在数集上的函数,如果存在常数,对于任意的,都有,且总成立,则函数叫做周期函数,常数称为的周期.

二.利用函数思想解决数列的问题

数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:

例1．若数列{}的通项公式为其中,且该数列中最大项为,求的值.

分析:

由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式的形式特点,不难发现它可以变形为:

，此时若令,则所对应的函数为,.这样由函数的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为中的的值.

解:

由已知,得，

令,,

则,且,

则.

令,得,所以该函数在上是单调递增的;

令,得,所以该函数在上是单调递减的.

故为其极大值点,即时该数列取得最大项,所以.

例2.设数列{}的首项为,且……,求此数列到第几项的和最先大于？

由已知，可知数列{}为等差数列,且.

所以该数列通项公式为.

令,得,即

或.

由于,所以满足上述条件的最小正整数为.

故此数列到第项的和最先大于.

注：

此类题是利用等差数列前项和公式

是关于的二次函数来解题的.当时，有最小值；

当时，有最大值.由于取正整数，因而当不是正整数时，的最小值或最大值不等于，此时取最接近于的正整数时，才是的最小值或最大值.值得注意的是接近于的正整数有时是一个，有时有两个.

三．利用函数思想解决不等式的问题

在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：

例3.证明不等式.

分析：

此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数

在上的单调增加性质可得,.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.

证明：

令,利用函数在上的单调增加性质，

，.

……,

又,

即.

例4.已知实数,其中是自然对数的底，证明.

欲证，只需证,即.由此联想到函数在上若是严格递减的即可证明结论.

证明:

对于函数在上，其导函数.

在上是严格递减的.

对，都有,即.

故,从而.

四．利用函数思想解决最值问题

求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:

例5．已知,,函数的最大值是，最小值是，求使取得最大值和最小值的值以及和的值.

解:

设,,则.

因为，所以.因此.

故当时，.

又,，所以当时,有最大值，

从而.

所以由,，解得.

综上可得取最小值时，即，所以;

取最大值时，即，所以.

例6、渔场中鱼群的最大养殖量为吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为.（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）

（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）求鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围.

解：

（1）由题意，得,即，.

（2）.

因为,

所以当时，有最大值.

（3）依题意，得,即.

解得,又,

所以.

五．总结

函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.

参考文献:

[1]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：

北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.

[2]李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：

东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.

[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26. 

[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学（月刊）,2007年第3期.33-34.

TheApplicationofFunctionThinkinginMathematics

Name:

JiaLipingStudentNumber:

2003405456

Advisor:

YangShaohua

Abstract:

Thefunctionthinkingisanimportantwaytosolvesomemathematicsproblems.Thisarticlethroughenumeratingtheapplicationoffunctionthinkinginthesequence,theinequalityandthemostvaluequestiontoembodytheroleoffunctionthinkinginmathematics.

Keyword:

functionthinkingsequenceinequalitymostvalue