八年级上册数学练习勾股定理.docx
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八年级上册数学练习勾股定理
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4
C．3，4，5D．4，5，6
2．若直角三角形的三边长分别为3，6，x，则x的可能值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8B．4，8，10
C．6，8，10D．8，10，12
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C－∠B＝∠A，那么∠C＝90°
B．如果∠C＝90°，那么c2＝b2＋a2
C．如果（a＋b）（a－b）＝c2，那么∠C＝90°
D．如果∠A＝30°，∠B＝60°，那么a2＋b2＝c2
5．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n2－1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2nB．n＋1C．n2－1D．n2＋1
6．[2018·青岛]如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB的中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕的EF交BC于点F.已知EF＝
，则BC的长是（ ）
A.
B.
C．3D．3
7．如图，一棵大树在离地面9m高的B处断裂，树顶A落在离树底C的12m处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A．9mB．15mC．21mD．24m
8．某人在平地上以1.5米/秒的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒，这时他离开出发点（ ）
A．180米B．150米C．120米D．100米
9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A．600mB．500mC．400mD．300m
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．6π D．12π
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
11．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，这个桌面____．（填“合格”或“不合格”）
12．如图，用全球GPS定位系统测出一驱逐舰的行动路线，那么它从点A到点B共走了____个单位长度．
13．如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm之间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是________________．
14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，飞机每秒飞行__140__m.
三、解答题（共6个小题，每小题9分，共54分）
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15.
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
16．如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求电线杆要与地面垂直，因此，从离地面8m高的C处向地面拉一条长10m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为6m．请问：
张师傅的安装方法是否符合要求？
请说明理由．
17．有一个传感器控制的灯，安装在门上方离地高4.5m的墙上，人只要移至5m以内（包括5m），灯就会自动打开，一个高1.5m的学生要到离门多远的地方，灯刚好打开？
18．[2018春·临洮县期中]某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口
小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
19．如图，在一棵大树的10m高的B处有两只猴子，其中一只胆小的猴子爬下树后走向离树20m的池塘D处，而另一只猴子胆子比较大，爬到树顶A后直扑池塘（设它从树顶到池塘经过的是一条直线），如果两只猴子所经过的路径长度相等．问：
这棵树有多高？
20．如图，小明的爸爸在鱼池边开垦了一块四边形土地，种了一些蔬菜，爸爸让小明计算土地的面积，以便计算出产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝4m，BC＝3m，CD＝13m，DA＝12m，又已知∠B＝90°，那么这块土地的面积为多少平方米？
B卷（共50分）
四、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
21．[2018·荆州]为了比较
＋1与
的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得
＋1____
.（填“＞”“＜”或“＝”）
22．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想得到上底面点B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为______cm.（π取3）
23．[2018·云南]在△ABC中，AB＝
，AC＝5.若BC边上的高等于3，则BC边的长为__________．
24．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要__10__cm.
25．[2018·成都]如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和点C为圆心，以大于
AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为__
__．
五、解答题（共3个小题，共30分）
26．（8分）[2018秋·新华区校级月考]台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级．如图，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD＝
AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？
请说明理由；
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
27．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.试证明：
AE2＋BF2＝EF2.
28.（12分）
（1）图1是一个重要公式的解释，请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE＝90°；
（3）利用
（1）中的公式和图2证明勾股定理．
图1图2
参考答案
A卷
一、1．C2.B3.C4.C5.D
6.B【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°.由折叠的性质可得∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，∴BE＝EF＝
.∵点E为AB中点，∴AB＝AC＝3.在Rt△ABC中，BC＝
＝
＝
.故选B.
7.D8.D
9.B【解析】∵BC∥AD，∴∠DAE＝∠ACB.
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC＝∠DEA＝90°.
又∵AB＝DE＝400m，
∴△ABC≌△DEA，∴EA＝BC＝300m.
在Rt△ABC中，AC＝500m，
∴CE＝AC－AE＝200m，
从B到E有两种走法：
①BA＋AE＝700m；②BC＋CE＝500m.
∴最近的路程是500m.
10．A【解析】∵△ABC是直角三角形，AC＝3，BC＝4，
∴AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝5，
∵S阴影＝S半圆BC＋S半圆AC＋S△ABC－S半圆AB，
∴S阴影＝S△ABC＝6.
二、11．合格【解析】因为602＋322＝682，所以桌面合格．
12．15【解析】分成两个直角三角形，由勾股定理求出，
AC2＝32＋42＝52，所以AC＝5.
BC2＝62＋82＝102，所以BC＝10，
所以AC＋BC＝5＋10＝15.
13．16_cm≤L≤17cm
【解析】①当吸管放进盒里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，因此盒内管长至少为12cm，总长为（12＋5）cm；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，在直角三角形中，直角边分别为5cm，12cm，由勾股定理可得盒里面管长为13cm，总长为（13＋3）cm.
∴设计的吸管总长度L的范围是16cm≤L≤17cm.
14．140
答图
【解析】设A点为男孩头顶，B点为飞机在男孩头顶正上方时飞机的位置，C点为10s后飞机的位置，如答图所示，则AC2＝BC2＋AB2，
即BC2＝AC2－AB2＝1960000，
∴BC＝1400m，
∴飞机的速度为1400÷10＝140（m/s）．
三、15．解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，
AC＝20，
∴AB＝
＝25.
（2）∵S△ABC＝
AC·BC＝
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12.
16．解：
张师傅的安装方法符合要求．
理由：
依题意，可知BC＝8m，AC＝10m，AB＝6m.
∵BC2＋AB2＝82＋62＝100，AC2＝102＝100，
∴BC2＋AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB.
17．解：
如答图，当灯刚好打开时，
由题意可知AB＝CD＝1.5m，
DE＝CE－CD＝4.5－1.5＝3（m），
AE＝5m.
由勾股定理得BC＝AD＝4m，
故学生要到离门4m远的地方，灯刚好打开．
答图
18．解：
根据题意，如答图：
PQ＝16×1.5＝24（海里），
PR＝12×1.5＝18（海里），
QR＝30（海里），
答图
∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
19．
答图
解：
如答图所示，BC＝10m，CD＝20m，AC为树高．
由题意可知AB＋AD＝BC＋CD＝30
设AB＝xm，则AD＝（30－x）m，AC＝（10＋x）m，
由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2，
即（30－x）2＝（10＋x）2＋202，解得x＝5，
所以树高为10＋5＝15（m）．
20．
答图
解：
如答图，连接AC.
∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝25，即AC＝5，
∴AC2＋AD2＝25＋144＝169＝132＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝
AD·AC＋
AB·BC＝
×12×5＋
×4×3＝36（m2）．
B卷
四、21．【解析】∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝
＝
，AB＝
＝
，
∴BD＋AD＝
＋1，
又∵△ABD中，AD＋BD＞AB，
∴
＋1＞
.
22．15
23．1或9【解析】设边BC上的高为AD.
（1）当边BC上的高AD在△ABC的内部时，如答图1所示，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝
＝
＝5，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝
＝
＝4，所以BC＝5＋4＝9.
（2）在边BC上的高AD在△ABC的外部时，如答图2所示，同理BD＝5，CD＝4，所以BC＝5－4＝1.
答图1答图2
24．10
答图
【解析】绕一圈时，把长方体侧面沿AB展开，得到矩形AA′B′B，由题中条件得AA′＝8cm，A′B′＝6cm，∴AB′2＝82＋62＝100，∴AB′＝10cm，即所用细线最短需要10cm.
25．
答图
【解析】连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，∴AD＝
＝
，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2，∵CD＝DE＋CE＝5，
∴AC＝
＝
.
五、26．
答图
解：
（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：
如图，在Rt△ABD中，∵AD＝
AB，
∴∠ABD＝30°，∵AB＝240千米，
∴AD＝
AB＝120千米．
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12－4）＝200（千米）．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如答图，以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E，F，则AE＝AF＝200.
∴台风影响该市持续的路程为：
EF＝2DE＝2
＝320.
∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为12－（120÷25）＝7.2（级）．
27．
答图
证明：
如答图，过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM.
∵AM∥BC，
∴∠MAE＝∠ACB＝90°，∠MAD＝∠B.
∵AD＝BD，∠ADM＝∠BDF，
∴△ADM≌△BDF.
∴AM＝BF，MD＝DF.
又∵DE⊥DF，
∴EF＝EM，
∴AE2＋BF2＝AE2＋AM2＝EM2＝EF2.
28.
（1）解：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
（2）证明：
∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°.
由于B，C，D共线，
∴∠ACE＝180°－（∠ACB＋∠DCE）＝180°－90°＝90°.
（3）证明：
梯形ABDE的面积为
（AB＋ED）·BD＝
（a＋b）（a＋b）＝
（a＋b）2；
另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成
ab＋
ab＋
c2.
所以，
（a＋b）2＝
ab＋
ab＋
c2.
即a2＋b2＝c2.
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