新人教版八年级下数学二次根式教案.docx
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新人教版八年级下数学二次根式教案
第十六章二次根式
16.1二次根式
（1）
1.经历二次根式概念的发生过程
教学目标
2.了解二次根式的概念
3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含
字母的取值范围
4.会求二次根式的值
教学重点：
二次根式的概念
教学设想
教学难点：
例1的第
（2）（3）题学生不容易理解。
教学程序与策略
、知识回顾：
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
2、什么叫算术平方根？
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用、aa_0表示
讨论并解释：
为什么a>0?
二、新课教学
做一做：
课本P4的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
象a24b-32s这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式叫做二次根式
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。
例1:
求下列二次根式中字母a的取值范围：
a24b-32s
3J（a-3）2.
解：
（1）由a+1>0得，a>-1
•••字母a的取值范围是大于或等于
1
（2）由一1>0,得1-2a>0
1-2a
-1的实数
即a<1,
2
•••字母a的取值范围是小于1的实数
2
（3）因为无论a取何值，都有（a-3）2>0,所以a的取值范围是全体实数
说明：
求字母的取值范围实质是：
转化为解不等式（组）
练习：
求下列二次根式中字母a的取值范围:
例2:
当x=-4时，求二次根式-2的值
解：
将x=-4代入二次根式得
=9=31-2x
说明：
与求代数式的值类比。
昱高：
1、若二次根式尿的值为3，求x的值.
2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间•
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?
3、当x分别取下列值时，求二次根式.仁x的值：
检测：
求二次根式中x的取值范围:
x二2
1x4
附加题：
（5）.2£x（6）■,x2-4
*x
三、课堂小结：
由学生总结，教师适当提问补充。
本节课要掌握：
1.形如-a（a>0）的式子叫做二次根式，“丫”称为二次根号.
2•要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.
四、作业：
教后反思
第十六章二次根式
课题
16.1二次根式
（2）
1.理解JW（a>0）是一个非负数和（J2）=a（a>0）,并利用它们进
行计算和化简.
教学目标
2•通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出护（a>0）是一个
非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ja）2=a（a>0）;最后
运用结论严谨解题.
1.重点：
逅（a>0）是一个非负数；（JW）=a（a>0）及其运用.
教学设想
2.难点、关键：
用分类思想的方法导出门（a>0）是一个非负数；？
用
探究的方法导出（ja）2=a（a>0）.
教学程序与策略
一、复习引入
（学生活动）口答
1.什么叫二次根式?
2.当a>0时，、a叫什么？
当a<0时，,'a有意义吗？
老师点评（略）.
二、探究新知
议一议：
（学生分组讨论，提问解答）
[a（a>0）是一个什么数呢？
老师点评：
根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
4a（a>0）是一个非负数.
做一做：
根据算术平方根的意义填空：
（4）2=;
（2）2=;（、一9）2=;（.3）2=;
（,.,3）2=—；c7）2=—；（-0）2=—-
老师点评：
.'4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、4是一个平方等于4的非负数，
因此有（^4）2=4.
同理可得：
（恵）2=2,（屆）2=9,（）2=3,（J丄）2=-,G/-））丄,（盲）2=0,所
V33V22
以
（需）2=a（a》0）
例1计算
1.（3）22.（3、、5）23.（i）24.（7）2
'■2.62
分析：
我们可以直接利用（a）2=a（a>0）的结论解题.
（3、5）2=32（x.5）2=32•5=45,
2=5
—?
6
2_C7）2
22
三、巩固练习
计算下列各式的值:
四、应用拓展
例2计算
分析：
（1）因为x>0,所以
2222
（4）4x-12x+9=（2x）-2•2x•3+3=（2x-3）>0•
所以上面的4题都可以运用（,a）2=a（a>0）的重要结论解题.例3在实数范围内分解下列因式：
242
（1）x-3
（2）x-4（3）2x-3
五、归纳小结
本节课应掌握：
1•-、a（a>0）是一个非负数；
2•（a）2=a（a>0）;反之:
a=（a）2（a>0）.
六、布置作业
教后反思
第十六章二次根式
16.1二次根式⑶
1、理解Va=a（a>0）并利用它进行计算和化简.
教学目标2、通过具体数据的解答，探究膵=a（a>0）,并利用这个结论解决具体
问题.
1、重点：
Ja"=a（a》0）.
教学设想2.难点：
探究结论.
3.关键：
讲清a>0时，阖=a才成立.
教学程序与策略
胃=——
（老师点评）：
根据算术平方根的意义，我们可以得到:
10
莊=2；J0.012=0.01；J（丄）2=丄；J
（2）2=2；V02=0；Jc）2^3
因此，一般地：
=a（a》0）I
例1化简
（1）、、9
（2）、（-4）2（3）25（4）、（-3）2
分析：
因为
（1）9=-32,
（2）（-4）2=42,（3）25=52,
（4）（-3）2=32，所以都可运用V=a（a>0）?
去化简.
解：
（1）；9=、、32=3
（2）.（-4）2八42=4
（3）、25=、52=5（4）、.（一3）2="32=3
三、巩固练习
教材练习
四、应用拓展
例2填空：
当a>0时，后=；当a<0时，厲=,?
并根据这一性质回答下列问
题.
（1）若孑=a，则a可以是什么数？
（2）若xa2=-a，则a可以是什么数？
（3）、、a2>a，则a可以是什么数？
分析：
T肩=玄（a>0）,•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，
使“（）2”中的数是正数，因为，当a<0时，-a2=（-a）2，那么-a>0.
（1）根据结论求条件；
（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据
（1）、
（2）可知膚=
Ia丨，而la|要大于a,只有什么时候才能保证呢？
a<0.
解：
（1）因为；a2=a，所以a>0；
（2）因为、..a2=-a，所以aw0；
（3）因为当a>0时=a，要使JO">a,即使a>a所以a不存在；当a<0时,a2=-a，要
使>a，即使-a>a,a<0综上，a<0
五、归纳小结
本节课应掌握：
.a2=a（a>0）及其运用，同时理解当a<0时，\a2=-a的应用拓展
六、布置作业
教后反思
第十六章二次根式
课题
16.2二次根式的乘法
教学目标
1、理解石•Vb=Vab（a>0,b>0）,Vab=需•Vb（a>0,b>0）,
并利用它们进行计算和化简
2、禾U用逆向思维，得出jab乙a•.,b（a>0,b>0）并运用它进行解题和化简.
教学设想
1重点：
&•护=^/ab（a>0,b>0）,Jab=^[a•护（a>0,b>0）及它们的运用.
2、难点：
发现规律，导出.a•、.b=vab（a>0,b>0）.
教学程序与策略
、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题.
1.填空
（1）74X曲=,J*9=;
（2）朋X725=,J16x25=.
（3）J00xJ36=,J100^36=.
2.参考上面的结果，用“>、<或=”填空.
扬X両如9,716X725J16X25,^100x^36Jl00x36
、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.
老师点评：
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，？
并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号
另一边二次根式中的被开方数.
一般地，对二次根式的乘法规定为
掐•晶=Jab.（a>0,b>0）
反过来：
|A/ab=7a•Vb（a》0,b》0）
例1.计算
（1）y/5X^7
（2）^1XV9（3）V9XJ27（4）XV6
解:
（1）
•.5xJ
7=、35
（2）
1
X9=
.19八3
■3
V3
（3）
9
X27=
=.927h；、：
923=93
（4）
1
X.6=
、16=3
2
-2
例2
化简
54；门2a2b2
（2）化简：
、‘20;,18;.24;
四、应用拓展
例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:
（1）（-4）（一9）=』-4-9
（2）412x25=4x
25
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）掐•Jb=x/ab=（a>0,b>0）,Vab=需•Jb（a>0,b>0）及运用.
六、布置作业
教后反思
第十六章二次根式
课题
16.2二次根式的除法
教学目标
1、理解禹
■―（a>0,b>0）和jG=弓2（a>0,b>0）及利用它们进
行运算.
2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.
教学设想
1.重点：
理解逅=匹（a>0,b>0）,匡=逅（a>0,b>0）及利用它
VbVbVb厲
们进行计算和化简.
2.难点关键：
发现规律，归纳出二次根式的除法规定.
教学程序与策略
二、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
诗=if（a>0,b>0）,
F面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.
三、巩固练习
课本练习题
x^5x4的值.
四、应用拓展
例3.已知/9_x_£_x，且x为偶数，求（1+x）2—
Yx-67^6斗x2-1
因此得到9-x>0且x-6>0，即卩6解：
由题意得9—X-°，即x乞9
x—6a0xa6
•6•/x为偶数
•
x=8
•••当x=8时，原式的值=「49=6.
五、归纳小结
本节课要掌握a
Vb
六、布置作业
教后反思
第十六章二次根式
课题
16.2二次根式的乘除（3）
教学目标
1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点
教学设想
来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.
1.重点：
最简二次根式的运用.
2.难点关键：
会判断这个二次根式是否是最简二次根式.
教学程序与策略
、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）
1.计算
（1）€,
（2）3iH,（3）J_
75^27V2a
老师点评：
・3=；15,3,2=〔，上8=2・a
苗5何3辰a
2.现在我们来看本章引言中的问题：
如果两个电视塔的高分别是播半径的比是.
hikm,h2km,?
那么它们的传
它们的比是二2Rhl
2Rh2
、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:
1.被开方数不含分母；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？
如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推荐老师点评：
不是.
3〜4个人到黑板上板书.
；⑶
8x2y3
三、巩固练习
1
课本练习
、化简：
（1）
1
3；2
；
（2）
1_.12=
；（3）"°=
^5
（-丄
m
—（m>Qn>0）
2m3
mn、
x
—a（a>0）
m-n
四、应用拓展
例2.观察下列各式，通过分母有理数,
把不是最简二次根式的化成最简二次根式:
1=1心-1）=更1=罷八
.21（..21）（、.2-1）~2-1
1=1乂点—42
■3：
2（3、、2）（运—辽）
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
）（、一2002+1）的值.
、.2002、2001
分析：
由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.
解：
原式=（.2-1+、3-、2+_4-..3+……+,2002-,2001）x（；2002+1）
=（「2002-1）（,2002+1）
=2002-仁2001
五、归纳小结
本节课应掌握：
最简二次根式的概念及其运用
六、布置作业
教后反思
第十六章二次根式
课题
16.2二次根式的加减
（1）
教学目标
1、理解和掌握二次根式加减的方法.
2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解•再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.
教学设想
1.重点：
二次根式化简为最简根式.
2.难点关键：
会判定是否是最简二次根式.
教学程序与策略
一、学生活动：
计算下列各式.
（1）2x+3x;
（2）2x2-3x2+5x2;（3）x+2x+3y;（4）3a2-2a2+a3
教师点评：
同类项合并就是字母不变，系数相加减.
二、探索新知
学生活动：
计算下列各式.
（1）2、2+3.、2
（2）2、8-3、8+5j8
（3）.,7+2「7+3.97（4）3「3-2.3+,•2
老师点评：
（1）如果我们把,2当成x，不就转化为上面的问题吗？
2辽+32=（2+3）,升5、2
（2）把,8当成y;
28-3.8+5.8=（2-3+5）:
8=48=82
（3）把J当成z;
.7+2'、7+、9~7
=27+2」7+3■:
『7=（1+2+3）..,7=6叮7
（4）看为x,、2看为y.
3.3-2.3+-、.；2
=（3-2）3+「2
=3+、2
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与「8表面上看是不相同的，但它们可
以合并吗？
可以的.
（板书）32+「8=3.2+22=5「2
3、3+、一27=3、3+3、3=6,3
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，？
再将被开方数相同的二次根
式进行合并.
例1.计算
（1）.8+d8
（2）.16x+64x
解:
例2.
（1）、8+、18=2J2+3、2=（2+3）.2=5、2
（2）.16x+.64x=4..x+8、x=（4+8）x=12、”x
计算
（1）
3.48-91+3..12
（.48+一.,；20）+（J2-J5）
3、.48-9「+3、12=12、3-3、、3+6、3=（12-3+6）/3=15.3
（、.48+20）+（12-5）=、48+、.20+..12」5
五、归纳小结
本节课应掌握:
（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式;
（2）相同的最简二次根式进行合并.
六、布置作业
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、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1•写出二次根式的乘法规定及逆向等式.
2.填空
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