62等差数列典型例题及详细解答.docx
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62等差数列典型例题及详细解答
1．等差数列的定义
一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母__d__表示．
2．等差数列的通项公式
假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.
3．等差中项
a＋b
假如A＝2，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
（1）通项公式的推行：
an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）
若{
n}为等差数列，且
k
＋
＝＋（
k
，
，，∈N*），则
a
k＋l＝
m＋n.
a
l
mn
l
mn
aa
a
（3）
若{an}是等差数列，公差为
d，则{a2n}也是等差数列，公差为
2d.
（4）
若{a}，{b}是等差数列，则
{pa＋qb}也是等差数列．
nn
n
n
（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
na＋a
n
n
n－1
设等差数列{an}的公差为
d，其前n项和Sn＝
1
或Sn＝na1＋
d.
2
2
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝dn2＋a1－dn.
22
数列{an}是等差数列?
Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．
【思虑辨析】
判断下边结论能否正确（请在括号中打“√”或“×”
）
（1）
若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数
，则这个数列是等差数
列．（×）
（2）
n
*
，都有2a
n＋1
＝a
n
n＋2
√）
数列{a}为等差数列的充要条件是对随意n∈N
＋a
.（
（3）
等差数列{an}的单一性是由公差
d决定的．（
√
）
（4）
数列{a}为等差数列的充要条件是其通项公式为
n的一次函数．（
×
）
n
（5）数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．（×）
（6）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（此中p，q为常数），则数列{an}必定是等差数列．（√）
1．（2015·重庆）在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于（）
A．－1B．0C．1D．6
答案
B
分析
由等差数列的性质，得
a
6＝24－2＝2×2－4＝0，选B.
aa
2．（2014·福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1
＝2，S3＝12，则a6
等于（）
A．8B．10C．12D．14
答案
C
3×2
分析
由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋2×d＝12，
解得
＝2，所以
6
＝1
＋5＝2＋5×2＝12，应选C.
d
a
a
d
3．在等差数列{
a
}中，已知
a
4＋
8＝16，则该数列前
11项和11等于（
）
n
A．58B．88C．143D．176
答案
B
分析
S11＝
11a1＋a11
11
a4＋a8
2
＝
2
＝88.
4．设数列{a}是等差数列，若
a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋＋a7等于（
）
n
A．14B．21C．28D．35
答案
C
分析∵a＋a＋a＝3a＝12，∴a＝4，
3
4
5
4
4
∴a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.
5．（2014·北京）若等差数列{an}知足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的
前n项和最大．答案8
分析因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，
所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．
题型一等差数列基本量的运算
*
有2an＋1＝1＋2
an，则数列{an}前10项
例1
（1）在数列{an}中，若a1＝－2，且对随意的n∈N
的和为（
）
A．2B．10
（2）已知在等差数列{a}中，a＝7，a＝15，则前10
项和S等于（
）
n
2
4
10
A．100
B．210
C．380
D．400
答案
（1）C
（2）B
1
分析
（1）由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝2，
1
所以数列{an}是首项为－2，公差为
的等差数列，
2
所以
10×10－1
1
5
10＝10×（－2）＋
×＝.
S
2
2
2
（2）因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，
故S10＝10×3＋1×10×9×4＝210.2
思想升华
（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项
a1和公差
d，而后由通项公式或前
n
项和公式转变成方程
（组）求解．
（2）
等差数列的通项公式及前
n项和公式，共波及五个量
a1，
an，d，n，Sn，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．
（1）（2015·课标全国Ⅱ
）设Sn是等差数列
{an}的前
n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于（
）
A．5B．7C．9D．11
S3S2
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且知足3－2＝1，则数列{an}的公差是（）
B．1C．2D．3
答案
（1）A
（2）C
分析
（1）∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，
5a1＋a5
∴S＝
＝5a＝5.应选A.
5
2
3
n
n
a
a
S
a
a
n
S
S
（2）∵S＝
1
＋n
n
1
＋
3
2
2
，∴n＝
2
，又3－2＝1，
得
a1＋a3
a1＋a2
－
2
＝1，即a3－a2＝2，
2
∴数列{an}的公差为2.
题型二等差数列的判断与证明
例2
已知数列{
a
n}中，
a
1＝
3
，n＝2－
1
（≥2，
n
∈N*），数列{
n}知足
n＝
1
（∈N*）．
5
a
a
n
b
b
n
a－1
n－1
n
（1）求证：
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明原因．
（1）证明
n
1
*
因为a＝2－
a
（n≥2，n∈N），
n－1
1*
bn＝（n∈N），
11
所以bn＋1－bn＝an＋1－1－an－1
＝
1
1
an
1
1
－＝
－
＝1.
an－1
an－1
an－1
2－an
－1
又b1＝
1
5
＝－.
a－1
2
1
5
为公差的等差数列．
所以数列{bn}是以－为首项，1
2
（2）解
由
（1）
7
知bn＝n－，
2
1
2
则an＝1＋
＝1＋.
bn
2n－7
2
设f（x）＝1＋2x－7，
77
则f（x）在区间（－∞，）和（，＋∞）上为减函数．
22
所以当n＝3时，a
获得最小值－
1，当n＝4时，a获得最大值3.
n
n
引申研究
例2中，若条件变成
1
＝3，
na
n＋1＝（
n
＋1）
a
n＋（
n
＋1），研究数列{
n}的通项公式．
a
5
n
a
an＋1an
解由已知可得＝＋1，
a
n＋1
a
3
n
1＝，
即－
＝1，又
n＋1
n
a
5
an
a13
∴n是以
1＝5为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝
3＋（n－1）·1＝n－
2
，
n
5
5
22
∴an＝n－5n.
思想升华等差数列的四个判断方法
（1）定义法：
证明对随意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
（2）
等差中项法：
证明对随意正整数
n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－
a
n＝
n－n－1＝
n－1－
a
n－2＝＝2－
a
1，依据定义得出数列
{
a
n}为等差数列．
a
aa
a
（3）
通项公式法：
得出
a＝pn＋q后，得a
－a
＝p对随意正整数
n恒建立，依据定义判断
n
n＋1
n
数列{an}为等差数列．
（4）
前n项和公式法：
得出S＝An＋Bn后，依据S，a的关系，得出a，再使用定义法证明
n
2
n
n
n
数列{an}为等差数列．
（1）若{a}是公差为1
的等差数列，则{a
＋2a}是（）
n
2n－1
2n
A．公差为3
的等差数列
B．公差为4的等差数列
C．公差为6
的等差数列
D．公差为9的等差数列
（2）在数列{
n}中，若
a
1＝1，2
1
2
1
＋
1
*
＝，
＝
（
∈N），则该数列的通项为（）
a
a
2
a＋1
a
n
a＋2
n
n
n
n
1
n
2
A．a＝n
B．a
＝n＋1
2
3
C．an＝n＋2
D．an＝n
答案
（1）C
（2）A
分析
（1）∵a2n－1＋2a2n－（a2n－3＋2a2n－2）
＝（a2n－1－a2n－3）＋2（a2n－a2n－2）
＝2＋2×2＝6，
∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．
（2）
由已知式
2
＝
1
1
可得
＋
an＋1
an
an＋2
1
－
1
＝
1
－
1
，知{
1
}是首项为
1
＝1，公差为
1
－
1
＝2－1＝1的等差数列，所以
1
＝，
an＋1
an
an＋2
an＋1
an
a1
a2
a1
an
n
1
即an＝n.
题型三等差数列的性质及应用
命题点1等差数列的性质
例3
（1）（2015·广东）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
答案
（1）10
（2）60
分析
（1）因为{
a
}是等差数列，所以
a
3＋
7＝
4＋6＝2＋8＝25，
3＋
4＋
5＋
6＋
7＝5
a
5
n
＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
（2）∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且
S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，
∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.
命题点
2
等差数列前
n项和的最值
例
4
在等差数列
{an}中，已知
a1＝20，前
n项和为
Sn，且
S10＝S15，求当
n
取何值时，
Sn取
得最大值，并求出它的最大值．
解∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋10×9d＝15×20＋15×14d，
22
5
∴d＝－3.
5
565
方法一
由an＝20＋（n－1）×－3＝－3n＋
3.
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn获得最大值，
12×115
且最大值为S12＝S13＝12×20＋2×－3＝130.
方法二
n＝20＋nn－1
·－
5
Sn
3
2
＝－5n2＋125n
66
5
25
2
3125
＝－6n
－
＋24.
2
*
，∴当n＝12或13时，S有最大值，且最大值为
S＝S＝130.
∵n∈N
n
12
13
方法三
由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a＝0，即a＝0.
13
13
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
引申研究
例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，Sn获得最小值，
并求出最小值．
解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，∴当n＝12或13时，Sn获得最小值，
1
13
最小值
12＝13＝
13a
＋a
＝－130.
SS
2
思想升华
（1）等差数列的性质：
①项的性质：
在等差数列{
a
n}中，
a
m－
n＝（－）?
am－an
），其几何意义是点
（
n
，
＝（≠
a
mnd
m－n
dmn
an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．
②和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
a．S2n＝n（a1＋a2n）＝＝n（an＋an＋1）；
b．S2n－1＝（2n－1）an.
（2）求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：
①函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函
数最值的方法求解．
②邻项变号法：
am≥0，
a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得Sn获得最大值Sm；
am＋1≤0
am≤0，
b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得Sn获得最小值Sm.
am＋1≥0
（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n
的值是（）
A．5B．6C．7D．8
（2）设数列{an}是公差d＜0
的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，
n的值为（）
A．5
B．6
C．5或6
D．11
（3）已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．
答案
（1）B
（2）C（3）110
分析
（1）依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，所以
在该数列中，前6项均为正数，
自第
7项起此后各项均为负数，
于是当
Sn取最大值时，
n＝6，
选B.
（2）由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.
（3）因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入乞降公式得，
n＝1＋n
n－1
＝20－nn－1
×2
Sna
2
d
n
2
2
212
212
＝－n＋21n＝－n－2
＋2
，
*
n
又因为n∈N
，所以n＝10或n＝11时，S获得最大值，最大值为110.
6．等差数列的前n项和及其最值
典例
（1）
在等差数列{a}中，2（a＋a＋a）＋3（a＋a）＝54，则此数列前10
项的和S
等于
n
1
3
5
7
9
10
（
）
A．45
B．60
C．75
D．90
（2）在等差数列{a}中，S＝100，S＝10，则S＝________.
n
10
100
110
（3）等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（
）
A．SB．SC．SD．S
4
5
6
7
思想点拨
（1）求等差数列前
n项和，能够经过求解基本量
a1，d，代入前n项和公式计算，
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