包装动力学作业以及答案.docx
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包装动力学作业以及答案
1.产品质量m=10（kg）
2
400（cm），衬垫厚度h分别取产品衬垫系统的固有频率。
解衬垫厚度h=l.10（cm）
。
所用缓冲衬垫的弹性模量E=800（kPa），衬垫面积A=
、、5.28（cm），试求这三种情况下衬垫的弹性常数及
时，其弹性常数为
.EA80400k29.09（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
fn二1
2兀
—5
匕=丄竺0=7。
〔Hz〕
m2二，15
衬垫厚度h=2.16（cm）时其弹性常数为
EA80400,、
k14.81（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
fnJ
2兀
5
14.8110=50〔Hz〕
衬垫厚度h=5.28（cm）时，其弹性常数为
EA80400,、
k6.06（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
5
T10=32〔Hz〕
15
2•一包装件的产品质量m=6kg，缓冲垫等效弹性系数为k=600N/m，当其作无阻
尼自由振动时给一个初始位移为A=0.04m，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方
程。
3•一包装件产品质量m=8kg，缓冲垫等效弹性系数为k=500N/m，将其简化为有
阻尼单自由度模型，设阻尼比为.。
当其作有阻尼自由振动时给一个初始位移为A=
0.02m,使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。
解：
固有园频率
k「500
Vm=VT=〔rad⑸
阻尼系数
①振动周期
2
〔s〕
7.912
初始条件
x0二
V。
-0
x2nx2vf
--_n
“.2
20.395^0.02+0〕
222〔m〕
：
一arctan
22
-n
-~2~nx0V0
『0.02汇2—2
=arctan-
0.3950.020
=
②位移方程
③振幅比
xt=0.02e°395t
nT10.395x^.795」
d=e1
A
A*=^^0.1Ad
1
di10
3
1,5
1
旷
:
■
1
^0.0,
5''''
■■■'11
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[
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35
[
<
3瓦50
—-
'J
二
H=——[
■
一___「
三1
0*5
0
2,5
3
1
4.试根据有阻尼强迫振动的幅频特性曲线（图2）分析：
当入=0、0V入V.2、入〉这三种情况下幅频特性曲线的特点。
约为8次
5.产品中易损零件的固有频率fsn=70（Hz），阻尼比匚s，产品衬垫系统的阻尼比
，固有频率fn分别为70、50、32（Hz），振动环境的激振频率f=1〜100（Hz）,
加速度峰值ym=3g，试分析这三种情况下缓冲衬垫的减振效果。
f=70（Hz）时发生共
解如果不包装，产品将直接受到振动环境的鼓励，易损零件将在振，共振时的放大系数及加速度峰值为
11
Hmax7.14
2工
xsm=Hmaxym=7.143g=21・42g
（1）fn=70（Hz）的情况
因为fn=fsn,易损零件的两次共振归并为一次，发生在f=70（Hz）时，共振时的放大系数及加速度峰值为
H2叮s
2
*—v
ll4于2汉、4S252
Xsm2=H2ym=
加速度峰值是无包装的倍。
由此可见，缓冲衬垫在这种情况下不但不能减振，反而加
剧了易损零件的振动。
（2）fn=50（Hz）的情况
易损零件第一次共振发生在f=50（Hz）时，X，其放大系数及加速度峰值为
1口H4匚
Xsm1=H1ym
易损零件第二次共振发生在f=70（Hz）时，X，其放大系数及加速度峰值为
H1
1—2■.
2
224.524
142‘2
22
22
1.
2
2X0.07\|1_「42）4汉2汉2
Xsm2=H2ym=7.543g=
第二次共振的加速度峰值与无包装相等，有包装与无包装一样，所以缓冲衬垫没有减振效果。
（3）fn=32（Hz）的情况
易损零件的第一次共振发生在
为
f=32（Hz）时，X；，其放大系数及加速度峰值
H1
1+4匚2
2
22
2
[4：
21—2\
xsm1=H1ym=2.843g
易损零件的第二次共振发生在f=70（Hz）时，X，其放大系数及加速度峰值为
H2
22
一1'…2
2、22仆22
xsm2=H2ym=2.683g=8.04g
易损零件两次共振的强烈程度相当，加速度峰值比无包装下降了62%，缓冲衬垫的减振效
果非常明显，这是因为fn=0.43fsn，即产品衬垫系统的固有频率比零件系统的固有频率低
得多。
6.有一包装件，产品质量为m=2kg，衬垫的弹性系数为k=600N/m。
将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为3Hz，最大输入加速度为,求产品响应的最大位移和最大加速度值。
7.一个包装件系统，其固有频率f=20Hz,阻尼比二-，试求这个系统发生共振时
的激振频率；外部鼓励振幅为，试求系统共振时的振幅；当阻尼比时，
再次求系统共振时的振幅。
8.有一包装件，产品质量为m=4kg，衬垫的弹性系数为k=800N/m。
阻尼比为.=0.25,试求这个系统共振时的激振频率；当外部鼓励振幅为时，求系统共振时的振幅。
9.将一个固有频率为fm=16Hz，阻尼比为=0.的有阻尼弹簧质量系统固定在作简
谐振动的振动台上，其激振频率为f=12Hz，最大加速度为1g,求：
⑴振动台运动的振幅ym;
⑵放大系数3;
⑶产品响应最大位移xm;
⑷产品响应最大加速度。
10.测得产品中易损部件的固有频率fm=60Hz，产品质量m=10kg，振动环境的
激振频率范围为f=1〜100Hz。
缓冲材料的弹性模量E=0.8MPa，缓冲衬垫与产
品底部的接触面积为A=400cm2，试设计产品一衬垫系统的衬垫厚度，使包装后能减小易
损部件的响应加速度。
2一
11产品质量m=10（kg）,衬垫面积A=120（cm）,衬垫厚度h=3.6（cm）,缓冲材料的弹性模量E=700（kPa），包装件的跌落高度H=75（cm），不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试
求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间和速度改变量。
解：
产品衬垫系统的固有频率为：
片ea_
7001°312010‘=153（rad/s）
■mh_
2
103.610
153
fn=
25（Hz）
2二
2二
产品的冲击持续时间为：
T1/2fn=
1/（2X25）=0.02（s）
衬垫的最大变形为：
Xm=2gH=29.8=2.51（cm）
⑷153
产品的最大加速度为：
00"Q
Xm2gH=153、29.80.75=587（m/s）
Gm=—凹=60
产品的速度改变量为：
v=2.2gH=229.80.75=7.67（m/s）
12.密度为3的泡沫聚乙稀的C—m曲线如图2所示，取跌落高度H=100cm，衬垫厚度分别取、、，试绘制这种材料的Gm—（TSt曲线。
13.在缓冲材料冲击机上对密度为
IO
8
4
2
测试数据
坐标计算
h/cm
m/kg
Xm/（m/s2）
tst/kPa
Gm
5
637
65
2
549
56
图2
的聚苯乙烯泡沫塑料进行冲击试验，试样厚度分别为5cm和10cm,试验面积均为10cmx10cm,试验跌落高度均为60cm,试验所得数据如表，试绘制其Gm—tst曲线。
3
470
48
4
461
47
5
480
49
7
529
54
10
1
657
67
2
441
45
3
323
33
5
245
25
8
225
23
10
235
24
20
323
33
30
441
45
作业五
1•一包装件中，产品质量m=8kg,产品脆值G=45,衬垫面积A=554cm2,衬垫厚度h=，衬垫材料为密度3的泡沫聚氨酯，其C—cm曲线如图3所示，该包装件自高度为H=40cm处跌落，试问内装产品是否平安？
解材料的C值与；「m值必须满足下式：
CAh
Cm
WH
式中Cm的单位取
=104；冷被变换成了曲线,
4，
5545.8710“
mi04；「m
8
MPa。
由于采用对数坐标，在图上直线此曲线与C-；市曲线的交点坐标：
；冷=0.04MPa，故产品最大加速度为
―CH4X40Gm
显然，GmvG，产品落地后是平安的。
2.产品质量m=10kg，产品脆值G=60,设计跌落高度H=80cm，选用密度为的泡沫聚苯乙烯（图4）对产品作局部缓冲包装，试计算衬垫的厚度和面积。
解这种缓冲材料是图4中的曲线1，其最低点的坐标：
C=，匚m=260kPa=26N/cm。
缓冲衬垫的厚度为
产品重力W=98N,
」CH3.780,“
h4.93（cm）
G60
缓冲衬垫的面积为
GW6098/2、
A226（cm）
CTm26
对衬垫的稳定校核：
1.33h2=1.334.932=43（cm。
A被分为四块，Amin=△=56.5（cm2）。
显然，Amin>（）2，所以上面计算的衬垫面积
4
与厚度是可取的。
24€1050IDO2004001000
ti/kPa
⑴泡沫聚苯乙烯
⑹岩绵150
（11）
⑵
⑺岩绵200
（12）泡沫橡胶
⑶
⑻泡沫聚氨酯
（13）刨花
⑷泡沫聚乙烯
⑼泡沫聚氨醚
（14）泡沫聚苯乙烯碎屑
⑸岩绵100
⑽泡沫聚氯乙烯
（15）塑料刨花
图4
各种常用缓冲材料的
C-；「m曲线
14
098765432
3•产品质量m=15kg，产品脆值G=60,底面面积为40cmx40cm,设计跌落高度H=80cm，采用全面缓冲，试按最低点原那么选择缓冲材料，并计算衬垫厚度。
如规定用密度为3的泡沫聚乙稀作缓冲材料（图4），试计算衬垫厚度。
解作全面缓冲时，衬垫面积等于产品面积，即A=1600cm2。
衬垫最大应力为
GW
_A
6015
=
1600
在图4的横轴上取二m=55kPa的点，并向上作垂线,
2
（N/cm）=55（kPa）
C曲线最低点在这条垂线上的材料
H=60（cni：
1
图5聚苯乙烯的最大加速度〜静应力
为泡沫聚氯乙烯碎屑，其密度为3，C=6，
故衬垫厚度为
h=CH=680=8（cm）
G60
如果规定用p=0.035（g/cm3）的泡沫聚乙烯作缓冲材料，贝恠图4的横轴上取；「m=55（kPa）的点，并向上作垂线与曲线④相交，该交点的纵坐标就是
所要求的缓冲系数，故衬垫厚度为
H80
h=C10.514（cm）
G60
计算结果说明，本例用0.035（g/cm3）的泡沫聚苯乙
烯也可以作面缓冲，只是厚度太大，不经济。
原因是对于这个产品，这种材料太硬了。
4.产品质量m=，产品脆值G=20,底面面
曲线
积为35cmx35cm,设计跌落高度H=120cm，试选择缓冲材料并计算衬垫尺寸（图4）。
解
（1）局部缓冲方案
选用p3的泡沫聚苯乙烯对产品作局部缓冲，其C—；仙曲线（图4）最低点的
坐标：
，:
「m=260kPa=26N/cm，衬垫的厚度与面积分别为
H120
h—C3.722.2（cm）
G20
人GW2073.52
A56.5（cm）
26
对计算结果的稳疋校核：
（1.33h$=（1.33X22.2$=871.8（cni）
因为Amin<（1.33h）2,衬垫不稳定，所以局部缓冲方案不能成立。
（2）全面缓冲方案
衬垫最大应力为：
；冷=空=2073.5=1.2（N/cm2）=12（kPa）A1225
在图4中，选用p3的泡沫聚氨酯对产品作全面缓冲。
当；「m=12kPa时，C=3.4,
故衬垫厚度为
h=C——=3.4X=20.4（cm）
G20
这个产品质量小、脆值小，
跌落高度大，选用较软的泡沫聚氨酯作全面缓冲是合理的。
度h=，包装件跌洛咼度解衬垫的静应力为
宀
'■-'st..4
A654心0
在图中的横轴上取；「st=3kPa,
5•产品质量m=20kg，缓冲材料的Gm—st曲线如图5,衬垫面积A=654cm2,衬垫厚H=60cm，试求产品跌落冲击时的最大加速度。
=3（kPa）
并作一垂线。
图上的只有4cm和5cm，没有厚度恰好为
的试验曲线，因4cm和5cm的中间取一点，这个点的纵坐标就是产品跌落冲击时的最大加速度，故所求的Gm=55。
通过本例可以看出，用Gm-；「st曲线求解产品跌落冲击时的最大加速度，方法非常简单。
Gm-；「st曲线是实验曲线，所以，这种解法不但简单，而且求解结果更可靠。
6.产品质量m=10kg,产品脆值G=72,底面面积为35cmx35cm,包装件跌落高度H=90cm，选择缓冲材料如图5，试问对这个产品是作全面缓冲好还是作局部缓冲好？
解：
①对产品作全面缓冲时，衬垫静应力为
二mg
_A
10
3535
2、
（N/cm）
=0.8（kPa）
在图5上，作直线Gm=G=73和直线Cst=0.8kPa,两直线的交点F在给定曲线之外，这说明,即使是取，也不能保证产品的平安。
假设坚持作全面缓冲，那么厚度还要大大增加，经济上是不合理的。
②采用局部缓冲时，应取h=5cm因为它的Gm-4t曲线的最低点的Gm=73，恰好等
于产品脆值，这个点的静应力；「st=2.5kPa=2,故衬垫面积为
mg1^9.8/2、
A392（cm）
匚st
采用四个面积相等的角垫，那么每个角垫的面积为
=△_392
44
2
=98（cm）
衬垫的稳定校核:
Amin>0.33h/=44（cm）
上面的计算说明，局部缓冲不但可以大大减小衬垫厚度，而且可以大大减小衬垫面积，所以,
就这个产品和这种材料来说，还是局部缓冲为好。
7•产品质量m=25kg，产品脆值G=55，包装件跌落高度H=90cm，采用局部缓冲如图6,试求缓冲衬垫尺寸。
解在计算缓冲衬垫时，要选最低点的Gm=G的曲线。
此题的G=55，图6上没有这样的曲线。
因此取邻近曲线。
令Gm=55，它是
一条水平直线，与的曲线相交于Bi,R两点，点B静应力小，衬垫面积大；点B2
2
Cst
因此衬垫面积为
W
259.8/2、
A
395（cm）
；「st
选点B，衬垫厚度，静应力为
静应力大，衬垫面积小。
为了节省材料，因此
采用四个面积相等的角垫，那么每个角垫的面积为
AA395cc/2
Amin99（cm）
44
衬垫的稳定校核：
Amin=（1.33h2=99（cm）
上面的计算说明，选点B2计算衬垫面积是稳定的，因而选点B计算衬垫面积是合理的。
8•产品质量m=25kg，产品脆值G=65，包装件跌落高度H=90cm，采用局部缓冲如图
6,试求缓冲衬垫尺寸。
解在图6上作水平直线Gm=65,邻近曲线有两条，一条h=5cm,一条h=7.5cm,h=5cm的曲线在Gm=65之上，假设取h=5cm,那么必有Gm>G,不平安。
的曲线最低点离Gm=65太远，假设取，那么衬垫太厚，太不经济。
因此设想有一条未知曲线，如图中虚线，其最低点的Gm恰好等于65,然后按式（5—29）和（5—30）计算所求的衬垫面积与厚度。
（1）按h=5cm曲线最低点计算
根据式（5—29）,h=5cm曲线最低点的Gm与h的乘积为常量，即
（Gmh）最低点=73X5=365（cm）
未知曲线最低点Gm=65,h待定，且
65h=（Gmh）最低点=365（cm）故所求衬垫厚度为
365
h5.62（cm）
65
根据式（5—30）,h=5cm曲线最低点的Gm与匚st的乘积为常量，即
（Gmst）最低点=73X2.5=183（kPa）
未知曲线最低点Gm=65,“-'st待定，且
65；一st=（Gm；-st）最低点=183（kPa）
故待定的衬垫静应力为
183,、/2、
二st2.82（kPa）=0.282（N/cm）
65
所求衬垫面积为
A=W
■-1st
25=869（cm2）
（2）按曲线最低点计算
根据式（5—29），曲线最低点的Gm与h的乘积为常量，即
（Gmh）最低点=49X7.5=367.5（cm）
未知曲线最低点Gm=65,h待定，且
65h=（Gmh）最低点=367.5（cm）
故所求衬垫厚度为
」367.5/、
h5.65（cm）
65
根据式（5—30）,曲线最低点的Gm与；二t的乘积为常量，即
（Gm；「st）最低点=49X3.7=181（kPa）
未知曲线最低点的Gm=65,；「st待定，且
65；「st=（Gm；「st）最低点=181（kPa）
故待定静应力为
1812匚st=181=2.78（kPa）二0.278（N/cm）
65
所求衬垫面积为
W259.8/2、
A881（cm）
■.st
说明这种计算方法是合理的。
由此可见，按上下两条邻近曲线求得衬垫面积与厚度非常接近，
9.
产品质量m=25kg，产品脆值G=85，包装件跌落高度H=90cm，采用局部缓冲如图6,试求缓冲衬垫尺寸。
10.产品质量m=20kg，产品脆值G=50,包装件跌落
高度H=60cm,产品为立方体，每面面积为1420cm2，选用
图7中的缓冲材料，①采用全面缓冲，试选用缓冲材料并计算衬垫尺寸。
②采用局部缓冲，试选用缓冲材料并计算衬垫尺寸。
解
（1）按全面缓冲计算
衬垫最大应力为
GW50X20X9.8匚m0.069（MPa
A1420
在图7上与这个产品匹配的材料是泡沫聚氨酯
（3），缓冲系数C=，衬垫厚度为
CH3.460
h4.08（cm）
G50
在图7上泡沫橡胶（3）太软，与这个产品不匹配，假设硬要选用，那么C=8，衬
垫厚度h=9.6cm。
在图7上泡沫聚苯乙烯（3）太硬，与这个产品不匹配。
如果硬要选用，那么C=
，衬垫厚度h=。
（2）按局部缓冲计算
衬垫面积为产品面积的-，故A=473cm2，衬垫最大应力为
3
=0.207（MPa
GW50X20乂
■-■m二
3），缓冲系数，衬垫厚度
A473
在图7上与这个产品匹配的是泡沫聚苯乙烯（
为
=4.44（cm）
50
3）太软，与这个产品不再匹配，假设硬要
CH3.760h=
G
在采用局部缓冲的情况下，泡沫聚氨酯（
1=1
选用，贝UC=，h=。
11.
G=60,设计跌落高度H=90cm，采用密度为
8。
该产品销往高温和严寒地区，最高温度为68C,
产品质量m=20kg，产品脆值
3的泡沫聚乙稀作局部缓冲如图
最低温度-54C，试问能不能取常温曲线最低点计算缓冲衬垫。
解材料在常温、高温和低温下的C—m曲线如图8。
常温曲线最低点的坐标：
C=3.9，
；「m=0.22（MPa）=22N/cm，衬垫的面积与厚度分别为
GW60X196/2、
A535（cm）
CTm22
h=CH=3.990=5.85（cm）
G60
C值和二m值都必须满足下式：
小Ah535X5.85X10"6
Cmm=17.74；_m
在图8上作直线二m（虚线），此直线与高温曲线交于点B1,与低温曲线交于点B2。
点B1的坐标：
，:
二m。
因此，当包装件在高温下跌落时，产品最大加速
度为
不计衬垫体积的变化，无论温度是高还是低，材料的
小CH4.5X90、厂
Gm69>G
点B2的坐标：
C=5.2,；「m。
因此，当包装件在低温下跌落时，产品最大加速度为
小CH5.2X90-
Gm80>G
m
可见，按常温曲线最低点计算缓冲衬垫，包装件不管在高温下，还是在低温下跌落都不平安。
在设计缓冲包装时，先要确定温度变化范围，绘出材料在常温、高温和低温下的c-；「m
曲线，然后根据具体情况选取适当的C值和二m值，计算衬垫的面积与厚度。
下面通过例题
说明计算方法。
12.产品质量m=20kg，产品脆值G=60,设计跌落高度H=90cm，采用密度为3的泡沫聚乙稀作局部缓冲如图&该产品销往高温和严寒地区，最高温度为68°C，最低温度-54°C，试计算缓冲衬垫尺寸。
解本例与上例中的产品、设计跌落高度和所用缓冲材料是相同的。
上例按常温曲线最低点计算衬垫面积与厚度虽不平安，但所取的衬垫体积Ah=3130cm3却有参考价值。
按
图8温度对材料缓冲特性的影响
7温度对材料缓冲特性的影响
照这个衬垫体积在C-；
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