62等差数列典型例题及详细解答.docx
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62等差数列典型例题及详细解答
1.等差数列的定义
一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数
列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,往常用字母__d__表示.
2.等差数列的通项公式
假如等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
a+b
假如A=2,那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推行:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)
若{
n}为等差数列,且
k
+
=+(
k
,
,,∈N*),则
a
k+l=
m+n.
a
l
mn
l
mn
aa
a
(3)
若{an}是等差数列,公差为
d,则{a2n}也是等差数列,公差为
2d.
(4)
若{a},{b}是等差数列,则
{pa+qb}也是等差数列.
nn
n
n
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
na+a
n
n
n-1
设等差数列{an}的公差为
d,其前n项和Sn=
1
或Sn=na1+
d.
2
2
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=dn2+a1-dn.
22
数列{an}是等差数列?
Sn=An2+Bn(A、B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,则Sn存在最__小__值.
【思虑辨析】
判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”
)
(1)
若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数
,则这个数列是等差数
列.(×)
(2)
n
*
,都有2a
n+1
=a
n
n+2
√)
数列{a}为等差数列的充要条件是对随意n∈N
+a
.(
(3)
等差数列{an}的单一性是由公差
d决定的.(
√
)
(4)
数列{a}为等差数列的充要条件是其通项公式为
n的一次函数.(
×
)
n
(5)数列{an}知足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.(×)
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(此中p,q为常数),则数列{an}必定是等差数列.(√)
1.(2015·重庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于()
A.-1B.0C.1D.6
答案
B
分析
由等差数列的性质,得
a
6=24-2=2×2-4=0,选B.
aa
2.(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1
=2,S3=12,则a6
等于()
A.8B.10C.12D.14
答案
C
3×2
分析
由题意知a1=2,由S3=3a1+2×d=12,
解得
=2,所以
6
=1
+5=2+5×2=12,应选C.
d
a
a
d
3.在等差数列{
a
}中,已知
a
4+
8=16,则该数列前
11项和11等于(
)
n
A.58B.88C.143D.176
答案
B
分析
S11=
11a1+a11
11
a4+a8
2
=
2
=88.
4.设数列{a}是等差数列,若
a3+a4+a5=12,则a1+a2++a7等于(
)
n
A.14B.21C.28D.35
答案
C
分析∵a+a+a=3a=12,∴a=4,
3
4
5
4
4
∴a1+a2++a7=7a4=28.
5.(2014·北京)若等差数列{an}知足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的
前n项和最大.答案8
分析因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,
所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.
题型一等差数列基本量的运算
*
有2an+1=1+2
an,则数列{an}前10项
例1
(1)在数列{an}中,若a1=-2,且对随意的n∈N
的和为(
)
A.2B.10
(2)已知在等差数列{a}中,a=7,a=15,则前10
项和S等于(
)
n
2
4
10
A.100
B.210
C.380
D.400
答案
(1)C
(2)B
1
分析
(1)由2an+1=1+2an得an+1-an=2,
1
所以数列{an}是首项为-2,公差为
的等差数列,
2
所以
10×10-1
1
5
10=10×(-2)+
×=.
S
2
2
2
(2)因为a2=7,a4=15,所以d=4,a1=3,
故S10=10×3+1×10×9×4=210.2
思想升华
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项
a1和公差
d,而后由通项公式或前
n
项和公式转变成方程
(组)求解.
(2)
等差数列的通项公式及前
n项和公式,共波及五个量
a1,
an,d,n,Sn,知此中三个就能求此外两个,表现了方程的思想.
(1)(2015·课标全国Ⅱ
)设Sn是等差数列
{an}的前
n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于(
)
A.5B.7C.9D.11
S3S2
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且知足3-2=1,则数列{an}的公差是()
B.1C.2D.3
答案
(1)A
(2)C
分析
(1)∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,
∴a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,
5a1+a5
∴S=
=5a=5.应选A.
5
2
3
n
n
a
a
S
a
a
n
S
S
(2)∵S=
1
+n
n
1
+
3
2
2
,∴n=
2
,又3-2=1,
得
a1+a3
a1+a2
-
2
=1,即a3-a2=2,
2
∴数列{an}的公差为2.
题型二等差数列的判断与证明
例2
已知数列{
a
n}中,
a
1=
3
,n=2-
1
(≥2,
n
∈N*),数列{
n}知足
n=
1
(∈N*).
5
a
a
n
b
b
n
a-1
n-1
n
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明原因.
(1)证明
n
1
*
因为a=2-
a
(n≥2,n∈N),
n-1
1*
bn=(n∈N),
11
所以bn+1-bn=an+1-1-an-1
=
1
1
an
1
1
-=
-
=1.
an-1
an-1
an-1
2-an
-1
又b1=
1
5
=-.
a-1
2
1
5
为公差的等差数列.
所以数列{bn}是以-为首项,1
2
(2)解
由
(1)
7
知bn=n-,
2
1
2
则an=1+
=1+.
bn
2n-7
2
设f(x)=1+2x-7,
77
则f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)上为减函数.
22
所以当n=3时,a
获得最小值-
1,当n=4时,a获得最大值3.
n
n
引申研究
例2中,若条件变成
1
=3,
na
n+1=(
n
+1)
a
n+(
n
+1),研究数列{
n}的通项公式.
a
5
n
a
an+1an
解由已知可得=+1,
a
n+1
a
3
n
1=,
即-
=1,又
n+1
n
a
5
an
a13
∴n是以
1=5为首项,1为公差的等差数列,
∴an=
3+(n-1)·1=n-
2
,
n
5
5
22
∴an=n-5n.
思想升华等差数列的四个判断方法
(1)定义法:
证明对随意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)
等差中项法:
证明对随意正整数
n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-
a
n=
n-n-1=
n-1-
a
n-2==2-
a
1,依据定义得出数列
{
a
n}为等差数列.
a
aa
a
(3)
通项公式法:
得出
a=pn+q后,得a
-a
=p对随意正整数
n恒建立,依据定义判断
n
n+1
n
数列{an}为等差数列.
(4)
前n项和公式法:
得出S=An+Bn后,依据S,a的关系,得出a,再使用定义法证明
n
2
n
n
n
数列{an}为等差数列.
(1)若{a}是公差为1
的等差数列,则{a
+2a}是()
n
2n-1
2n
A.公差为3
的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6
的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)在数列{
n}中,若
a
1=1,2
1
2
1
+
1
*
=,
=
(
∈N),则该数列的通项为()
a
a
2
a+1
a
n
a+2
n
n
n
n
1
n
2
A.a=n
B.a
=n+1
2
3
C.an=n+2
D.an=n
答案
(1)C
(2)A
分析
(1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)
=(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)
=2+2×2=6,
∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.
(2)
由已知式
2
=
1
1
可得
+
an+1
an
an+2
1
-
1
=
1
-
1
,知{
1
}是首项为
1
=1,公差为
1
-
1
=2-1=1的等差数列,所以
1
=,
an+1
an
an+2
an+1
an
a1
a2
a1
an
n
1
即an=n.
题型三等差数列的性质及应用
命题点1等差数列的性质
例3
(1)(2015·广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=________.
答案
(1)10
(2)60
分析
(1)因为{
a
}是等差数列,所以
a
3+
7=
4+6=2+8=25,
3+
4+
5+
6+
7=5
a
5
n
=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.
(2)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且
S10=10,S20=30,S20-S10=20,
∴S30-30=10+2×10=30,∴S30=60.
命题点
2
等差数列前
n项和的最值
例
4
在等差数列
{an}中,已知
a1=20,前
n项和为
Sn,且
S10=S15,求当
n
取何值时,
Sn取
得最大值,并求出它的最大值.
解∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+10×9d=15×20+15×14d,
22
5
∴d=-3.
5
565
方法一
由an=20+(n-1)×-3=-3n+
3.
得a13=0.
即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
∴当n=12或13时,Sn获得最大值,
12×115
且最大值为S12=S13=12×20+2×-3=130.
方法二
n=20+nn-1
·-
5
Sn
3
2
=-5n2+125n
66
5
25
2
3125
=-6n
-
+24.
2
*
,∴当n=12或13时,S有最大值,且最大值为
S=S=130.
∵n∈N
n
12
13
方法三
由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a=0,即a=0.
13
13
∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
引申研究
例4中,若条件“a1=20”改为a1=-20,其余条件不变,求当n取何值时,Sn获得最小值,
并求出最小值.
解由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0,
∴a13=0.又a1=-20,∴a12<0,a14>0,∴当n=12或13时,Sn获得最小值,
1
13
最小值
12=13=
13a
+a
=-130.
SS
2
思想升华
(1)等差数列的性质:
①项的性质:
在等差数列{
a
n}中,
a
m-
n=(-)?
am-an
),其几何意义是点
(
n
,
=(≠
a
mnd
m-n
dmn
an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
②和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
a.S2n=n(a1+a2n)==n(an+an+1);
b.S2n-1=(2n-1)an.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:
①函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,经过配方或借助图象求二次函
数最值的方法求解.
②邻项变号法:
am≥0,
a.当a1>0,d<0时,知足的项数m使得Sn获得最大值Sm;
am+1≤0
am≤0,
b.当a1<0,d>0时,知足的项数m使得Sn获得最小值Sm.
am+1≥0
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n
的值是()
A.5B.6C.7D.8
(2)设数列{an}是公差d<0
的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,
n的值为()
A.5
B.6
C.5或6
D.11
(3)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.
答案
(1)B
(2)C(3)110
分析
(1)依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,所以
在该数列中,前6项均为正数,
自第
7项起此后各项均为负数,
于是当
Sn取最大值时,
n=6,
选B.
(2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a6=0,故当n=5或6时,Sn最大,选C.
(3)因为等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,代入乞降公式得,
n=1+n
n-1
=20-nn-1
×2
Sna
2
d
n
2
2
212
212
=-n+21n=-n-2
+2
,
*
n
又因为n∈N
,所以n=10或n=11时,S获得最大值,最大值为110.
6.等差数列的前n项和及其最值
典例
(1)
在等差数列{a}中,2(a+a+a)+3(a+a)=54,则此数列前10
项的和S
等于
n
1
3
5
7
9
10
(
)
A.45
B.60
C.75
D.90
(2)在等差数列{a}中,S=100,S=10,则S=________.
n
10
100
110
(3)等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为(
)
A.SB.SC.SD.S
4
5
6
7
思想点拨
(1)求等差数列前
n项和,能够经过求解基本量
a1,d,代入前n项和公式计算,