中考数学几何模型能力 对角互补.docx
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中考数学几何模型能力对角互补
中考数学几何模型 对角互补模型
共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：
含90°的对角互补，含 120°的
对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有
两种：
旋转法和过顶点作两垂线.
类型一：
含 90°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，则有以下结论：
①CD = CE ；
②OD + OE = 2OC ；
③S
VOCD
+S
VOCE
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则有以下结论：
①CD = CE ；
②OE -OD = 2OC ；
③S
VOCE
-S
VOCD
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
类型二：
含 120°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则有以下结论：
①CD = CE ；
②OD + OE =OC ；
③S
VOCD
+S
VOCE
= 3 OC 2
4
作法 1作法 2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则有以下结论：
①CD = CE ；
②OE -OD = 2OC ；
③S
VOCE
-S
VOCD
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
例题 1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O
点旋转，证明：
无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这
个定值．
变式练习>>>
1. 角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA 的延长线交于点 M，
OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN．
（1）求证：
OM＝ON．
（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长．
例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条
对角线 AC 的长度为 2，求四边形 ABCD 的面积．
变式练习>>>
2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为 12，则 BC+CD=_______.
例题 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，
＝4，RtMPN，∠MPN＝90°，点 P 在 AC 上，PM
交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE＝2PF 时，AP＝．
变式练习>>>
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，点 E 在对角线 AC 上，连接 BE，作 EF⊥BE，垂足为 E，直线 EF
交线段 DC 于点 F，则＝（）
A．
B． C． D．
例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD．把一个 60°角的三角尺与
这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合，将三角尺绕点 A 按逆时
针方向旋转．
；
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时，（如图 1），通过观察或测量 BE，CF 的长
度，你能得出什么结论？
（直接写出结论，不用证明）
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2），你在
（1）中得到的
结论还成立吗？
说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC 的面积是否会等于？
如果能，求 BE 的长；如果不能，请说明理由．
变式练习>>>
．
4. 我们规定：
横、纵坐标相等的点叫做“完美点”
（1）若点 A（x，y）是“完美点”，且满足 x+y＝4，求点 A 的坐标；
（2）如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 坐标为（0，4），连接 OB，E 点从 O 向 B
运动，速度为 2 个单位/秒，到 B 点时运动停止，设运动时间为 t．
①不管 t 为何值，E 点总是“完美点”；
②如图 2，连接 AE，过 E 点作 PQ⊥x 轴分别交 AB、OC 于 P、Q 两点，过点 E 作 EF⊥AE 交 x 轴于点 F，问：
当 E 点运动时，四边形 AFQP 的面积是否发生变化？
若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．
例题 5. 已知，点 P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针
旋转交射线 ON 于点 B，且使∠APB+∠MON＝180°．
（1）利用图 1，求证：
PA＝PB；
（2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当
POB＝3
PCB时，求 PB 与 PC 的比值；
（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图 3 补全图形，并求
OP 的长．
达标检测
领悟提升 强化落实
1. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且
保持 AD=CE，连结 DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DEF 是等腰直角三角形；②四边形
CDFE 不可能为正方形；③四边形 CDFE 的面积保持不变；④DE 长度的最小值为 4；⑤△CDE 面积的最大值为
8，其中正确的结论是______________.
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，求
BE 的长.
3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE＝2CE，连接
BE．过点 C 作 CF⊥BE，垂足为点 F，连接 OF．求：
（1）CF 的长；
（2）OF 的长．
4. 如图①，∠QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN 绕点 P 旋转，旋转
过程中∠QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重合）．
（1）如图①，当 α＝90°时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当 α＝60°时，
（1）
中的结论变为 DE+DF＝ AD，请给出证明；
（3）在
（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运
动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
5. “如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易
证：
＝．在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC 上一动点，连接
DE，过点 D 作 FD⊥ED，交直线 BC 于点 F，设
＝ ．”
（1）探究发现：
如图②，若 m＝n，点 E 在线段 AC 上，则
＝ ；
（2）数学思考：
①如图 3，若点 E 在线段 AC 上，则＝（用含 m，n 的代数式表示）；
②当点 E 在直线 AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？
请仅就图 4 的情形给出证明；
（3）拓展应用：
若 AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出 CE 的长．
6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知 AC=BC，AC⊥BC，直线 MN 经过点 B，过点 A 作 AD⊥MN，垂足为 D，
连接 CD．
（1）动手操作：
根据题意，请利用尺规将图①补充完整； 保留作图痕迹，不写作法）
（2）探索证明：
在补充完成的图①中，猜想 CD、BD 与 AD 之间的数量关系，并说明理由；
（3）探索拓广：
一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在 A 处，
妈妈在 C 处，小明在 D 处，B 为公园大门口，若 B、D 在直线 MN 上，且 AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，
CD=40m，求出小明到公园门口的距离 BD 的长度.
答案
例题 1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O
点旋转，证明：
无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这
个定值．
【解答】解：
当 OP∥AD 或 OP 经过 C 点，
重叠部分的面积显然为正方形的面积的 ，即 25，
当 OP 在如图位置时，过 O 分别作 CD，BC 的垂线垂足分别为 E、F，
如图在 Rt△OEG 与 Rt△OFH 中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，
∴△OEG≌△OFH，
∴S 四边形 OHCG＝S 四边形 OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为 25．
变式练习>>>
1. 角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA 的延长线交于点 M，
OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN．
（1）求证：
OM＝ON．
（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长．
【解答】解：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条
对角线 AC 的长度为 2，求四边形 ABCD 的面积．
【解答】解：
将△ABC 绕点 A 旋转 90°，使 B 与 D 重合，C 到 C′点，
则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，
所以 C、D、C′在同一直线上，则 ACDC′是三角形，
又因为 AC＝AC′，
所以△ACC′是等腰直角三角形，
在△ABC 和△ADC′中
∴△ABC≌△ADC′（SAS），
∴四边形 ABCD 的面积等于等腰直角三角形 ACC′的面积，
所以 S 四边形 ABCD＝
ACC′×2×2＝2．
变式练习>>>
2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为 12，则 BC+CD=_______.
答案：
4 3
例题 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，
＝4，RtMPN，∠MPN＝90°，点 P 在 AC 上，PM
交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE＝2PF 时，AP＝3．
【解答】解：
如图作 PQ⊥AB 于 Q，PR⊥BC 于 R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形 PQBR 是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：
QP：
AP＝AB：
BC：
AC＝3：
4：
5，设 PQ＝4x，则 AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为 3．
变式练习>>>
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，点 E 在对角线 AC 上，连接 BE，作 EF⊥BE，垂足为 E，直线 EF
交线段 DC 于点 F，则＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：
如图，连接 BF，取 BF 的中点 O，连接 OE，OC．
∵四边形 ABCD 是矩形，EF⊥BE，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E 四点共圆，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
故选：
B．【本题两种方法解答，过 E 作两垂线亦可】
例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD．把一个 60°角的三角尺与
这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合，将三角尺绕点 A 按逆时
针方向旋转．
；
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时，（如图 1），通过观察或测量 BE，CF 的长
度，你能得出什么结论？
（直接写出结论，不用证明）
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2），你在
（1）中得到的
结论还成立吗？
说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC 的面积是否会等于？
如果能，求 BE 的长；如果不能，请说明理由．
【解答】解：
（1）BE＝CF．
证明：
在△ABE 和△ACF 中，
∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（3）能．
△AEC 的 CE 边上的高为等边△ABC 的高，为 2
∵△AEC 的面积等于，
∴底边 CE＝2，
，
∴BE＝6 或 2．
变式练习>>>
．
4. 我们规定：
横、纵坐标相等的点叫做“完美点”
（1）若点 A（x，y）是“完美点”，且满足 x+y＝4，求点 A 的坐标；
（2）如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 坐标为（0，4），连接 OB，E 点从 O 向 B
运动，速度为 2 个单位/秒，到 B 点时运动停止，设运动时间为 t．
①不管 t 为何值，E 点总是“完美点”；
②如图 2，连接 AE，过 E 点作 PQ⊥x 轴分别交 AB、OC 于 P、Q 两点，过点 E 作 EF⊥AE 交 x 轴于点 F，问：
当 E 点运动时，四边形 AFQP 的面积是否发生变化？
若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．
【解答】解
（1）∵点 A（x，y）是“完美点”
∴x＝y
∵x+y＝4
∴x＝2，y＝2
∴A 点坐标（2，2）
（2）①∵四边形 OABC 是正方形，
点 A 坐标为（0，4），
∴AO＝AB＝BC＝4
∴B（4，4）
设直线 OB 解析式 y＝kx 过 B 点
∴4＝4k
k＝1
∴直线 OB 解析式 y＝x
设点 E 坐标（x，y）
∵点 E 在直线 OB 上移动
∴x＝y
∴不管 t 为何值，E 点总是“完美点”．
例题 5. 已知，点 P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转
交射线 ON 于点 B，且使∠APB+∠MON＝180°．
（1）利用图 1，求证：
PA＝PB；
（2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当
POB＝3
PCB时，求 PB 与 PC 的比值；
（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图 3 补全图形，并
求 OP 的长．
【解答】解：
（1）作 PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为 E、F
∵四边形 OEPF 中，∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，
∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，
∴∠EPA＝∠FPB，
由角平分线的性质，得 PE＝PF，
∴△EPA≌△FPB，即 PA＝PB；
（2）∵
POB＝3
PCB
∴PO＝3PC，
由
（1）可知△PAB 为等腰三角形，则
∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，
又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴
＝ ，
即 PB2＝PO PC＝3PC2，
∴＝
达标检测
领悟提升 强化落实
1. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且
保持 AD=CE，连结 DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DEF 是等腰直角三角形；②四边形
CDFE 不可能为正方形；③四边形 CDFE 的面积保持不变；④DE 长度的最小值为 4；⑤△CDE 面积的最大值为
8，其中正确的结论是______________.
答案：
①②③
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，求
BE 的长.
答案：
2 2
3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE＝2CE，连接
BE．过点 C 作 CF⊥BE，垂足为点 F，连接 OF．求：
（1）CF 的长；
（2）OF 的长．
【解答】解：
（1）如图，在 BE 上截取 BG＝CF，连接 OG，
∵
BCE 中，CF⊥BE，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG 与△OCF 中，
，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，
∴OG⊥OF，
在
BCE 中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，
∴EC＝2，
∴BE＝
∵BC2＝BF•BE，
＝ ＝2 ，
则 62＝BF•2
解得：
BF＝
，
∴EF＝BE﹣BF＝
，
∵CF2＝BF•EF，
∴CF＝；
4. 如图①，∠QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN 绕点 P 旋转，旋转
过程中∠QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重
合）．
（1）如图①，当 α＝90°时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 DE+DF＝AD；
（2）如图②，将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当 α＝60°时，
（1）
中的结论变为 DE+DF＝ AD，请给出证明；
（3）在
（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运
动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【解答】解：
（1）正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，
∴∠APE＝∠DPF，
在△APE 和△DPF 中
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，
∴DE+DF＝AD；
（2）如图②，取 AD 的中点 M，连接 PM，
∵四边形 ABCD 为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP 是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE 和△DPF 中，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME＝DF，
∴DE+DF＝ AD；
5. “如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：
＝．在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC 上一动点，连接 DE，
过点 D 作 FD⊥ED，交直线 BC 于点 F，设
＝ ．”
（1）探究发现：
如图②，若 m＝n，点 E 在线段 AC 上，则
＝ 1 ；
（2）数学思考：
①如图 3，若点 E 在线段 AC 上，则＝（用含 m，n 的代数式表示）；
②当点 E 在直线 AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？
请仅就图 4 的情形给出证明；
（3）拓展应用：
若 AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出 CE 的长．
【解答】解：
（1）当 m＝n 时，即：
BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝1，∴＝1，
故答案为 1．
（2）①∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝，∴＝，
故答案为．
（3）由
（2）有，△ADE∽△CDF，
∵
∴
＝
＝
＝ ，
＝ ＝ ，
∴CF＝2AE，
在 Rt△DEF 中，DE＝2
，DF＝4 ，
∴EF＝＝
①当 E 在线段 AC 上时，在 Rt△CEF 中，
＝2 ，
CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40
∴CE＝2，或 CE＝﹣（舍）
而 AC＝＜CE，
∴此种情况不存在，
，
6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知 AC=BC，AC⊥BC，直线 MN 经过点 B，过点 A 作 AD⊥MN，垂足为 D，
连接 CD．
（1）动手操作：
根
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