黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系.doc

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数学系1302班第五组

07樊萌

12韩鸿林

19兰星

21李鸿燕

45王堃

51武相伶

54许小亭

57杨莉

69赵志阳

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：

设在上有界,对做分割,,其中令,,,

若有

则称在上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：

作,其中,,分别为在上的上界和下界,令,若存在,则勒贝格可积.

3、一般的可测函数的积分定义为:

设在可测集E上可测,若记，,则有,若,不同时为,则在上的积分确定且

.

4、简单函数的勒贝格积分定义:

设是可测集上的非负简单函数,于是有对的划分,,在上的取值为,则,定义的勒贝格积分为,若,则称在上勒贝格可积.

5、非负可测函数的勒贝格积分定义:

取上的非负简单函数列,对任意的,都收敛于,则在上勒贝格可积其积分为

.

对一般的函数由于,则

.

若左端的两个积分值都有限时,称在上勒贝格可积.

勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在上的黎曼可积的必要条件是在上有界.

注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.

㈡黎曼可积的充分必要条件

1、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设在上有界,为对的任一分割,其中令

,,,,有

.

2、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得

.

3、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得

成立.

4、定义在上的函数黎曼可积的充分必要条件为在上的一切间断点构成一个零测度集.

注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.

勒贝格可积条件

1、设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为,总存在的某一分割,使得

.

2、设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为在上勒贝格可测.

3、设在上的黎曼反常积分存在,则在上勒贝格可积的充要条件为在上的黎曼反常积分存在,且有

.

4、设为上的可测函数列,在上的极限函数几乎处处存在,且,则在上勒贝格可积.

5、设是是定义在可测集上的连续函数,则在上勒贝格可积的充要条件为在上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较

黎曼积分的性质

1、（线性性）若,是定义在上黎曼可积函数,则

,也在上黎曼可积.

注,但.

2、（区域可加性）设有界函数在,上都黎曼可积,则在上也黎曼可积,且有

.

3、（单调性）若,是定义在上黎曼可积,且,则

.

4、（可积必绝对可积）若在上黎曼可积,则在上也黎曼可积,且有.

注其逆命题不成立.

5、若在上黎曼可积,则在的任意内闭子区间上也黎曼可积.且其积分值不会超过在上的积分值.

6、若是上非负且连续的函数,若有,则在上恒等于零.

7、若,是上的黎曼可积函数,则,在上也黎曼可积.

8、若在上黎曼可积,在上有定义且有界,则也在上黎曼可积.

勒贝格积分的性质

1、（有限可加性）设是有界可测集上的可积函数,,等均可测且两两互不相交,则有

.

2、对于给定的可测函数,与的可积性相同且

.

3、（单调性）若,在上勒贝格可积,且几乎处处成立,则

.

4、是上的非负可积函数,则在上是几乎处处有限的.

5、是上的非负可测函数,若在上几乎处处等于0,则.

6、（零测集上的积分）若,则.

7、是上的勒贝格可积函数,在上几乎处处成立,则.

8、设在上可测,若存在非负函数在可测集上勒贝格可积,几乎处处成立,则在可测集上勒贝格可积.

9、在可测集上勒贝格可积,是的可测子集,则在上也勒贝格可积.且其积分值不会超过在上的积分值.

10、设在上可测,则的充要条件是在上几乎处处成立.

11、设,均在上勒贝格可积,则,也

在上勒贝格可积.

12、若与在上几乎处处相等,则也可积,且

.

13、设在可测集上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设为可测集上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数,使得导函数在上几乎处处等于.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数也在上连续.

⒉（可积性）若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,

.

⒊（可微性）设为定义在上的函数列,若为的收敛点,且的每一项在上都有连续的导数,在上一致收敛,则

.

⒋有界收敛定理设是定义在上的黎曼可积函数.

⑴.

⑵是定义在上的黎曼可积函数.且.则有

.

与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集上的可测函数列满足如下条件:

,则的积分序列收敛于的积分

.

⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集上的可测函数列满足如下条件:

⑴的极限存在,.

⑵存在可积函数使得那么可积,有

.

⒊设,上的可测函数列满足如下条件:

⑴,可积.

⑵依测度收敛于,那么可积,有

.

⒋设是上的增函数列,且有在上收敛,则

.

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