第七单元剪纸中的学问分数加减法一.docx

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第七单元剪纸中的学问分数加减法一

第七单元剪纸中的学问——分数加减法

（一）

（一）单元素材解读

1、素材的选取。

本单元承载知识点的素材是剪纸。

选取这个素材主要是考虑这么几点：

（1）剪纸是我国传统的民间艺术之一，具有很强的普及性、装饰性和趣味性，同时也是学生比较喜欢的手工活动，选取这样的素材引入学习内容，贴近学生的实际，容易激起学生的探究兴趣。

（2）剪纸离不开裁纸，裁纸时一般要涉及到长方形或正方形纸，而这个单元在学习公因数和公倍数知识的环节中，是通过拼摆正方形的方法来揭示公因数的意义的，因此，用剪纸这个素材来承载此部分知识正好为动手操作为提供了活动的素材。

因此，我们认为，剪纸情景的选取，无论是在现实性方面，还是在实用性方面，都是比较好的一个教学资源。

2、情景串

（二）单元知识分析

（三）单元教学重点

求最大公因数和最小公倍数的方法，约分，同分母分数加减法。

（四）单元主要编写特点

从单元知识结构的安排我们可以看出，本单元的结构编排很有特色，主要表现在两点：

1、优化知识体系，使知识结构的安排更符合学生的认知规律。

传统教材将有关因数和倍数的所有知识点集中在同一个单元学习（因数公因数、最大公因数，然后是倍数、公倍数、最大公倍数），这样编排一是将一系列的概念一股脑的端出，加大了学生学习的困难；二是传统教材将这些概念集中安排在一个单元单纯地来学习概念，将概念的学习与解决问题分割开来，没有突出体现学习这些知识的必要性。

而我们的教材在编排上很科学，一是将因数和倍数的认识提至三年级下册作为整数除法的一个拓展，分散了此部分知识的难点。

二是将公因数、最大公因数、约分与分数加减法的学习融为一体，在解决问题的过程中用到加法了而在进行分数加法计算的过程中又需要约分，因此就要学习怎样约分，这样就体现了学习约分知识的必要性。

2、在现实的情境中教学概念，让学生通过操作领会公倍数、公因数的含义。

重视引导学生运用拼摆学具等活动直观地理解和探索公因数和公倍数的意义，是本单元教材的另一个特点，大家知道，传统教材学习此内容时，采取的是灌输的方法，教材直接出示两个数的几个因数，让学生找他们共有的因数。

而青版教材则是在现实情景中学习公因数和公倍数。

如：

学习公因数与最大公因数时，从“正方形的边长可以是几厘米?

最长是几厘米?

”这一问题切入，引导学生用边长不同的正方形纸片去拼、去摆，通过操作，发现边长分别是1厘米、2厘米、。

3厘米、6厘米的正方形纸片才能正好将长方形纸片摆满，且无剩余。

找出正方形的边长与长方形的长和宽的内在联系，理解公因数与最大公因数的意义。

这样，学生在操作中积累了感性经验，有利于直观地理解概念。

学习公倍数何最小公倍数的意义时也体现了这一点。

3.引导学生探索数学规律，体现解决问题策略的多样化。

体现解决问题策略的多样化，是《新课标》所倡导的教学新理念，也是我们这套教材的主要特点之一，这一理念在前面几册教材已经有所体现，但是，这一单元应该说体现的更充分，我们不妨来浏览一下这一单元（见99页和111页），在学习找两个数的最大公约数和最小公倍数的方法时，教材均呈现了2种方法（列举法和短除法）；在学习约分的方法时，（见教材103页）教材也提供了两种法方法（间接约分和直接约分），（101页第4题），有倍数、约数关系的两个数的最大公因数的找法，（113页第5题），有倍数、因数关系的两个数的最小公倍数的找法。

（五）单元信息窗解读

信息窗1（98页）

1．情境图

（1）情景图解读：

此信息窗的题目为“裁纸”。

该信息窗呈现的是教室里几个孩子裁纸的场面，另外教师的墙上还贴着几幅剪纸作品，这些作品都是正方形的，暗示学生要把纸裁正方形的。

（2）情景图承载的信息：

一张长方形的彩纸，长24厘米、宽18厘米。

把其剪成边长是整厘米数的纸片，要使这张纸没有剩余，边长是几厘米?

2．知识点

本信息窗一共2个例题，包含的知识点分别是

（1）公因数和最大公因数的意义；

（2）找两个数的公因数、最大公因数的方法（找有倍数与因数关系的两个数的最大公因数的方法）。

3、教学建议

（1）借助直观活动，经历概念的形成过程。

教学公因数和最大公因数意义的过程，是形成新的数学概念的过程，前面说过，教材在编写上重视引导学生运用拼摆图形等活动，直观地理解和探索公因数和最大公因数的意义，那么，在教学中教师要组织好操作活动，充分体现教材的编写意图，比如：

例1用边长是、2厘米、3厘米……的正方形去摆一摆这个环节，让学生在摆中发现：

用边长是1厘米、2厘米、3厘米的正方形纸片正好摆满，没有剩余。

用边长4厘米、5厘米的正方形纸片不能摆满，有剩余。

然后引导学生找出长方形纸片的长、宽与正方形纸片的边长的关系，对正好摆满和不能正好摆满的原因作出解释。

再经过想象和推理：

能够正好摆满这个长方形的正方形纸片还有哪些?

他们的边长可能是多少，从而总结出规律，为形成公因数的概念积累丰富的感性材料（因为能够用来拼摆的正方形很多，你没有时间、也不可能都来一一实验，也不需要一一实验，况且，小学数学中有关规律总结与归纳，本来就是不完全归纳法，因此在学生摆了几个例子以后，完全可以通过类比和推理，找出其中的规律）。

然后揭示出公因数和最大公因数的含义，完成形象到抽象的过程，把感性认识提升为理性认识。

（2）把握内涵外延，准确理解概念的含义。

概念的内涵是指这个概念的所反映的一切对象的共同的本质属性。

公因数是几个数公有的因数，可见“几个数公有的”是公因数的本质属性。

因此在因数的基础上学习公因数，关键在于突出“公有”的含义。

因此，在教学中，要充分利用好教材中的集合图，直观地揭示出“既是24的因数，又是18的因数”这句话的含义，帮助学生进一步理解公因数和最大公因数的意义。

概念的外延是指这个概念包含的一切对象。

对具体事例是否属于概念作出判断，就是识别概念的外延，这对加深概念的认识很有好处。

因此，在教学中教师要注意利用反例，来凸现公因数的含义。

例如，在99页学习用图示法来表示18和4的公因数的时候，教师可以设置这样一个问题：

4能不能填在并集里?

从而让学生明白4只是24的因数而不是18的因数，不能填在并集里，从而进一步明确公因数的概念。

（3）找两个数的公因数，提倡思考方法的多样化。

《数学课程标准》在叙述此部分知识的教学目标时，有一个词在表述有所改变，原来我们都说：

求两个数的公因数，现在改为“找两个数的公因数”将“求”改为“找”，我想，这不仅仅是语言表述上的变化，更是教学目标要求上变化。

课标之所以作这样的改变，我想原因可能有一下两点：

①“求”更多关注的是“算”，而“找”则更多关注的是“对意义的理解、思考问题的方法、及解决问题的策略”。

②降低教学难点。

课标把找两个数的公因数限制在会找100以内两个数的公因数就可以了，最大的数才是两位，大大降低了找的难度，相比之下“求”的必要性就有所削弱。

因此“找”比“求”更合适。

基于以上两点，教师耀准确把握和确定自己的教学重点，在学习这部分知识时，要把重点放在找两个数的公因数的方法上来，鼓励学生找最大公因数方法的多样化。

教材为我们呈现了两种招公因数的方法（教材99页），除此之外，还可以用其他方法找：

比如：

（2）学生还可能用口诀对应的方法找一对一对的找，这样找不容易漏；（3）还可能从12的因数里面找18的因数；体会方法的优化）（用列举法找公因数是学生最常用的，也是比较适宜的，因为两个数的最大公因数的个数是有限的，先写出两个数的全部因数，再找出共有的因数，操作起来也不麻烦，况且课标只要求100以内数两个数的公因数）；

还可以用短除法找（教材100页）；

学生可能还会用其他的方法找，只要对，教师要给予肯定。

4．注意问题

（1）用集合图（韦恩图）表示公因数时，要注意向学生渗透集合元素的互逆性。

集合图能直观形象地表示公倍数、公因数的含义。

那么，要想正确地使用集合图，首先必须了解集合里元素的一些性质，其中元素互逆性需要让学生有所了解。

那么，什么是元素的互逆性呢?

集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说集合中的元素必须是互不相同的，即没有重复现象）换句话说，在集合里，每个元素只能出现一次。

（链接这样既加深了学生对最大公因数的理解，同时也掌握了填写韦恩图的方法，特别是让学生弄清集合图中重叠部分与其他部分的关系。

（练习1）。

（2）根据后续学习的需要，确立“短除法”教学目标的定位。

《课标》在数与代数部分，有关“短除法”的概念只字未提。

但是，各个版本的课标教材多多少少都有所涉及，只是在教材中所处的地位和分量有所不同。

例如：

人教版在你知道了吗？

栏目里介绍了分解质因数的方法求两个数的最大公因数。

，苏教版也是在“你知道吗”板块里，不但介绍了我国古代曾经用“辗转相除法”求最大公因数，还介绍了现代人们经常用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。

由于脂肪的位置不同，教学要求也就不同，在阅读这篇材料后，如果学生愿意用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，是允许的。

但是，不要求全体学生掌握和使用短除法。

108页思考题，是可以用公因数知识解决的实际问题。

这说明了一个问题，用“短除法”求最大公因数是一个很有效、很简便的方法。

因此，我个人认为，我们还是因该让学生掌握。

为学习最小公倍数、通分、解决实际问题以及初中将要学习的分解质因数打好基础。

5、自主练习

“自主练习”第1题是填写集合图的题目，这里教师要进一步点明用～集合图找最大公因数的方法和应注意的问题，向学生渗透集合思想。

第3题是利用最大公因数的知识解决实际问题的题目。

练习时教师要先引导学生明确：

求“最多能扎成多少束”就是求48和72的最大公因数是多少，然后让学生独立完成。

第4题是一道具有例题功能的练习题。

蕴含着找“有8约数倍数关系的两个数”和“只有公约数1的两个数”的最大公因数的方法的题目。

练习时可以引导学生观察每组数有什么特点，说一说自己的发现并进行充分交流，通过交流使学生明确“如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是其中的较小数”、“如果两个数的公因数只有1，那么它们的最大公因数就是1”。

练习时应注意，不要总结概括互质数的概念。

第5题是求最大公因数的题目，是以分数的形式呈现的，为学习分数的约分作准备。

练习时，先让学生独立解决，再进行交流。

第7题是利用公因数的知识解决实际问题的题目。

练习时教师要先引导学生明确求“选择边长是多少分米的正方形地板砖比较合适”实际上就是求90和60的公因数，然后让学生独立完成。

完成第二问时，可让学生联系自己的生活经验说一说，只要学生能说出较为合理的理由即可。

第8题是一道星号题，属于应用最大公因数知识解决实际问题的题目。

练习时，可先让学生明确求“每段彩带最长几厘米?

”就是求这3个数的最大公因数，然后引导学生根据求两个数的最大公因数的方法迁移类推，找到3个数的最大公因数。

此题有一定的难度，供学有余力的学生选做，教师不宜对全体学生提统一的要求。

信息窗2（102页）

1．情境图

（1）情景图解读：

此信息窗的题目为“剪纸”。

该信息窗呈现了两幅剪纸作品，一幅是鱼和一幅是蝴蝶。

（2）情景图承载的信息：

剪鲤鱼用了这张纸的1／8，剪蝴蝶用了这张纸的3／8。

2．知识点

本信息窗一共3个例题，包含的知识点分别是

（1）同分母分数加法，认识最简分数；

（2）约分的意义和方法；（3）同分母分数减法。

3、教学建议

（1）以分数等值改写为铺垫，搭建认知平台。

学生在三年级上册第八单元“奇妙的变化——分数的初步认识”时，已经初步学习了简单的（分母是一位数的）同分母分数加减法（结果不要求化简），本册第五单元学习了分数的基本性质。

因此，教师可以根据实际情况或者是在学习新知前，或者是在探索受阻时作一些铺垫：

如：

（1）写出比4／8的分子、分母小，但大小相同的分数等等，体会大小相等的分数中，分子、分母小的分数比较简单。

为理解最简分数及约分的含义奠定基础。

至于计算过程，不管是加法还是减法，学生在三年级已经会算了，这里完全可以放给学生独立完成，重点放在如何用最简分数来表示计算结果和计算法则的探索上。

（2）约分是本信息窗的教学重点，要浓墨重彩。

前面说过，简单的同分母加减法在三年级上册已经学过（分母是一位数，现在例题的分母仍然是一位数，但是习题的分母迁移到两位数的。

），第一个例题探索部分两个孩子所述的算理都不是新内容。

因此，本信息窗的教学重点应该放在学习最简分数和约分意义及方法上。

[如：

间接约分和直接约分的区别是什么（直接约分是用最大质因数去除……）？

约分是要注意哪些问题（分子分母必须同时除以同一个数）?

书写格式（约分的数字书写的位置、字号）等等]每一点都必须到位，因为约分是通分、分数加减法、分数乘除法的基础，只有学好它，才能为后继学习大号基础，这一点希望教师要充足的认识。

4、注意的问题

（1）约分的方法是教学难点，教师要引导学生从自己的实际出发，选择适合自己的约分方法。

因为约分是分数四则运算的重要基础，因此，教学一定要到位。

关于约分的方法教材上呈现了两种：

一种是分步约分也就是我们说的间接约分法，用分子、分母的公因数分几次去除，约到分子、分母只有公约数1为止；另一种是一次性约分，也就是直接约分法。

就是直接用最大公因数去除，除到分子、分母只有公因数l为止。

不管用什么方法，约分的结果是一样的，都是得出一个与原来分数等值，且分子分母比原来都小的分数（通常情况下要约成最简分数）至于学生用哪种方法约分，完全可以根据学生的自己的情况去选择（因为这两种约分方法属于同一种思维水平不存在着哪一种方法更优化的问题）。

但是不管用那种方法约分，都需要让学生明白，要想正确约分需要具备两个能力：

一是能够看出分子分母的公因数；其中把分数的分子、分母同时除以2、3或5，是最常用的约分方法。

因为我们教材上出现的分数都比较小，至于其它公因数7、1l、l3等，本单元基本没有涉及到（104页3、4题）。

（这就需要学生能够比较熟悉地掌握前面所学的能够被2、3、5整除的特征，约分时，先观察分子、分母有没有公因数2、3或5，然后决定用分子、分母同时去除以几。

二是识别一个分数是不是最简分数。

如果不是最简分数才需要约分，约分时，要分子分母要同时除以相同的数，这里学生往往容易忽视。

（2）提示学生学习了约分以后，用分数知识解决问题时，要注意结果的一般表示形式。

三年级学习分数加减法时，由于没学约分，在式题计算和解决问题时，即便计算结果不是最简分数，也不需要用最简分数表示，现在学习了约分，以后再遇到这样的问题，教师要向学生说明：

即使是题目中没有要求，一般情况下计算结果也需要用最简分数表示，使学生养成约分的习惯，这一点说起来容易，做起来比较难，教学时要引起注意。

5、自主练习

第2题，是一道配合例2教学练习，要通过做这组练习题，让学生进一步熟练约分的方法，掌握约分的书写格式。

第4题是比较分数大小的题目。

练习时，可让学生选择比较方法，再进行交流。

交流时，着重引导学生说出怎样化简，便于直接进行比较?

让学生体会；有时，将两个分数化成同分母分数进行比较简单一些；有时，将两个分数化成同分子的分数进行比较简单一些，另外，化成同分母的方法也可以是多样的，可以用约分的方法，也可以用分数的基本性质，将分子分母同时扩大。

第5题是运用约分解决现实生活问题的题目。

练习时，先让学生用分数将结果表示出来，如果学生没有将结果写成最简分数，教师可作加以提示，让学生进一步养成用最简分数表示结果的习惯。

第10题是应用分数减法的知识解决实际问题的练习。

练习时，先让学生弄清题意，明确在解决问题时要把谁看作单位“1”，然后让学生通过计算填写表格。

交流时，注意让学生说一说“被减数是1的分数减法”的计算方法。

第l3题是一道综合性较强的题目。

练习时，可先引导学生读懂题目提供的信息，明确要求，再根据问题，筛选解决问题需要的数学信息，独立完成后进行交流。

解决第一个问题时，需要引导学生认真地进行数据的筛选，然后用分数表示结果，并化成最简分数。

练习第三个问题时，鼓励学生提出可以用加减计算的问题，并交流各自的方法。

第14题是一道思考题。

练习时，可让学生独立解决，教师进行个别指导。

如：

先根据分数的基本性质，把1/2写成2/4、3/6、4/8……然后再将分子减去2，即可得到答案。

此题的答案不唯一，可以是去，也可以是1/4，还可以是3/10等等。

信息窗3（107页）

1．情境图

（1）情景图解读：

此信息窗的题目为“作品统计”。

该信息窗呈现了几幅代表作为背景图，并提供了两个统计表。

（2）情景图承载的信息：

第一个统计表提供了王芳等4位同学的作品占小组总数的分数；第二个统计表提供了每类作品占第二小组总数的分数。

2．知识点

本信息窗一共2个例题，包含的知识点分别是

（1）同分母分数连加；

（2）同分母分数连减；（3）加减混合（练习7）

3、教学建议

（1）尝试完全放手，让学生自主探索。

学生学习了第一、二个信息窗，又有整数、小数加减混合运算的为基础，分数加间混合运用，完全可以自学。

教师引导学生总结方法即可。

（2）引导学生在计算中逐步体验优化算法。

由于学生还没有学习通分，在进行连加、连减或加减混合运算时，要让学生通过计算体验到3个同分母的分数相加减，分母不变3个分子直接相加减要比分步计算简便些。

4、注意的问题

（1）对计算结果表达方式的处理问题。

结算结果超过1，如：

练习一、1、计算1／6+5／6+1／6，有的同学喜欢用带分数表示，有的则喜欢用假分数，那么，计算结果到底应该用带分数表示还使用假分数表示?

其实，可以是假分数也可以是带分数。

计算结果还是需要不需要约分?

（学习了约分以后，告诉学生一般情况下计算结果要用最简分数表示）

（2）对解决问题的题目中单位“l”的表述和理解问题。

见108页第3、4、6、8题解释问题的意思。

5、自主练习

第4题是一道运用分数加减混合运算知识解决实际问题的题目。

练习时，先让学生独立完成，然后进行交流。

交流时，注意引导学生先找出中间问题（即：

其他地区的石油储量占世界石油总储量的几分之几），再求海湾地区的石油储量比其他地区多几分之几。

第9题是填空题。

可让学生独立计算并进行交流。

交流时，注意让学生说说是怎样算的。

学生可能先算出等式一边的结果，然后再填空，也可能直接列出加减混合运算的算式进行计算，只要方法合理，教师都要予以肯定。

信息窗4（110页）

1．情境图

（1）情景图解读：

此信息窗的题目为“展板布置”。

该信息窗只呈现了一幅作品，剪刻的是一个充满希望和期待的“春”。

要用这种规格的作品布置成大小不同的正方形展版，且尺寸合适。

（2）情景图承载的信息：

这个“春”字的长方形作品长3分米，宽2分米。

2．知识点

本信息窗一共2个例题，包含的知识点分别是

（1）公倍数和最大公倍数的意义；

（2）找两个数的最小公倍数的方法（找有倍数与因数关系的两个数的最大公因数的方法）。

3、教学建议

公倍数与最小公倍数这个信息窗的编写特色、结构安排与信息窗1公因数与最大公因数的编写特点、结构编排基本上是一致的，因此，其教学建议与教学中所需要注意的问题也基本一样。

（1）借助直观活动，经历概念的形成过程。

也是设计了动手操作活动，只是公因数是用若干个小正方形铺满成大的长方形，而公倍数则是用若干个长方形铺满成大的正方形。

（2）把握内涵外延，准确理解概念的含义。

几个数共有的倍数。

（3）找两个数的公倍数，提倡思考方法多样化。

列举法、短除法。

4、注意的问题

（1）用图示法（韦恩图）表示公倍数时，要注意向学生渗透集合元素的互逆性。

（2）根据后续学习的需要，确立“短除法”教学目标的定位

因为一个数的公倍数的个数是无限的，数值比较大，所以用短除法求两个数的公倍数比求两个数的公因数更方便。

因此，在这里，短处法的作用更大一些，因此，教学目标的确定要更高一些。

（3）比较用短除法求最大公因数和最小公倍数的异同。

用短除法求最大公因数是把所有的除数乘起来，求最小公倍数是把所有的商及除数全部乘起来。

拐弯乘鹤不拐弯乘的问题。

5、自主练习

“自主练习”第1题是找两个数的最小公倍数的题目。

练习时，可以放手让学生独立完成，然后进行交流，是使学生通过对比比较，体会用短除法求最小公倍数的优越性。

第2题是数学游戏。

练习时，要引导学生发现：

举两次手的同学，他（她）的学号既是4的倍数又是6的倍数，也就是4和6的公倍数。

另外，还可以用这样的形式，以其它两个数为例开展活动，也能得出同样的结论。

第3题是找公倍数的趣味性练习。

练习时，可将小强和爸爸所踩到的木桩分别涂上不同的颜色，然后找出他们共同踩到的木桩，从而明确“小强和爸爸都能踩到的木桩”号就是2和3的公倍数。

第4题是一道应用公倍数知识解决实际问题的题目。

练习时，可先让学生读懂题目中的信息和问题，明确求“这个班的同学可能有多少人”就是求8和6的公倍数。

然后让学生独立完成，再交流。

交流时，要引导学生能够结合实际情况合理取值，得出比较合适的结论（答案不是唯一的）。

第5是一道具有例题功能的练习题。

蕴含着找“有约数、倍数关系的两个数”和“只有公约数1的两个数”的最小公倍数的方法的题目。

练习时可以引导学生观察每组数有什么特点，说一说自己的发现并进行充分交流，通过交流使学生明确“如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数是其中的较大数”、“如果两个数的公因数只有1，那么它们的最小公倍数就这两个数的乘积”。

第6题是用短除法求两个数韵最小公倍数和最大公因数的对比练习。

由于学生实际计算时容易将用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法混淆，所以练习时教师要加强指导，引导学生明确二者的区别。

第7题是求两个分数分母的最小公倍数的练习。

借助该练习，巩固求最小公倍数的方法，为学习通分打基础。

练习时，先让学生明确求谁的最小公倍数，再让学生独立计算，然后进行交流。

第8题是用最小公倍数的知识解决实际问题的题目。

练习时，可以通过引导使学生明确一家人再次一起出来玩时，所经过的时间必须既是6天的倍数，又是4的倍数，也就是它们的最小公倍数12，因此正确答案是：

至少再过12天才能又可以一起出来玩。

“聪明小屋”是一道用最小公倍数的知识解决实际问题的题目。

练习时，教师要注意引导学生理解鸡蛋的个数减去1以后，所得的结果分别是5、4、3的倍数，也就是5、4、3的公倍数，求“至少有多少个鸡蛋?

”就是先求5、4、3的最小公倍数再加上1所得的结果。

此题的答案是61。

“聪明小屋”仅供学有余力的学生解答，不要求所有学生都掌握。