∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，
∴＝＝2，
∴∠2＝30°，
∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，
∴∠7＝30°，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，
DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：
∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，
变式练习>>>
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
例题3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．
【解答】解：
如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：
2．
变式练习>>>
3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）
解得：
x＝，则CQ＝
变式练习>>>
解答】解：
取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为
∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，
∴FG+DF＝FG'+DF，
∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，
现在再移动点E（也就是移动G），
∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，
∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，
点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，
∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，
且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，
即DF+GF的最小值为﹣1．
故选：
A．
变式练习>>>
N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）
A．112.5°B．105°C．90°
【解答】解：
如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
2，BF+CE的值最小，∴∠AFB＝105°，故选：
B．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，变式练习>>>
CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．
N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，
故答案为：
8﹣2和8+2．
4.正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．
【解答】解：
作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，
连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，
过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，
∵∠PGH＝∠ADB＝45°，
∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，
由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，
又∵BF＝3CF，BC＝4，
∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，
∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，
又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，
∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：
++．
5.如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则
BF+EF的最小值为3．
【解答】解：
过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，
∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．
故答案为：
3．
6.
如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．
D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，
则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'＝＝＝2
7.
如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．
解答】解：
过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，
在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，
AB＝6，
点E，F是线段AC的三等分点，
EF＝2，
E′F′＝AB＝6，
四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．
8.
如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．
【解答】解：
∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取
EF＝4，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，
∴DH＝4，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：
HD＝MA：
MD，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝4+＝．故答案为：
．
10.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，
OA、AB上的动点（不与端点重合），则当
6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段
四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）
∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，
∴E′C＝12，CF′＝9．
∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．
∴＝＝，即＝，解得BN＝4，
∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：
（4，6）．
11.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．
解答】解：
如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
＝
＝
＝
＝
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：
2．
12.
如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于10．
【解答】解：
延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB>|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案为：
10．
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