27章相似新.docx
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27章相似新
第27章相似三角形
27.1.图形的相似
（一）
一、知识归纳
1、相似图形概念：
______________________________________________。
2．两条线段的比：
两条线段的比，就是__________________________________．
3．成比例线段：
对于四条线段a,b,c,d，如果其中____________________________相等，
如
（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【注意】
1、‘两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；
2、线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作
或a:
b=c:
d；（4）3、比例的基本性质：
，则有ad=bc．
二、例题讲解
例1、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）
例2、一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？
（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？
（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？
例3、已知：
一张地图的比例尺是1:
32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
分析：
根据比例尺=
，可求出北京到上海的实际距离．
解：
答：
北京到上海的实际距离大约是___________km．
四、课堂练习
1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
相似图形：
___和____；___和____；___和____。
2．下列说法正确的是（）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.
3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；
（大）长是_______cm，宽是_______cm；
（2）（小）
；（大）
．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
4．在比例尺是1:
8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
27.1图形的相似
（二）
一、知识归纳
1．相似多边形的主要特征：
2．相似比：
二、例题讲解
例1、下列说法正确的是（）
A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似
例2、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:
B1C1:
C1D1:
D1A1=7:
8:
11:
14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
解：
三、课堂练习
1．△ABC与△DEF相似，且相似比是
，则△DEF与△ABC与的相似比是（）．
A．
B．
C．
D．
2．下列所给的条件中，能确定相似的有（）
（1）两个半径不相等的圆；
（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
27.2.1相似三角形的判定
（一）
一、知识归纳
1．相似三角形．
2．三角形相似的判定方法
预备定理法：
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
符号语言：
∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE，
二、例题讲解
例1、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
例2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
三、课堂练习
1．下列各组三角形一定相似的是（）
A．两个直角三角形B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:
BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:
EA=2:
3，EF=4，求CD的长．
27.2.1相似三角形的判定
（二）
一、知识归纳
1．三角形相似判定方法1：
三组对应边的比相等的两个三角形相似
符号语言：
∵
∴△ABC∽△A′B′C′，
2、三角形相似判定方法:
2：
两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
∵
∠A=∠A＇
∴△ABC∽△A′B′C′，
二、例题讲解
例1、已知：
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长．
解：
例2．已知：
如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，
求证：
△ADC∽△CDP．
三、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？
试着画一画、看一看？
2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
△ABC∽△DEF．
3、某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？
说出你的理由。
27.2.1相似三角形的判定（三）
一、知识归纳
1．三角形相似判定方法3：
两角对应相等，两个三角形相似。
符号语言：
∵,∠A=∠A＇
∠B=∠B＇
∴△ABC∽△A′B′C′，
二、例题讲解
例1已知：
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：
例2已知：
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：
AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
三、课堂练习
1．已知：
如图，∠1=∠2=∠3，求证：
△ABC∽△ADE．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
3.已知：
如图，△ABC的高AD、BE交于点F．
求证：
．
27.2.2相似三角形的应用举例
一、知识归纳
1、运用三角形相似的知识，能够解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
2、一般地，把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型解决问题．
二、例题讲解
例1已知：
如图，△ABC的高AD、BE交于点F．
求证：
AF：
BF=EF：
FD
例2如图所示，在平面直角坐标系中，已知AO=12cm，OB=6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
三、课堂练习
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?
2、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
3、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．（设网球是直线运动）
4、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
27.2.3相似三角形的周长与面积
一、知识归纳
1、相似三角形的对应边、相等。
2、相似三角形周长的比等于，面积的比等于．
3、用三角形的性质可以解决简单的实际问题．
二、例题讲解
例1已知：
如图：
△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长．
例2．已知：
如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若
，①
；②的值是；
③△若ABC的面积S是5，求△ADE的面积；
（2）若
，
，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积；
（3）若
，
，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积．
三、课堂练习
1．填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
2．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？
如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
3、如图，在
和
中，
，
，
，
的周长是24，面积是48.求
的周长和面积。
解：
补充：
相似三角形的综合题举例
1、如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：
PA·PB=PC·PD
2.已知：
如图，△ABC的高AD、BE交于点F．
求证：
AF：
BF=EF：
FD
3、已知：
如图，∠1=∠2=∠3，求证：
△ABC∽△ADE．
4.已知：
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
5.
如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：
AD·BC＝OB·BD．
6.已知：
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：
AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
7、如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．
求证：
CB2＝CF·CE．
8、已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD⊥AB于D，想一想，
（1）图中有哪些三角形相似?
答：
（2）求证：
①AC2=AD·AB；②BC2＝BD·BA；
③CD2=AD·BD；④AC·BC＝AB·CD．
相似与函数
1、如图△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发测AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：
秒）
问t为何值时△ADE与△ABC相似。
2、如图，直线y=
x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9
① 求点P的坐标；
② 设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。
作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。
27.3位似
一、知识归纳
1、定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做，这时的相似比又称为。
从定义可以看出，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
2、性质
（1）位似图形是_______图形（填“全等”或“相似”）
（2）位似图形每组对应点所在直线都经过____________（填“旋转中心”或“位似中心”）
（3）位似图形对应边所在直线要么重合，要么__________（填“垂直”或“平行”）
（4）位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于。
3：
位似作图（利用位似，可以将一个图形放大或缩小）
例：
把图1中的四边形ABCD缩小到原来的
．
作法一：
作法二：
作法四：
顶点做位似中心时，（可自己完成）
作法三：
三、例题讲解
例1如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
例2、如图所示，△ABC与△A`B`C`是位似图形，且位似比是1：
2，若AB=2cm，则A`B`=cm，并在图中画出位似中心O；
例3、如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，-1）（2，1）
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B`，C`的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M`的坐标；
四、课堂练习
1．画出所给图中的位似中心．
2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
3．已知：
如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求：
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心。
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